行列式主要用于判斷矩陣是否可逆及計算特征方程

初見行列式

行列式起源于線性方程組求解
$$\{\begin{array}{l}{a}_{11}{x}_1+a_{12}{x}_2=b_1\\ a_{21}{x}_1+a_{22}{x}_2=b_2\end{array}$$
通過消元法得到, $\{\begin{array}{l}(a_{11}{a}_{22}?a_{12}{a}_{21})x_1=b_1{a}_{22}?b_2{a}_{12}\\ (a_{11}{a}_{22}?a_{12}{a}_{21})x_2=b_2{a}_{11}?b_1{a}_{21}\end{array}$
當$a_{11}{a}_{22}?a_{12}{a}_{21}\ne 0$時, 方程有唯一解
$$x_1=\frac{b_1{a}_{22}?b_2{a}_{12}}{a_{11}{a}_{22}?a_{12}{a}_{21}},x_2=\frac{b_2{a}_{11}?b_1{a}_{21}}{a_{11}{a}_{22}?a_{12}{a}_{21}}$$

在方程組解的表達式中, 分母是方程組的4個系數確定, 提取4個系數并按他們在方程組中的位置, 排列為二行二列的數表(橫排稱為行, 豎排稱為列)
$\begin{array}{cc}{a}_{11}& a_{12}\\ a_{21}& a_{22}\end{array}$, 其中$a_{11}{a}_{22}?a_{12}{a}_{21}$表示為$\left[\begin{array}{cc}{a}_{11}& a_{12}\\ a_{21}& a_{22}\end{array}\right]$, 稱為二階行列式
利用二階行列式, 方程組的解可以表示為$x_1=\frac{D_1}{D}$, $x_2=\frac{D_2}{D}$, 其中$D=\left[\begin{array}{cc}{a}_{11}& a_{12}\\ a_{21}& a_{22}\end{array}\right]$稱為系數行列式$D_1=\left[\begin{array}{cc}{b}_1& a_{12}\\ b_2& a_{22}\end{array}\right]$, $D_2=\left[\begin{array}{cc}{a}_{11}& b_1\\ a_{21}& b_2\end{array}\right]$

行列式定義

從二階行列式推導到$n$階行列式的定義
$$\left[\begin{array}{cccc}{a}_{11}& a_{12}& ?& a_{1n}\\ a_{21}& a_{22}& ?& a_{2n}\\ ?& ?& & ?\\ a_{n1}& a_{n2}& ?& a_{nn}\end{array}\right]=\sum _{j_1{j}_2...j_n}(?1{)}^l{a}_{1j_1}{a}_{2j_2}?a_{n{j}_n}$$
其中$a_{ij}$, $i=1,2?,n$, $j=1,2,?,n$, 稱為行列式的元素, 其中$i$稱為行標, 表示該元素位于哪一行, $j$稱為列下表, 表示該元素位于哪一列
$j_1{j}_2?j_n$代表${\sum }_{j_1{j}_2...j_n}$對$j_1{j}_2?j_n$取一遍$1,2,?n$的一切排列求和, 共有$n!$項
如, 123的排列為$123,132,213,232,312,321$排列$321$的逆序數為$3$, $3!=6$項

常見行列式計算

一階行列式
$$\left[\begin{array}{c}{a}_1\end{array}\right]=a_1$$
二階行列式
$$\left[\begin{array}{cc}{a}_{11}& a_{12}\\ a_{21}& a_{22}\end{array}\right]=a_{11}{a}_{22}?a_{12}{a}_{21}$$
三階行列式
$$\left[\begin{array}{ccc}{a}_{11}& a_{12}& a_{13}\\ a_{21}& a_{22}& a_{23}\\ a_{31}& a_{32}& a_{33}\end{array}\right]=a_{11}{a}_{22}{a}_{33}+a_{12}{a}_{23}{a}_{31}+a_{13}{a}_{21}{a}_{32}?a_{13}{a}_{22}{a}_{31}?a_{12}{a}_{21}{a}_{33}?a_{11}{a}_{23}{a}_{32}$$
計算公式
主對角線 - 副對角線

