多元高斯分布函數

1、 $n$ 元向量

假設 $n$ 元隨機變量 $X$
$\begin{split} X&=[X_1,X_2,\cdots,X_i,\cdots ,X_n]^T\\ \mu&= [\mu_1,\mu_2,\cdots,\mu_i,\cdots,\mu_n]^T\\ \sigma&= [\sigma_1,\sigma_2,\cdots,\sigma_i,\cdots,\sigma_n]^T\\ X_i&\sim N(\mu_i,\sigma_i^2)\\ \end{split}$
$\Sigma$ 為協方差矩陣。
$\begin{split} \Sigma&=\left[\begin{matrix} Conv(X_1,X_1) & Conv(X_1,X_2) & \cdots & Conv(X_1,X_n) \\ Conv(X_2,X_1) & Conv(X_2,X_2) & \cdots & Conv(X_2,X_n) \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ Conv(X_n,X_1) & Conv(X_n,X_2) & \cdots & Conv(X_n,X_n) \\ \end{matrix}\right] \end{split}$
當 $X_1,X_2,\cdots,X_i,\cdots ,X_n$ 之間相互獨立時，有
$\begin{split} \Sigma&=\left[\begin{matrix} \sigma_1^2 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & \sigma_2^2 & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & \sigma_n^2 \\ \end{matrix}\right] \end{split}$

2 、 $n$ 元高斯分布

$\begin{split} p(X)&=\frac{1}{(2\pi)^{\frac{n}{2}}\cdot|\Sigma|^{\frac{1}{2}}}\cdot e^{-\frac{(X-\mu)^T\Sigma^{-1}(X-\mu)}{2}} \end{split}$
其中， $|\Sigma|$ 為協方差矩陣 $\Sigma$ 的行列式

3、1元高斯分布

此時
$\begin{split} X&=[X_1]\\ \mu&= [\mu_1]\\ \sigma&= [\sigma_1]\\ X_1&\sim N(\mu_1,\sigma_1^2)\\ \Sigma&=[\sigma_1^2] \end{split}$

$\begin{split} p(X_1)&=\frac{1}{(2\pi)^{\frac{n}{2}}\cdot|\Sigma|^{\frac{1}{2}}}\cdot e^{-\frac{(X-\mu)^T\Sigma^{-1}(X-\mu)}{2}} \\ &=\frac{1}{(2\pi)^{\frac{1}{2}}\cdot (\sigma_1^2)^{\frac{1}{2}}}\cdot e^{-\frac{(X_1-\mu_1)^T (\sigma_1^2)^{-1}(X_1-\mu_1)}{2}} \\ &=\frac{1}{\sqrt{2\pi} \cdot \sigma_1}\cdot e^{-\frac{(X_1-\mu_1)^2}{2\cdot \sigma_1^2}} \\ \end{split}$

2、相互獨立的2元高斯分布

此時
$\begin{split} X&=[X_1,X_2]^T\\ \mu&= [\mu_1,\mu_2]^T\\ \sigma&= [\sigma_1,\sigma_2]^T\\ X_i&\sim N(\mu_i,\sigma_i^2)\\ \Sigma&=\left[\begin{matrix} \sigma_1^2 & 0 \\ 0 & \sigma_2^2 \\ \end{matrix}\right] \end{split}$
$\begin{split} p(X)&=p([X_1,X_2]^T) \\ &=\frac{1}{(2\pi)^{\frac{n}{2}}\cdot|\Sigma|^{\frac{1}{2}}}\cdot e^{-\frac{(X-\mu)^T\Sigma^{-1}(X-\mu)}{2}} \\ &=\frac{1}{(2\pi)^{\frac{2}{2}}\cdot \left|\begin{matrix} \sigma_1^2 & 0 \\ 0 & \sigma_2^2 \\ \end{matrix}\right|^{\frac{1}{2}}}\cdot e^{-\frac{\Bigg(\left[\begin{matrix} X_1 \\ X_2 \\ \end{matrix}\right]-\left[\begin{matrix} \mu_1 \\ \mu_2 \\ \end{matrix}\right]\Bigg)^T\left[\begin{matrix} \sigma_1^2 & 0 \\ 0 & \sigma_2^2 \\ \end{matrix}\right]^{-1}\Bigg(\left[\begin{matrix} X_1 \\ X_2 \\ \end{matrix}\right]-\left[\begin{matrix} \mu_1 \\ \mu_2 \\ \end{matrix}\right]\Bigg)}{2}} \\ &=\frac{1}{2\pi\cdot \sigma_1\cdot \sigma_2}\cdot e^{-\frac{\left[\begin{matrix} X_1 -\mu_1\\ X_2 -\mu_2 \\ \end{matrix}\right]^T\left[\begin{matrix} \frac{1}{\sigma_1^2} & 0 \\ 0 & \frac{1}{\sigma_2^2} \\ \end{matrix}\right] \left[\begin{matrix} X_1-\mu_1 \\ X_2-\mu_2 \\ \end{matrix}\right]}{2}} \\ &=\frac{1}{2\pi\cdot \sigma_1\cdot \sigma_2}\cdot e^{-\frac{\left[\begin{matrix} X_1 -\mu_1, X_2 -\mu_2 \\ \end{matrix}\right]\left[\begin{matrix} \frac{1}{\sigma_1^2} & 0 \\ 0 & \frac{1}{\sigma_2^2} \\ \end{matrix}\right] \left[\begin{matrix} X_1-\mu_1 \\ X_2-\mu_2 \\ \end{matrix}\right]}{2}} \\ &=\frac{1}{2\pi\cdot \sigma_1\cdot \sigma_2}\cdot e^{-\frac{\left[\begin{matrix} \frac{X_1 -\mu_1}{\sigma_1^2}, \frac{X_2 -\mu_2}{\sigma_2^2} \\ \end{matrix}\right] \left[\begin{matrix} X_1-\mu_1 \\ X_2-\mu_2 \\ \end{matrix}\right]}{2}} \\ &=\frac{1}{2\pi\cdot \sigma_1\cdot \sigma_2}\cdot e^{-\frac{\frac{(X_1 -\mu_1)^2}{\sigma_1^2}-\frac{(X_2 -\mu_2)^2}{\sigma_2^2}}{2}} \\ &=\frac{1}{\sqrt{2\pi}\cdot \sigma_1}\cdot e^{-\frac{(X_1 -\mu_1)^2}{2\sigma_1^2}} \cdot \frac{1}{\sqrt{2\pi}\cdot \sigma_2}\cdot e^{-\frac{(X_2 -\mu_2)^2}{2\sigma_2^2}} \end{split}$

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