0101二階與三階行列式-行列式-線性代數

一引例

求解二元一次方程組
$\begin{cases} a_{11}x_1+a_{12}x_2=b_1\\ a_{21}x_1+a_{22}x_2=b_2\\ \end{cases}$

$解：\\ 1\times a_{21}-2\times a_{11}\Rightarrow\\ x_2=\frac{a_{11}b_2-a_{21}b_1}{a_{11}a_{22}-a_{12}a_{21}}\\ x_1=\frac{a_{22}b_1-a_{12}b_2}{a_{11}a_{22}-a_{12}a_{21}}\\$

$\begin{matrix}a_{11}&a_{12}\\a_{21}&a_{22}\end{matrix}$ 兩行兩列數表。

定義：表達式 $a_{11}a_{22}-a_{12}a_{21} \overset{\Delta}{=} \begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}\\a_{21}&a_{22}\\\end{vmatrix}$ 為數表所確定的二階行列式。

注：

$\begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}\\a_{21}&a_{22}\\\end{vmatrix}$ , $a_{ij},i=1,2,j=1,2$ 為行列式的元素。i為元素所在的行，j位元素所在的列。

二計算

$a_{11}a_{22}-a_{12}a_{21}= \begin{vmatrix} a_{11}&a_{12}\\ a_{21}&a_{22}\\ \end{vmatrix} =D$

$b_1a_{22}-b_2a_{12}= \begin{vmatrix} b_1&a_{12}\\ b_2&a_{22}\\ \end{vmatrix} =D_1$

$a_{21}b_1-a_{11}b_2= \begin{vmatrix} a_{21}&a_{11}\\ b_2&b_1\\ \end{vmatrix} =D_2$

一種二元一次方程組的解為 $x_1=\frac{D_1}{D},x_2=\frac{D_2}{D}$

例 $\begin{cases}3x_1-2x_2=12\\2x_1+x_2=1\end{cases}$ 解 $x_1,x_2$
$x_1=\frac{12-(-2)}{3-(-4)}=2\\ x_2=\frac{3-24}{7}=-3$

三二階行列式的幾何意義

在這里插入圖片描述

$a_{11}a_{22}-a_{12}a_{21}= \begin{vmatrix} a_{11}&a_{12}\\ a_{21}&a_{22}\\ \end{vmatrix}\\ 令\vert\vec a\vert=l,\vert\vec b\vert=m,則平行四邊形的面積：\\ S=\vec a\times\vec b=l\cdot m\cdot\sin(\beta-\alpha)\\ =l\cdot m(\sin\beta\cos\alpha-\cos\beta\sin\alpha)\\ =l\cos\alpha\cdot m\sin\beta-l\sin\alpha\cdot m\cos\beta\\ =a_{11}a_{22}-a_{12}a_{21}$
上述二階行列式幾何意義：以行向量(第一行為向量和以第二行為向量)為鄰邊所構成平行四邊形的面積。

三階行列式放在后面N階行列式講解。

結語

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參考：

[1]同濟六版《線性代數》全程教學視頻[CP/OL].2020-02-07.p2.

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