在 PyTorch 的 torch.cat 函數中，out 參數用于指定輸出張量的存儲位置。是否使用 out 參數直接影響結果的存儲方式和張量的內存行為。以下是詳細解釋：

1. 不使用 out 參數（默認行為）
   含義：不提供 out 參數時，torch.cat 會創建一個新的張量來存儲拼接后的結果，并返回這個新張量。
   特點：
   內存分配：PyTorch 會為結果分配新的內存空間。
   原張量不變：輸入的原始張量（如 tensors 中的張量）不會被修改。
   返回新張量：返回的張量是獨立的，與輸入張量沒有內存共享
2. 使用 out 參數
   含義：通過 out 參數提供一個已存在的張量，torch.cat 將直接將結果寫入該張量中，無需創建新張量。
   特點：
   內存復用：避免分配新內存，直接利用已有張量的內存空間。
   原張量被修改：out 指定的張量會被覆蓋，其內容會被替換為拼接結果。
   形狀匹配：out 張量的形狀必須與拼接后的結果完全一致，否則會報錯。

以下是關于 torch.cat 在不同 dim 下的拼接過程的公式化描述及可視化示例，用分塊矩陣的形式呈現：

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1. 數學公式化描述

1.1 沿 dim=0（行方向）拼接

假設：

• 張量 A 的形狀為 $m\times n$
• 張量 B 的形狀為 $p\times n$
• 所有張量在非拼接維度（列數 $n$）必須一致。

拼接后的張量 C 形狀為 $$(m+p)\times n$$，公式表示為：$$C=\left[\begin{array}{c}A\\ B\end{array}\right]$$
即：
$$C_{i,j}=\{\begin{array}{ll}{A}_{i,j},& \text{若?}1\le i\le m,\\ B_{i?m,j},& \text{若?}m+1\le i\le m+p.\end{array}$$

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1.2 沿 dim=1（水平/列方向）拼接

假設條件：

• 張量 $A$ 的形狀為 $m\times n$
• 張量 $B$ 的形狀為 $m\times p$
• 兩個張量在非拼接維度（行維度 $m$）上必須保持一致

拼接操作：
水平拼接后的張量 $C$ 形狀為 $m\times (n+p)$，其數學表示為：

$$C=\left[\begin{array}{cc}A& B\end{array}\right]$$

元素級定義：
$$C_{i,j}=\{\begin{array}{ll}{A}_{i,j}& \text{當?}1\le j\le n\\ B_{i,j?n}& \text{當?}n+1\le j\le n+p\end{array}$$

維度說明：

• 行維度：$m$（保持不變）
• 列維度：$n+p$（$A$ 和 $B$ 列數的總和）

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2. 具體示例（使用數值矩陣）

張量拼接示例

示例 1：沿第 0 維度拼接 (dim=0)

輸入張量：

• $$A=\left[\begin{array}{cc}1& 2\\ 3& 4\end{array}\right](\text{形狀?}2\times 2)$$
• $$B=\left[\begin{array}{cc}5& 6\\ 7& 8\end{array}\right](\text{形狀?}2\times 2)$$

拼接操作：
$$C=\mathrm{concat}(A,B,\text{dim}=0)$$

輸出結果：
$$C=\left[\begin{array}{cc}1& 2\\ 3& 4\\ 5& 6\\ 7& 8\end{array}\right](\text{形狀?}4\times 2)$$

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示例 2：沿第 1 維度拼接 (dim=1)

輸入張量：

• $$A=\left[\begin{array}{cc}1& 2\\ 3& 4\end{array}\right](\text{形狀?}2\times 2)$$
• $$B=\left[\begin{array}{cc}5& 6\\ 7& 8\end{array}\right](\text{形狀?}2\times 2)$$

拼接操作：
$$C=\mathrm{concat}(A,B,\text{dim}=1)$$

輸出結果：
$$C=\left[\begin{array}{cccc}1& 2& 5& 6\\ 3& 4& 7& 8\end{array}\right](\text{形狀?}2\times 4)$$

