一、摘要

本文主要講述了數據歸一化（Feature Scaling）的重要性及其方法。首先通過腫瘤大小和發現時間的例子，說明了不同量綱特征在距離計算中可能導致偏差，從而引出數據歸一化的必要性。接著，介紹了最值歸一化（Normalization）的概念和方法，即將數據映射到0-1之間的尺度，并指出其適用于分布有明顯邊界的情況。最后，還指出了最值歸一化的一個缺點，即受異常值影響較大。

二、數據歸一化概念

1. 歸一化是指一種簡化計算的方式，將數據經過處理之后限定到一定的范圍之內，一般都會將數據限定在[0,1]。數據歸一化可以加快算法的收斂速度，而且在后續的數據處理上也會比較方便。
2. 數據歸一化的重要性：
   1. 數據歸一化是機器學習中非常重要的一步，也稱為特征縮放。
   2. 歸一化的目的是使數據在不同特征之間具有相同的尺度，以便更好地進行分類或其他機器學習任務。
3. 另外，歸一化算法是一種去量綱的行為，關于量綱對于計算的影響可以舉這樣一個例子：使用腫瘤大小（厘米）和發現時間（天）作為特征進行分類。
   
   未歸一化時，距離計算主要受發現時間影響，因為時間單位的差異導致數據尺度不同。通過調整時間單位為年，可以使得距離計算更準確地反映腫瘤大小的重要性。歸一化的作用就是去除這樣的量綱給計算帶來的影響。

三、數據歸一化實現方法

3.1 最值歸一化方法

1. 最值歸一化將數據映射到0到1之間。
2. 方法：對每個特征求最大值和最小值，然后使用公式（x - xmin） / (xmax - xmin）進行轉換。
   
3. 適用于數據分布有明確邊界的情況，如考試成績或像素值。
4. 缺點：對異常值敏感，可能影響歸一化結果。
5. 注意事項：
   在執行歸一化的算法時有一個地方需要注意，因為公式 y=(x-MinValue)/(MaxValueMinValue)的分母是 MaxValue-MinValue，如果某一個字段的最大值和最小值是相同的，會出現分母為零的情況。所以對于字段數據全部相同的情況要加以判斷，通常來講如果當前字段全部相等且為非零數值，就轉換為 1 來處理。如果當前字段全部數值都是 0，那就直接保留 0。
6. 最值歸一化的實現

   • 整型向量數據的歸一化代碼

     import numpy as np
     # 隨機生成向量，其中每個向量的數值是0-100，生成100個
     x = np.random.randint(0,100,size=100)
     # 根據最值歸一化公式，實現Int類型數據的歸一化
     # 實現最值歸一化公式，返回結果是一個向量,其中每一個元素的值就處于[0,1]之間
     (x - np.min(x)) / (np.max(x) - np.min(x))
     

     在jupyter中執行結果：
     

   • 浮點型矩陣數據的歸一化代碼

     # 生成50x2的矩陣，其中數值都在0-100之間
     X = np.random.randint(0,100,(50,2))
     # 將整型的矩陣轉成浮點型矩陣
     X = np.array(X,dtype=float)
     # 將X矩陣數據進行最值歸一化，由于矩陣的列數是2列，因此分別需要對矩陣的每一列進行最值歸一化處理，如有多列，則使用循環即可
     for col in range(0,2):# 對X中每列進行最值歸一化X[:,col] = (X[:,col] - np.min(X[:,col])) / (np.max(X[:,col]) - np.min(X[:,col]))
     # 可以將X矩陣歸一化之后的數據繪制出來，驗證其中每列數值是否處于[0,1]之間
     import matplotlib.pyplot as plt
     plt.scatter(X[:,0],X[:,1])
     plt.show()
     

     執行結果：
     
     此時，可以看出圖中橫縱坐標的數值處于[0,1]之間，說明X矩陣的數據已經完成了最值歸一化。

   • 查看X矩陣中的均值和方差

     # 查看X矩陣方差
     [(np.std(X[:,col])) for col in range(0,2)]
     # 查看X矩陣方差
     [(np.std(X[:,col])) for col in range(0,2)]
     

     執行結果：
     

3.2 均值方差歸一化方法

1. 均值方差歸一化將數據轉換為均值為0，方差為1的分布。

2. 方法：用每個特征減去均值，再除以方差。
   
   S為方差，Xmean為均值。

3. 適用于數據分布沒有明確邊界的情況，如收入分布。

4. 優點：不受異常值影響，使數據分布更加合理。

5. 代碼實現過：

   • 實現步驟及效果：

     • 生成隨機矩陣并進行均值方差歸一化。
     • 步驟：求均值和方差，減去均值，再除以方差。
     • 結果：矩陣中的元素不保證在0到1之間，但均值為0，方差為1。

   • 編寫代碼

     X = np.random.randint(0,100,(50,2))
     X = np.array(X,dtype=float)
     # 根據均值方差歸一化公式，實現X矩陣的均值方差歸一化實現代碼
     for col in range(0,2):X[:,col] = (X[:,col] - np.mean(X[:,col])) / np.std(X[:,col])
     # 繪制圖像查看效果
     plt.scatter(X[:,0],X[:,1])
     plt.show()
     

     執行效果：
     

   • 查看X矩陣中的均值和方差是否接近或等于0和1：

     • 查看X矩陣的每列數據的均值是否接近或等于0

       # 通過圖像查看并不是很直觀，因此，我們查看X矩陣的每列數據的均值是否接近或等于0
       [(np.mean(X[:,col])) for col in range(0,2)]
       

       執行結果：
       

       浮點數精度限制：計算機在存儲和處理浮點數時存在精度限制。不同編程語言和系統對于浮點數的表示遵循 IEEE 754 標準，常見的單精度浮點數（float）通常有大約 7 位十進制有效數字，雙精度浮點數（double）大約有 15 - 16 位十進制有效數字。當一個數的絕對值小于計算機所能表示的最小非零浮點數時，就可能會出現下溢情況，計算機可能會將其當作 0 處理。不過， -1.3322676295501878e - 17 一般不會出現這種情況，大多數計算機環境能正常表示它。
       實際應用場景的誤差容忍度：在許多實際的計算和應用中，我們會設定一個誤差范圍（也稱為容差）。如果一個數的絕對值小于這個容差，就可以將其當作 0 處理。例如，在數值計算、物理模擬等領域，為了簡化計算或者忽略極小的誤差，常常會這么做。以下是 Python 示例代碼，演示了如何根據容差判斷一個數是否近似為 0：

       num = -1.3322676295501878e-17
       tolerance = 1e-15
       if abs(num) < tolerance:print("在給定容差范圍內，該數近似為 0")
       else:print("該數不等于 0")
       

       

     • 查看X矩陣的每列數據的方差是否接近或等于1

       # 通過圖像查看并不是很直觀，因此，我們查看X矩陣的每列數據的方差是否接近或等于1
       [(np.std(X[:,col])) for col in range(0,2)]
       

       執行結果：