序言:最近碰到了一道有趣的習題，讓我重新思考了下如何計算運放的PSRR，再結合相關論文，現將所思所想分享出來，歡迎大家討論。

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1.從Razavi的一道習題引入

題目要求計算電路的PSRR，已知PSRR定義為信號增益除以電源增益，再列出表達式可發現分子分母中的輸出阻抗Rout已經抵消。

所以PSRR實際就等于信號增益跨導除以電源跨導。

其中信號增益好計算，因管子M1和M2中只有M2對增益起作用，故等效Gm=1/2*gm2。

接下來怎么計算電源跨導Gmp？

我們分析放大電路可知，從Vdd到Vout（計算Gm時Vout視為交流地）有三條影響路徑，其中2和3可以一起分析。

1）第一條路徑需要計算M1和折疊過來的M2的等效輸出阻抗，這里既可以將其視作cascode結構（我就這么算的），也可以直接套用P153的結論——從M1和M2的漏端看下去的等效阻抗為2*ro1；

2）第二和第三條路徑這兩適合放一起看。

首先對于二極管連接形式的M3管，其固定了一個偏置電流Ibias，因此在Vdd波動時，其gate和drain端都要保證產生同樣的波動，不然就無法保證Ibias不變。

再考慮實際情況下M4管的source也在同頻同相波動，則M4的柵源電壓Vgs（小信號）實際上約等于0。那么Vdd想影響到Vout就只能通過ro4。

最后將各支路的Gmp相加便得到總Gmp，再做個除法便得到PSRR。

以上就是這道題的全部解答過程了。

問題來了，已知求運放的PSRR本質上就是求兩個跨導的比，有那么多OTA以及其變形，總不可能一個一個分析吧，有沒有簡單點的方法來求等效電源跨導啊？

有的兄弟，有的。

2.OTA的PSRR計算

2.1計算方法

首先確定我們的研究對象，簡單起見先研究不帶反饋環路的單級OTA。

接下來介紹計算方法。

我們要做的是畫一個包含電源Vdd（或Vss）的閉合路徑，使其僅切割電源的各個支路一次。

具體計算細節如下：

1）每一次電路切割都將各電路分支劃分為兩個切割側。在「某一切割側通常」存在指向增益節點的電流傳遞函數。

且該電流傳遞函數定義為：流入增益節點（因增益節點為交流接地，電流最終流入交流地）的電流與施加于該切割側的電流之比。

若任一切割側均不存在電流傳遞函數，則對應分支對子電路的電源抑制比（PSSR）無影響。

數學表達：

設切割側電流為 Icut，流入增益節點電流為 Igain，電流傳遞函數為 H=Igain/Icut。

2）如果其中一個切割側存在電流傳遞函數，則該支路的電源跨導Gmp等于另一個切割側的導納 y2乘以比率 y1/（ y1+ y2 ）（y1是存在電流傳遞函數的切割側的導納），再乘電流傳遞函數H 。

數學表達：

這個乘積體現出了該電路分支對子電路 PSRR 的貢獻，子電路的總跨導等于各分支電路的跨導之和。

在通常的電路設計中，y1 / y2遠小于 1（故y1/（y1+y2）≈1，一個重要的假設前提）。

因此，電源跨導約為。

看上面這一溜是不有點暈了，沒事接下來看幾個例子就都明白了。

2.2實例計算—以常見OTA為例

2.2.1 Current Mirror OTA

以CM OTA為例，先解釋背后原理，再計算PSRR。

使用上述計算方法有一個重要前提，就是像M5管的gate電壓會因為偏置電路（比如右邊紫色方框）的鉗位而跟隨電源波動，這樣從M5的source看下去的輸出阻抗就為

再結合定義式的實際物理含義，很容易理解該方法其實就是先近似求解支路電流，再乘電流鏡的電流增益。

現在我們來求PSRR，首先定義好方向。

向某一側切口注入電流Icut，如果輸出電流Igain流向增益節點則符號為正，反之為負。

1)關于符號：

比如cut a，向M8的drain注入電流，最后電流方向為流出增益節點，那么符號為負。

再看cut b，向M3的drain注入電流，最后電流方向為流向增益節點，那么符號為正。

剩下兩個就不多說了。

2)關于寄生電容Cp：

（忽略漏源電容）

以第一條支路為例，若是CMOS工藝，那就等于drain和n-well的電容，再加上drain和gate的寄生電容。

本質上就是切口a到電源軌Vdd的寄生電容。

其他以此類推。

2.2.2 5T-OTA

另一個經典的OTA是5T-OTA（用偏置電流Ib代替尾電流管），其相較CM OTA特殊的地方在于，cut a所在支路電流有兩條路徑到增益節點，所以計算結果乘以二。

2.2.3 Telescopic Cascode OTA

分析思路和5T-OTA類似，不同的地方在于套筒式OTA能夠提供更大的輸出阻抗，從而有效提升了PSRR的低頻表現。

但如果cascode管子的尺寸和驅動管類似，那么采用Cascode架構一點也不會提升高頻PSRR（f3dB<f<GBW）。

這個也很好理解，仔細觀察會發現上述OTA的PSRR表達式，它等效于一個單極點的運放增益表達式，跨導Gm和負載電容（寄生電容）決定了GBW大小。

后續將在3.2.4節仿真驗證該觀點。

2.2.4 Folded Cascode OTA

折疊式OTA的切割刀法和套筒式一樣，只是多了兩條差分輸入管M1、M2所在支路，在分析PSRR,Vdd時，需要要將這兩支路斷開。

既可以從高輸入阻抗等效為斷路角度理解，也可以從電流流向角度考慮，因為從Vdd流向M1、M2所在支路的電流是無論怎樣如何都不會流向輸出節點。

注意！這是在分析PSRR,Vdd！

注意！這是在分析PSRR,Vdd！

注意！這是在分析PSRR,Vdd！（重要的事情說三遍）

如果分析PSRR,Vss，就一定需要考慮這兩條支路的影響。

2.3再看習題

再看拉書上的這道習題，是不是一下秒殺了？

就如同你已經學會大學的微積分了，再回頭做小學的加減乘除一般。

下一部分將仿真驗證上述計算結果。

3.參考資料

1.M. S. J. Steyaert and W. M. C. Sansen, "Power supply rejection ratio in operational transconductance amplifiers."

2.Choi, J, Kweon, SJ & Jeon, H 2023, 'Single-Stage CMOS Operational Transconductance Amplifiers (OTAs): A Design Tutorial.'

3.B.Razavi, Design of Analog CMOS Integrated Circuits(2nd)