求行列式的值
$$A=\left[\begin{array}{ccc}1& ?2& 3\\ ?1& 2& 1\\ ?3& ?4& ?2\end{array}\right]$$
根據定義解得:
$A=1\times 2\times (?2)+(?2)\times 1\times (?3)+3\times (?4)\times (?1)?3\times 2\times (?3)?(?2)\times (?1)\times (?2)?1\times (?4)\times 1=40$
方陣$A$的行列式可以判斷$A$是否可逆, 不為0可逆, 為0不可逆

行列式和矩陣的區別

行列式

• 行數等于列數
• 共有$n^2$個元素
• 本質是一個數值(一種矩陣的計算方式)

矩陣

• 行數可以不等于列數
• 有$m\times n$和元素
• 本質是一個數表

行列式計算

Numpy中通過np.linalg.det()函數計算

import numpy as npA = np.array([[1, 2], [3, 4]])
print("A 的行列式為 np.linalg.det(A): ", np.linalg.det(A))
print("A 矩陣是否可逆: ", np.linalg.det(A) != 0)
B = np.array([[1, 2, 3], [4, 5, 6], [7, 8, 9]])
print("B 的行列式為 np.linalg.det(B): ", np.linalg.det(B))
print("B 矩陣是否可逆: ", np.linalg.det(B) != 0)

矩陣的秩

矩陣的秩代表計算線性方程組解的數目, 去掉無關項(線性相關)然后其余的數量就是矩陣的秩, 矩陣的秩可以從行和列兩個方向觀察, 首先要了解線性相關和線性無關

向量組

${\alpha }_1=\left[\begin{array}{c}{a}_{11}\\ a_{21}\\ ?\\ a_{m1}\end{array}\right],{\alpha }_2=\left[\begin{array}{c}{a}_{12}\\ a_{22}\\ ?\\ a_{m2}\end{array}\right],{\alpha }_n=\left[\begin{array}{c}{a}_{1n}\\ a_{2n}\\ ?\\ a_{mn}\end{array}\right]$, 每個${\alpha }_i$稱為$m$維列向量

${\beta }_1=\left[\begin{array}{cccc}{a}_{11}& a_{21}& ?& a_{m1}\end{array}\right],{\beta }_2=\left[\begin{array}{ccccc}{a}_{12}& a_{22}& ?& & a_{m2}\end{array}\right],{\beta }_n=\left[\begin{array}{cccc}{a}_{1n}& a_{2n}& ?& a_{mn}\end{array}\right]$, 每個$a_i$稱為$m$維行向量

import numpy as npA = np.array([[1, 2, 3], [4, 5, 6]])# reshape 重新繪制向量, 否則為1維數組
print("第0行: \n", A[0, :].reshape(1, -1))
print("第1列: \n", A[:, 1].reshape(-1, 1))"""output:
第0行: [[1 2 3]]
第1列: [[2][5]]"""

向量組的線性相關和線性無關

線性相關 vs 線性無關

本質問題：這些向量里有沒有「多余的」？

線性相關（有冗余）

• 例子：
  向量A = [1,2]，向量B = [2,4]
  → B = 2×A，B完全可以用A復制粘貼得到
  → 像拼樂高時，你已經有紅磚了，又拿了個兩倍大的紅磚，沒帶來新形狀

• 數學定義：
  存在不全為0的系數（比如k?=2, k?=-1），使得 k?A + k?B = 0
  → 向量之間能互相「組合」出來，存在冗余

線性無關（都必要）

• 例子：
  向量X = [1,0]（橫向箭頭），向量Y = [0,1]（縱向箭頭）
  → 無法用X造出Y，也無法用Y造出X
  → 像樂高紅磚和藍磚，拼平面必須同時需要兩者

• 數學意義：
  沒有任何一個向量能被其他向量組合出來
  → 每個向量都貢獻了獨特的「方向」

矩陣的秩（本質：獨立信息數）

本質問題：這個矩陣里有多少個真正「有用」的向量？

直觀理解

• 矩陣就像行李箱打包：
  每一列是一個物品（向量），秩 = 真正有用的物品數量
  • 如果塞了5件衣服但都是同樣的T恤 → 秩=1（其實帶一件就夠了）
  • 如果帶了T恤、外套、褲子、襪子 → 秩=4（每樣都不同）

具體例子

• 秩=1的矩陣：

  [1 2 3]  
  [2 4 6]  
  

