IEEE754標準的c語言闡述，以及幾個浮點數常量

很多年前，調研過浮點數與整數之間的雙射問題：
win7 intel x64 cpu vs2013 c語言浮點數精度失真問題

最近重新學習了一下IEEE754標準，也許實際還有很多深刻問題沒有被揭示。
計算機程序設計藝術，據說這本書中也有討論。

參考：https://upimg.baike.so.com/doc/643382-681042.html
在這里插入圖片描述
float32在線測試頁面：https://www.h-schmidt.net/FloatConverter/IEEE754.html

我用手寫計算的方式，算過一遍之后，得到一個結論：
任意數值的32bit，對應的float，都可以被精確地計算，轉換為一個無誤差對應的字符串，且與printf %.Nf一致，只要N足夠大。
eg:float FLT_TRUE_MIN == 0x00000001, 0.00000000000000000000000000000000000000000000140129846432481707092372958328991613128026194187651577175706828388979108268586060148663818836212158203125 (149位小數)
所有其他float都是FLT_TRUE_MIN這個數的整數倍。
稍微計算幾個值就明白為什么。fraction中第一個1代表0.5，第二個1是0.25，然后是0.125,0.0625,0.03125 …尾數一直可以被2整除。題外話，如果是前蘇聯的3進制計算機，可能就存在無限循環除不盡的問題。

但是，前面提過，float與u32的雙射問題。
顯然32bit最多只有4,294,967,295個值。
u32只有10位十進制數，與149位十進制小數到FLT_MAX(340282346638528859811704183484516925440.000000)是無法一一對應的。
那么中間，絕大多數的浮點數數值都沒有32bit的對應值，也就是說，人工隨便寫的一個浮點數字符串，有99%以上的概率轉換為float之后，再轉換為string，是無法還原的！
但是，c基礎庫的printf %f和atof有一種不失真、可逆的轉換實現！只是這種實現是從32bit到float string，再還原到32bit。
人為造假float值比較容易被識別，只要是不可逆的就一定是人為改過的！

