一、灰色關聯分析簡介

一般的抽象系統,如社會系統、經濟系統、農業系統、生態系統、教育系統等都包含有許多種因素，多種因素共同作用的結果決定了該系統的發展態勢。人們常常希望知道在眾多的因素中，哪些是主要因素，哪些是次要因素;哪些因素對系統發展影響大，哪些因素對系統發展影響小；哪些因素對系統發展起推動作用需強化發展，哪些因素對系統發展起阻礙作用需加以抑制......這些都是系統分析中人們普遍關心的問題。例如，糧食生產系統，人們希望提高糧食總產量，而影響糧食總產量的因素是多方面的，有播種面積以及水利、化肥、土壤、種子、勞力、氣候、耕作技術和政策環境等。為了實現少投人多產出，并取得良好的經濟效益、社會效益和生態效益，就必須進行系統分析。

數理統計中的回歸分析、方差分析、主成分分析等都是用來進行系統分析的方法。這些方法都有下述不足之處：

• 要求有大量數據,數據量少就難以找出統計規律
• 要求樣本服從某個典型的概率分布，要求各因素數據與系統特征數據之間呈線性關系且各因素之間彼此無關，這種要求往往難以滿足
• 計算量大,一般要靠計算機幫助
• 可能出現量化結果與定性分析結果不符的現象，導致系統的關系和規律遭到歪曲和顛倒

尤其是我國統計數據十分有限，而且現有數據灰度較大，再加上人為的原因，許多數據都出現幾次大起大落，沒有典型的分布規律。因此，采用數理統計方法往往難以奏效。

灰色關聯分析方法彌補了采用數理統計方法作系統分析所導致的缺憾。它對樣本量的多少和樣本有無規律都同樣適用，而且計算量小，十分方便，更不會出現量化結果與定性分析結果不符的情況。

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二、適用賽題

系統分析，如上面所述，系統分析問題可使用。

但是，也可在綜合評價類問題中使用灰色關聯分析。

三、模型流程

四、流程分析

這里分為兩類運用，分別分析。

1.系統分析

①確定分析數列

有兩種數列，母序列和子序列。

母序列（又稱參考數列、母指標）

• 能反映系統行為特征的數據序列
• 類似于因變量Y，此處記為X0

子序列（又稱比較序列、子指標）

• 影響系統行為的因素組成的數據序列
• 類似于自變量X，此處記為(X1, X2, .., Xm)

確定好題目中的兩種序列。

②預處理

預處理有兩個目的

• 去量綱
• 縮小變量范圍，簡化計算

這里的預處理十分簡單：先求出每個指標的均值，再用該指標中的每個元素都除以其均值。

③計算關聯系數

首先要找到a（兩極最小差）和b（兩極最大差），這里定義

• X0 = (X0(1), X0(2), ..., X0(n))的轉置，這是母序列
• X1?= (X1(1), X1(2), ..., X1(n))的轉置，這是子序列
• ......
• Xm?= (Xm(1), Xm(2), ..., Xm(n))的轉置，這是子序列

而a = min min|X0(k) - Xi(k)|，b = max max|X0(k) - Xi(k)|

定義γ(X0(k), Xi(k)) = (a+ρb) / (|X0(k) - Xi(k)| + ρb)

ρ是分辨系數，一般取0.5；i = 1, 2, ..., m，k = 1, 2, ..., n

這樣就得到了關聯系數矩陣。

④計算灰色關聯度

定義γ(X0, Xi) = 1/n *?Σγ(X0(k), Xi(k))為X0和Xi的灰色關聯度。其實就是每個指標求平均值。

k = 1, 2, ..., n

⑤得到結論

通過比較三個子序列和母序列的關聯度可以得到結論（灰色關聯度越大，影響越大）。

2.綜合評價

①正向化

對指標進行正向化，正向化操作在TOPSIS法中已講解，這里不做贅述。

②預處理

預處理操作和系統分析預處理操作相同。

③構造母序列

將預處理后的矩陣每一行取出最大值構成母序列（虛構的）。

④計算灰色關聯度

操作和系統分析相同。

⑤計算權重

每個指標的權重是這個指標灰色關聯度除以所有指標灰色關聯度之和。

⑥計算得分

每個對象用對應指標的數值乘以相應指標的權重之和就是此對象的得分。

⑦歸一化

用這個對象得分除以所有對象的得分就得到歸一化后的得分。

⑧得到結論

根據得分進行評價。

五、補充

1.什么時候用標準化回歸，什么時候用灰色關聯分析？

當樣本個數n較大時，一般用標準化回歸；當樣本個數n較小時，才使用灰色關聯分析。

2.如果母序列中有多個指標，應該怎么分析？例如Y1和Y2是母序列，X1、X2、...、Xm是子序列

那么我們首先計算Y1和X1、X2、...、Xm的灰色關聯度進行分析；在計算Y2和X1、X2、...、Xm的灰色關聯度進行分析。

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