Python 實現的運籌優化系統數學建模詳解(最大最小化模型)

一、引言

????????在數學建模的實際應用里，最大最小化模型是一種極為關鍵的優化模型。它的核心目標是找出一組決策變量，讓多個目標函數值里的最大值盡可能小。該模型在諸多領域，如資源分配、選址規劃等，都有廣泛的應用。本文將深入剖析最大最小化模型的原理、算法實現，詳細解讀其 Python 代碼，并探討它在不同場景下的應用。

二、最大最小化模型原理

2.1 模型描述

????????最大最小化模型的一般形式可表示為：

\(\min_{x} \max_{i} f_i(x)\)

其中，x?為決策變量向量，\(f_i(x)\)?是關于?x?的一組函數，\(i = 1,2,\cdots,n\)。我們的目標是找到一個合適的?x?值，使得所有?\(f_i(x)\)?中的最大值達到最小。

2.2 約束條件

????????在實際問題中，決策變量?x?通常要滿足一定的約束條件，例如：

\(lb_j \leq x_j \leq ub_j, \quad j = 1,2,\cdots,m\)

這里，\(lb_j\)?和?\(ub_j\)?分別是決策變量?\(x_j\)?的下限和上限。

三、最大最小化模型的算法實現講解

3.1 轉化為標準優化問題

????????最大最小化模型?\(\min_{x} \max_{i} f_i(x)\)?可以通過引入一個額外的變量?t?轉化為一個等價的標準優化問題：

\(\begin{align*} \min_{x,t} &\quad t \\ \text{s.t.} &\quad f_i(x) \leq t, \quad i = 1,2,\cdots,n \\ & \quad lb_j \leq x_j \leq ub_j, \quad j = 1,2,\cdots,m \end{align*}\)

在這個轉化后的問題中，我們引入了一個新的變量?t?來表示所有?\(f_i(x)\)?的最大值。約束條件?\(f_i(x) \leq t\)?保證了?t?確實是所有?\(f_i(x)\)?的上界，而目標是最小化?t，這樣就找到了滿足條件的最小最大值。

3.2 選擇優化算法

????????對于轉化后的標準優化問題，可以使用多種優化算法進行求解。常見的算法包括：

序列最小二乘法（Sequential Least Squares Programming, SLSQP）：這是一種迭代算法，適用于有約束的非線性優化問題。它通過不斷迭代更新決策變量的值，逐步逼近最優解。在每次迭代中，它會求解一個二次規劃子問題來確定搜索方向。
內點法（Interior Point Method）：也是一種常用于求解有約束優化問題的算法。它通過在可行域內部搜索最優解，避免了在邊界上可能遇到的數值不穩定問題。

3.3 迭代求解過程

????????以 SLSQP 算法為例，其迭代求解過程大致如下：

初始化：給定決策變量?x?和額外變量?t?的初始值?\(x^0\)?和?\(t^0\)。
計算目標函數和約束條件的值：在每次迭代中，計算當前決策變量下的目標函數值?t?和所有約束條件?\(f_i(x) - t\)?的值。
求解二次規劃子問題：根據當前的目標函數和約束條件的梯度信息，構建一個二次規劃子問題，并求解該子問題得到搜索方向。
更新決策變量：沿著搜索方向更新決策變量?x?和?t?的值。
判斷收斂條件：檢查是否滿足收斂條件，如目標函數值的變化小于某個閾值，或者決策變量的變化小于某個閾值。如果滿足收斂條件，則停止迭代，輸出最優解；否則，返回步驟 2 繼續迭代。

四、代碼詳細解析

4.1 導入必要的庫

import numpy as np
from scipy.optimize import minimize

numpy?是 Python 中用于科學計算的基礎庫，提供了高效的數組操作和數學函數。在代碼中，我們使用?numpy?來處理數組數據，例如創建數組、進行數組運算等。
scipy.optimize.minimize?是一個用于求解最小化問題的函數，我們將使用它來求解最大最小化模型。

4.2 定義目標函數

# 目標函數
def obj_func(x, a, b):f = np.zeros(len(a))for i in range(len(a)):f[i] = np.abs(x[0] - a[i]) + np.abs(x[1] - b[i])return f

obj_func?函數接受三個參數：x?是決策變量向量，a?和?b?是用戶輸入的數組。
函數內部創建了一個長度為?len(a)?的零數組?f，用于存儲每個目標函數值。
通過循環計算每個?\(f_i(x)\)?的值，這里的?\(f_i(x)\)?定義為?\(|x_0 - a_i| + |x_1 - b_i|\)，其中?\(a_i\)?和?\(b_i\)?是數組?a?和?b?中的元素。
最后返回存儲所有目標函數值的數組?f。

4.3 定義總的目標函數

# 總的目標函數，取目標函數值數組中的最大值
def overall_objective(x, a, b):return np.max(obj_func(x, a, b))

overall_objective?函數接受三個參數：x?是決策變量向量，a?和?b?是用戶輸入的數組。
函數內部調用?obj_func?函數計算每個目標函數值，然后使用?np.max?函數取這些值中的最大值，這個最大值就是我們要最小化的目標。

4.4 獲取用戶輸入

# 獲取用戶輸入
def get_user_input():a_input = input("請輸入 a 數組的值，用逗號分隔：")a = np.array([float(i) for i in a_input.split(',')])b_input = input("請輸入 b 數組的值，用逗號分隔：")b = np.array([float(i) for i in b_input.split(',')])x0_input = input("請輸入初始值 x0，用逗號分隔（兩個值）：")x0 = np.array([float(i) for i in x0_input.split(',')])lb_input = input("請輸入決策變量的下限 lb，用逗號分隔（兩個值）：")lb = np.array([float(i) for i in lb_input.split(',')])ub_input = input("請輸入決策變量的上限 ub，用逗號分隔（兩個值）：")ub = np.array([float(i) for i in ub_input.split(',')])return a, b, x0, lb, ub

get_user_input?函數用于獲取用戶輸入的數據。
依次提示用戶輸入?a?數組、b?數組、初始值?x0、決策變量的下限?lb?和上限?ub。
使用?input?函數獲取用戶輸入的字符串，然后使用?split(',')?方法將字符串按逗號分隔成列表，再將列表中的每個元素轉換為浮點數，最后使用?np.array?函數將列表轉換為?numpy?數組。
最后返回這些數組。

4.5 主函數

# 主函數
def main():a, b, x0, lb, ub = get_user_input()bounds = [(lb[0], ub[0]), (lb[1], ub[1])]result = minimize(fun=overall_objective, x0=x0, args=(a, b), method='SLSQP', bounds=bounds)print("優化后的決策變量值：", result.x)print("每個 f_i(x) 的值：", obj_func(result.x, a, b))print("目標函數的最小值：", np.max(obj_func(result.x, a, b)))

main?函數是程序的入口點。
調用?get_user_input?函數獲取用戶輸入的數據。
根據用戶輸入的下限?lb?和上限?ub?創建約束條件?bounds。
使用?scipy.optimize.minimize?函數進行優化求解。fun=overall_objective?指定要最小化的目標函數，x0=x0?指定初始值，args=(a, b)?傳遞額外的參數?a?和?b?給目標函數，method='SLSQP'?指定使用的優化算法為序列最小二乘法（Sequential Least Squares Programming），bounds=bounds?指定約束條件。
最后輸出優化后的決策變量值、每個?\(f_i(x)\)?的值和目標函數的最小值。