個人覺得IEEE754標準的設計，c語言的實現，并不是看起來那么簡單。
稍微提幾個方面：硬件電路、編譯器、累計誤差…這些方面的坑感覺都很深。

下面是個人測試float的代碼及測試結果：

#include <stdio.h>
#include <float.h>
#include <math.h>
union u32f32 {unsigned int u32;float f32;struct {unsigned int fraction : 23;unsigned int exp : 8;unsigned int sign : 1;};
};
static char c_u32[64] = { 0 };
static char c_sign[64] = { 0 };
static char c_exp[64] = { 0 };
static char c_fraction[64] = { 0 };
void to_binary_string_with_spaces(const unsigned int u32, const int bits, char c_temp[64]) {int valid_bits = bits <= 32 ? bits : 32;int char_index = 0;for (int i = valid_bits - 1; i >= 0; i--) {if (i % 4 == 3 && i != valid_bits - 1) {c_temp[char_index++] = ' ';}c_temp[char_index++] = (u32 & (1U << i)) ? '1' : '0';}c_temp[char_index] = '\0';
}
void print_float_binary(const char* p_name, const unsigned int i) {const union u32f32 u32_f32_obj = { .u32 = i };to_binary_string_with_spaces(u32_f32_obj.u32, 32, c_u32);to_binary_string_with_spaces(u32_f32_obj.sign, 1, c_sign);to_binary_string_with_spaces(u32_f32_obj.exp, 8, c_exp);to_binary_string_with_spaces(u32_f32_obj.fraction, 23, c_fraction);printf("float %s == 0x%08x, binary(%s)\n", p_name, u32_f32_obj.u32, c_u32);printf("float %s == 0x%08x, sign(%s)*(-1) 2^exp(%s-127) fraction(1.%s)\n",p_name, u32_f32_obj.u32, c_sign, c_exp, c_fraction);
}
int test_float() {union u32f32 u32_f32_max_obj = { .f32 = FLT_MAX };//3.402823466e+38Funion u32f32 u32_f32_epsilon_obj = { .f32 = FLT_EPSILON };//1.192092896e-07Funion u32f32 u32_f32_min_obj = { .f32 = FLT_MIN };//1.175494351e-38Funion u32f32 u32_f32_true_min_obj = { .f32 = FLT_TRUE_MIN };//1.401298464e-45Funion u32f32 u32_f32_NaN_obj = { .f32 = NAN };//nanunion u32f32 u32_f32_inf_obj = { .f32 = INFINITY };union u32f32 u32_f32_ne_inf_obj = { .f32 = -INFINITY };union u32f32 u32_f32_0_obj = { .f32 = 0 };union u32f32 u32_f32_ne_0_obj = { .f32 = 0,.sign = 1 };printf("float FLT_MAX      == 0x%08x, %f\n", u32_f32_max_obj.u32, u32_f32_max_obj.f32);printf("float FLT_EPSILON  == 0x%08x, %.23f\n", u32_f32_epsilon_obj.u32, u32_f32_epsilon_obj.f32);printf("float FLT_MIN      == 0x%08x, %.126f\n", u32_f32_min_obj.u32, u32_f32_min_obj.f32);printf("float FLT_TRUE_MIN == 0x%08x, %.149f\n", u32_f32_true_min_obj.u32, u32_f32_true_min_obj.f32);printf("float NaN          == 0x%08x, %f\n", u32_f32_NaN_obj.u32, u32_f32_NaN_obj.f32);printf("float INFINITY     == 0x%08x, %f\n", u32_f32_inf_obj.u32, u32_f32_inf_obj.f32);printf("float -INFINITY    == 0x%08x, %f\n", u32_f32_ne_inf_obj.u32, u32_f32_ne_inf_obj.f32);printf("float +0           == 0x%08x, %f\n", u32_f32_0_obj.u32, u32_f32_0_obj.f32);printf("float -0           == 0x%08x, %f\n", u32_f32_ne_0_obj.u32, u32_f32_ne_0_obj.f32);//print_float_binary("FLT_MAX     ", u32_f32_max_obj.u32);print_float_binary("FLT_EPSILON ", u32_f32_epsilon_obj.u32);print_float_binary("FLT_MIN     ", u32_f32_min_obj.u32);print_float_binary("FLT_TRUE_MIN", u32_f32_true_min_obj.u32);print_float_binary("NaN         ", u32_f32_NaN_obj.u32);print_float_binary("INFINITY    ", u32_f32_inf_obj.u32);print_float_binary("-INFINITY   ", u32_f32_ne_inf_obj.u32);print_float_binary("zero(+0)    ", u32_f32_0_obj.u32);print_float_binary("zero(-0)    ", u32_f32_ne_0_obj.u32);//union u32f32 u32_f32_obj = { .u32 = 0xBCD3D6D8 };//0xBCD3D6D8 == -0.02585928142070770263671875printf("float obj_test     == 0x%08x, %.60f\n", u32_f32_obj.u32, u32_f32_obj.f32);print_float_binary("obj_test    ", u32_f32_obj.u32);//printf("float obj_test     == 0x%08x, sign(%s1) 2^exp(%d) fraction(%.30f)\n", u32_f32_obj.u32,u32_f32_obj.sign ? "-" : "+",((int)u32_f32_obj.exp) - 127,1.0 * u32_f32_obj.fraction / (1 << 23) + 1);printf("float obj_test     == 0x%08x, sign(%d) exp(%f) fraction(%.30f)\n", u32_f32_obj.u32,(-1) * (int)u32_f32_obj.sign,(pow(2, ((int)u32_f32_obj.exp) - 127)),(1.0 * u32_f32_obj.fraction / (1 << 23) + 1));printf("float obj_test     == 0x%08x, %.30f\n", u32_f32_obj.u32,(-1) * (int)u32_f32_obj.sign *(pow(2, ((int)u32_f32_obj.exp) - 127)) *(1.0 * u32_f32_obj.fraction / (1 << 23) + 1));return 0;
}int main(int argc, char** argv) {return test_float();
}

