橢圓標準方程典型例題
例1已知P 點在以坐標軸為對稱軸的橢圓上，點P 到兩焦點的距離分別為354和35
2，過P 點作焦點所在軸
的垂線，它恰好過橢圓的一個焦點，求橢圓方程． 解：設兩焦點為1F 、2F ，且
3541=
PF ，35
22=
PF ．從橢圓定義知52221=+=PF PF a ．即5=a ．
從
2
1PF PF >知
2
PF 垂直焦點所在的對稱軸，所以在12F PF Rt ?中，
2
1
sin 1
221=
=
∠PF PF F PF ，
可求出
621π
=
∠F PF ，
3526
cos
21=
?=π
PF c ，從而310
222=
-=c a b ．
∴所求橢圓方程為1103522=+y x 或151032
2=+y x ．
例2 已知橢圓方程()0122
22>>=+b a b y a x ，長軸端點為1A ，2A ，焦點為1F ，
2F ，P 是橢圓上一點，θ=∠21PA A ，
α=∠21PF F ．求：21PF F ?的面積(用a 、b 、α表示)．
分析：求面積要結合余弦定理及定義求角α的兩鄰邊，從而利用
C ab S sin 21
=
?求面積．
解：如圖，設()y x P ，，由橢圓的對稱性，不妨設()y x P ，，由橢圓的對稱性，不妨設P 在第一象限．由余弦定理知：
221F F 2
221PF PF +=1
2PF -·
224cos c PF =α．①
由橢圓定義知： a PF PF 221=+ ②，則－①②2得
αcos 122
21+=?b PF PF ． 故αsin 21212
1PF PF S PF F ?=? ααsin cos 12212
+=b
2tan 2αb =．
例3 已知動圓P 過定點()03，-A ，且在定圓()6432
2
=+-y x B ：的內部與其相內切，求動圓圓心P 的軌跡方程．
分析：關鍵是根據題意，列出點P 滿足的關系式．
解：如圖所示，設動圓P 和定圓B 內切于點M ．動點P 到兩定點，
即定點()03，
-A 和定圓圓心()03，B 距離之和恰好等于定圓半徑， 即
8
==+=+BM PB PM PB PA ．∴點P 的軌跡是以A ，B 為兩焦點，