關鍵說明

1. dim=0 表示垂直拼接（沿行方向堆疊）
2. dim=1 表示水平拼接（沿列方向連接）
3. 拼接維度的大小可以不同，但其他維度必須完全相同（例如 dim=1 拼接時，兩個張量的行數必須相等）

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以下是用表格形式展示 dim=0 和 dim=1 的拼接結果：

沿 dim=0 拼接

初始張量 ( A )	初始張量 ( B )	拼接結果 ( C )（dim=0）
[[1, 2],	[[5, 6],	[[1, 2],
[3, 4]]	[7, 8]]	[3, 4],
形狀：2×2	形狀：2×2	[5, 6],
		[7, 8]]
		形狀：4×2

沿 dim=1 拼接

初始張量 ( A )	初始張量 ( B )	拼接結果 ( C )（dim=1）
[[1, 2],	[[5, 6],	[[1, 2, 5, 6],
[3, 4]]	[7, 8]]	[3, 4, 7, 8]]
形狀：2×2	形狀：2×2	形狀：2×4

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3. 關鍵點總結

1. 維度一致性：

   • dim=0：所有張量的列數（n）必須相同。
   • dim=1：所有張量的行數（m）必須相同。

2. 拼接方向：

   • dim=0：垂直方向拼接（行數相加）。
   • dim=1：水平方向拼接（列數相加）。

3. 數學符號表示：

   • dim=0：$C=\left[\begin{array}{c}A\\ B\end{array}\right]$
   • dim=1：$C=\left[\begin{array}{cc}A& B\end{array}\right]$

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5. 擴展示例（多維張量）

假設張量為三維（如圖像的批處理）：
$$A\in {\mathbb{R}}^{B\times C\times H\times W}$$
$$B\in {\mathbb{R}}^{B^{\prime }\times C\times H\times W}$$

• 拼接 dim=0（批處理方向）：
  $$C\in {\mathbb{R}}^{(B+B^{\prime })\times C\times H\times W}$$

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以下是三維張量拼接的示例，使用分塊矩陣的形式展示沿不同維度（dim=0, dim=1, dim=2）的拼接過程：

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三維張量拼接示例

假設兩個三維張量 ( A ) 和 ( B )，形狀分別為：
-$$A\in {\mathbb{R}}^{2\times 3\times 2}（形狀：2\times 3\times 2）$$
-$$B\in {\mathbb{R}}^{1\times 3\times 2}（形狀：1\times 3\times 2）$$

1. 沿 dim=0 拼接（擴展第一個維度）

• 拼接條件：除 dim=0 外，其他維度（3×2）必須一致。
• 拼接結果形狀：$$(2+1)\times 3\times 2=3\times 3\times 2$$
• 數學表示：
  $$C=\left[\begin{array}{c}{A}_1\\ A_2\\ B_1\end{array}\right]$$
  其中$A_1,A_2$ 是 $A$的兩個“塊”，$B_1$是 $B$的唯一塊。

數值示例：

• 輸入張量：

  • $$A=\left[\begin{array}{cc}\left[\begin{array}{cc}1& 2\\ 3& 4\\ 5& 6\end{array}\right],& \left[\begin{array}{cc}7& 8\\ 9& 10\\ 11& 12\end{array}\right]\end{array}\right]$$
  • $$B=\left[\begin{array}{c}\left[\begin{array}{cc}13& 14\\ 15& 16\\ 17& 18\end{array}\right]\end{array}\right]$$

• 拼接結果（dim=0）：
  $$C=\left[\begin{array}{ccc}\left[\begin{array}{cc}1& 2\\ 3& 4\\ 5& 6\end{array}\right],& \left[\begin{array}{cc}7& 8\\ 9& 10\\ 11& 12\end{array}\right],& \left[\begin{array}{cc}13& 14\\ 15& 16\\ 17& 18\end{array}\right]\end{array}\right]$$
  形狀：$$3\times 3\times 2$$