float FLT_MAX      == 0x7f7fffff, 340282346638528859811704183484516925440.000000
float FLT_EPSILON  == 0x34000000, 0.00000011920928955078125
float FLT_MIN      == 0x00800000, 0.000000000000000000000000000000000000011754943508222875079687365372222456778186655567720875215087517062784172594547271728515625
float FLT_TRUE_MIN == 0x00000001, 0.00000000000000000000000000000000000000000000140129846432481707092372958328991613128026194187651577175706828388979108268586060148663818836212158203125
float NaN          == 0x7fc00000, nan
float INFINITY     == 0x7f800000, inf
float -INFINITY    == 0xff800000, -inf
float +0           == 0x00000000, 0.000000
float -0           == 0x80000000, -0.000000
float FLT_MAX      == 0x7f7fffff, binary(0111 1111 0111 1111 1111 1111 1111 1111)
float FLT_MAX      == 0x7f7fffff, sign(0)*(-1) 2^exp(1111 1110-127) fraction(1.111 1111 1111 1111 1111 1111)
float FLT_EPSILON  == 0x34000000, binary(0011 0100 0000 0000 0000 0000 0000 0000)
float FLT_EPSILON  == 0x34000000, sign(0)*(-1) 2^exp(0110 1000-127) fraction(1.000 0000 0000 0000 0000 0000)
float FLT_MIN      == 0x00800000, binary(0000 0000 1000 0000 0000 0000 0000 0000)
float FLT_MIN      == 0x00800000, sign(0)*(-1) 2^exp(0000 0001-127) fraction(1.000 0000 0000 0000 0000 0000)
float FLT_TRUE_MIN == 0x00000001, binary(0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0001)
float FLT_TRUE_MIN == 0x00000001, sign(0)*(-1) 2^exp(0000 0000-127) fraction(1.000 0000 0000 0000 0000 0001)
float NaN          == 0x7fc00000, binary(0111 1111 1100 0000 0000 0000 0000 0000)
float NaN          == 0x7fc00000, sign(0)*(-1) 2^exp(1111 1111-127) fraction(1.100 0000 0000 0000 0000 0000)
float INFINITY     == 0x7f800000, binary(0111 1111 1000 0000 0000 0000 0000 0000)
float INFINITY     == 0x7f800000, sign(0)*(-1) 2^exp(1111 1111-127) fraction(1.000 0000 0000 0000 0000 0000)
float -INFINITY    == 0xff800000, binary(1111 1111 1000 0000 0000 0000 0000 0000)
float -INFINITY    == 0xff800000, sign(1)*(-1) 2^exp(1111 1111-127) fraction(1.000 0000 0000 0000 0000 0000)
float zero(+0)     == 0x00000000, binary(0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000)
float zero(+0)     == 0x00000000, sign(0)*(-1) 2^exp(0000 0000-127) fraction(1.000 0000 0000 0000 0000 0000)
float zero(-0)     == 0x80000000, binary(1000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000)
float zero(-0)     == 0x80000000, sign(1)*(-1) 2^exp(0000 0000-127) fraction(1.000 0000 0000 0000 0000 0000)
float obj_test     == 0xbcd3d6d8, -0.025859281420707702636718750000000000000000000000000000000000
float obj_test     == 0xbcd3d6d8, binary(1011 1100 1101 0011 1101 0110 1101 1000)
float obj_test     == 0xbcd3d6d8, sign(1)*(-1) 2^exp(0111 1001-127) fraction(1.101 0011 1101 0110 1101 1000)
float obj_test     == 0xbcd3d6d8, sign(-1) 2^exp(-6) fraction(1.654994010925292968750000000000)
float obj_test     == 0xbcd3d6d8, sign(-1) exp(0.015625) fraction(1.654994010925292968750000000000)
float obj_test     == 0xbcd3d6d8, -0.025859281420707702636718750000