  → 所有列都是[1,2]的倍數，第三列=第一列×3
  → 像只帶了一個U盤但復制了3份文件，實際信息量=1

• 秩=2的矩陣：

  [1 0 1]  
  [0 1 1]  
  

  → 前兩列是X/Y方向箭頭，第三列=前兩列相加
  → 雖然3列，但最多能表示二維平面里的所有點

幾何意義

• 秩=能撐開的空間維度
  • 秩1 → 所有向量擠在一條直線上
  • 秩2 → 向量鋪滿一個平面
  • 秩3（三維矩陣）→ 充滿立體空間

為什么重要？

1. 解方程：
   Ax=0的解的數量 = 未知數個數 - 秩
   → 秩越小，自由度越大（比如行李箱空位多）

2. 數據壓縮：
   圖片/視頻矩陣如果秩低，說明有大量重復 → 可壓縮

3. 機器學習：
   特征向量如果線性相關，說明有冗余特征需要剔除

矩陣秩的計算

題目1：

求矩陣 $A=\left[\begin{array}{ccc}1& 2& 3\\ 2& 4& 6\\ 3& 6& 9\end{array}\right]$ 的秩。

步驟解析：

1. 觀察原始矩陣：
   每一行的數字都很像成比例的：

   • 第2行 = 第1行 × 2
   • 第3行 = 第1行 × 3
     → 明顯冗余（像行李箱里塞了3個同樣的T恤）。

2. 用行變換化簡：
   目標是把矩陣變成「階梯形」，只保留獨立信息。

   • 第1步：保留第1行不變。
     $$\left[\begin{array}{ccc}1& 2& 3\\ 2& 4& 6\\ 3& 6& 9\end{array}\right]$$
   • 第2步：用第1行消去第2行和第3行的第一個元素：
     • 第2行 → 第2行 - 2×第1行：
       $[2,4,6]?2\times [1,2,3]=[0,0,0]$
     • 第3行 → 第3行 - 3×第1行：
       $[3,6,9]?3\times [1,2,3]=[0,0,0]$
       結果變為：
       $$\left[\begin{array}{ccc}1& 2& 3\\ 0& 0& 0\\ 0& 0& 0\end{array}\right]$$

3. 統計非零行數：
   只有第1行是非零行 → 秩 = 1。

比喻解釋：

• 矩陣像一個行李箱，里面裝了3件物品（3行），但全是同一款T恤（成比例）。
• 實際有用的物品只有1件 → 秩 = 1。

題目2：

求矩陣 $B=\left[\begin{array}{ccc}1& 0& 2\\ 0& 1& 3\end{array}\right]$ 的秩。

步驟解析：

1. 觀察原始矩陣：

   • 第1行和第2行沒有比例關系（像一件T恤和一條褲子）。
   • 已經是階梯形（每行的首項數字在右側）。

2. 直接統計非零行數：
   有2行非零行 → 秩 = 2。

幾何意義：

• 兩個向量 $[1,0]$ 和 $[0,1]$ 是正交的，可以撐開一個二維平面。
• 第三列 $[2,3]$ 被前兩列組合出來（$2\times [1,0]+3\times [0,1]=[2,3]$），屬于冗余信息。

總結方法：

1. 核心思想：

   • 秩 = 矩陣中線性無關的行（或列）的最大數量。
   • 用初等行變換將矩陣簡化為階梯形，數非零行數即可。

2. 技巧：

   • 看是否有某行/列是其他行/列的倍數或組合。
   • 零行或零列對秩無貢獻（像行李箱里的空袋子）。

3. 常見陷阱：

   • 誤以為矩陣的秩等于行數或列數（需看獨立信息）。
   • 行變換時計算錯誤（建議分步寫中間結果）。

代碼計算

import numpy as npE = np.eye(5)
print(E)
print("單位矩陣E的秩: \n",  np.linalg.matrix_rank(E))
A = np.array([[1, 2, 3], [4, 5, 6], [7, 8, 9], [10, 11, 12]])  # 根據列算 + 1
print("A的秩: \n", np.linalg.matrix_rank(A))"""output:
[[1. 0. 0. 0. 0.][0. 1. 0. 0. 0.][0. 0. 1. 0. 0.][0. 0. 0. 1. 0.][0. 0. 0. 0. 1.]]
單位矩陣E的秩: 5
A的秩: 2"""