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2. 沿 dim=1 拼接（擴展第二個維度）

• 拼接條件：除 dim=1 外，其他維度（2×2）必須一致。
• 假設調整后的張量形狀：
  • $$A\in {\mathbb{R}}^{2\times 3\times 2}$$
    -$$B\in {\mathbb{R}}^{2\times 2\times 2}$$
• 拼接結果形狀：$$2\times (3+2)\times 2=2\times 5\times 2$$
• 數學表示：
  $$C=\left[\begin{array}{cc}{A}_1& B_1\\ A_2& B_2\end{array}\right]$$
  其中 $(A_1,A_2)$ 是 $(A)$ 的塊，$(B_1,B_2)$ 是 $B$ 的塊。

數值示例：

• 輸入張量：
  -$$A=\left[\begin{array}{cc}\left[\begin{array}{cc}1& 2\\ 3& 4\\ 5& 6\end{array}\right],& \left[\begin{array}{cc}7& 8\\ 9& 10\\ 11& 12\end{array}\right]\end{array}\right]$$

  • $$B=\left[\begin{array}{cc}\left[\begin{array}{cc}13& 14\\ 15& 16\end{array}\right],& \left[\begin{array}{cc}17& 18\\ 19& 20\end{array}\right]\end{array}\right]$$

• 拼接結果（dim=1）：
  $$C=\left[\begin{array}{cc}\left[\begin{array}{cc}1& 2\\ 3& 4\\ 5& 6\end{array}\right]\left[\begin{array}{cc}13& 14\\ 15& 16\end{array}\right],& \left[\begin{array}{cc}7& 8\\ 9& 10\\ 11& 12\end{array}\right]\left[\begin{array}{cc}17& 18\\ 19& 20\end{array}\right]\end{array}\right]$$
  形狀： $$2\times 5\times 2$$

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3. 沿 dim=2 拼接（擴展第三個維度）

• 拼接條件：除 dim=2 外，其他維度（2×3）必須一致。
• 假設調整后的張量形狀：
  • $A\in {\mathbb{R}}^{2\times 3\times 2}$
  • $B\in {\mathbb{R}}^{2\times 3\times 3}$
• 拼接結果形狀：$(2\times 3\times (2+3)=2\times 3\times 5)$
• 數學表示：
  $$C=\left[\begin{array}{cc}{A}_1& B_1\\ A_2& B_2\end{array}\right]$$
  其中每個塊在第三個維度上拼接。

數值示例：

• 輸入張量：

  • $$A=\left[\begin{array}{cc}\left[\begin{array}{cc}1& 2\\ 3& 4\\ 5& 6\end{array}\right],& \left[\begin{array}{cc}7& 8\\ 9& 10\\ 11& 12\end{array}\right]\end{array}\right]$$
    -$$B=\left[\begin{array}{cc}\left[\begin{array}{ccc}13& 14& 15\\ 16& 17& 18\\ 19& 20& 21\end{array}\right],& \left[\begin{array}{ccc}22& 23& 24\\ 25& 26& 27\\ 28& 29& 30\end{array}\right]\end{array}\right]$$

• 拼接結果（dim=2）：
  $$C=\left[\begin{array}{cc}\left[\begin{array}{ccccc}1& 2& 13& 14& 15\\ 3& 4& 16& 17& 18\\ 5& 6& 19& 20& 21\end{array}\right],& \left[\begin{array}{ccccc}7& 8& 22& 23& 24\\ 9& 10& 25& 26& 27\\ 11& 12& 28& 29& 30\end{array}\right]\end{array}\right]$$
  形狀：$2 \times 3 \times 5 )

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關鍵點總結

1. 維度擴展方向：

   • dim=0：增加第一個維度的大小（如批處理大小）。
   • dim=1：增加第二個維度的大小（如通道數或行數）。
   • dim=2：增加第三個維度的大小（如列數或深度）。

2. 形狀一致性：

   • 所有輸入張量在非拼接維度的形狀必須完全一致。

3. 應用場景：

   • dim=0：合并不同批次的圖像數據。
   • dim=1：在通道維度拼接特征圖（如圖像處理中的多模態數據）。
   • dim=2：擴展特征的維度（如時間序列中的時間步）。

通過上述示例和表格，可以直觀理解三維張量在不同維度上的拼接邏輯。