在函數內部，可以調用其他函數。如果一個函數在內部調用自身本身，這個函數就是遞歸函數。
舉個例子，我們來計算階乘n! = 1 x 2 x 3 x ... x n，用函數fact(n)表示，可以看出：
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fact(n)= n!= 1 x2 x3 x ... x (n-1) x n= (n-1)! x n= fact(n-1) x n
所以，fact(n)可以表示為n x fact(n-1)，只有n=1時需要特殊處理。
于是，fact(n)用遞歸的方式寫出來就是：
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def fact(n):
if n==1:
return 1
return n* fact(n- 1)
上面就是一個遞歸函數。可以試試：
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3
4
5
6
>>> fact(1)
1
>>> fact(5)
120
>>> fact(100)
93326215443944152681699238856266700490715968264381621468592963895217599993229915608941463976156518286253697920827223758251185210916864000000000000000000000000L
如果我們計算fact(5)，可以根據函數定義看到計算過程如下：
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10
===> fact(5)
===>5 * fact(4)
===>5 * (4 * fact(3))
===>5 * (4 * (3 * fact(2)))
===>5 * (4 * (3 * (2 * fact(1))))
===>5 * (4 * (3 * (2 * 1)))
===>5 * (4 * (3 * 2))
===>5 * (4 * 6)
===>5 * 24
===>120
遞歸函數的優點是定義簡單，邏輯清晰。理論上，所有的遞歸函數都可以寫成循環的方式，但循環的邏輯不如遞歸清晰。
使用遞歸函數需要注意防止棧溢出。在計算機中，函數調用是通過棧（stack）這種數據結構實現的，每當進入一個函數調用，棧就會加一層棧幀，每當函數返回，棧就會減一層棧幀。由于棧的大小不是無限的，所以，遞歸調用的次數過多，會導致棧溢出。可以試試fact(1000)：
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>>> fact(1000)
Traceback (most recent call last):
File "", line1,in
File "", line4,in fact
...
File "", line4,in fact
RuntimeError: maximum recursion depth exceeded
解決遞歸調用棧溢出的方法是通過尾遞歸優化，事實上尾遞歸和循環的效果是一樣的，所以，把循環看成是一種特殊的尾遞歸函數也是可以的。
尾遞歸是指，在函數返回的時候，調用自身本身，并且，return語句不能包含表達式。這樣，編譯器或者解釋器就可以把尾遞歸做優化，使遞歸本身無論調用多少次，都只占用一個棧幀，不會出現棧溢出的情況。
上面的fact(n)函數由于return n * fact(n - 1)引入了乘法表達式，所以就不是尾遞歸了。要改成尾遞歸方式，需要多一點代碼，主要是要把每一步的乘積傳入到遞歸函數中：
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def fact(n):
return fact_iter(1,1, n)
def fact_iter(product, count,max):
if count >max:
return product
return fact_iter(product* count, count+ 1,max)
可以看到，return fact_iter(product * count, count + 1, max)僅返回遞歸函數本身，product * count和count + 1在函數調用前就會被計算，不影響函數調用。
fact(5)對應的fact_iter(1, 1, 5)的調用如下：
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5
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===> fact_iter(1,1,5)
===> fact_iter(1,2,5)
===> fact_iter(2,3,5)
===> fact_iter(6,4,5)
===> fact_iter(24,5,5)
===> fact_iter(120,6,5)
===>120
尾遞歸調用時，如果做了優化，棧不會增長，因此，無論多少次調用也不會導致棧溢出。
遺憾的是，大多數編程語言沒有針對尾遞歸做優化，Python解釋器也沒有做優化，所以，即使把上面的fact(n)函數改成尾遞歸方式，也會導致棧溢出。
有一個針對尾遞歸優化的decorator，可以參考源碼：
http://code.activestate.com/recipes/474088-tail-call-optimization-decorator/
我們后面會講到如何編寫decorator。現在，只需要使用這個@tail_call_optimized，就可以順利計算出fact(1000)：
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>>> fact(1000)
402387260077093773543702433923003985719374864210714632543799910429938512398629020592044208486969404800479988610197196058631666872994808558901323829669944590997424504087073759918823627727188732519779505950995276120874975462497043601418278094646496291056393887437886487337119181045825783647849977012476632889835955735432513185323958463075557409114262417474349347553428646576611667797396668820291207379143853719588249808126867838374559731746136085379534524221586593201928090878297308431392844403281231558611036976801357304216168747609675871348312025478589320767169132448426236131412508780208000261683151027341827977704784635868170164365024153691398281264810213092761244896359928705114964975419909342221566832572080821333186116811553615836546984046708975602900950537616475847728421889679646244945160765353408198901385442487984959953319101723355556602139450399736280750137837615307127761926849034352625200015888535147331611702103968175921510907788019393178114194545257223865541461062892187960223838971476088506276862967146674697562911234082439208160153780889893964518263243671616762179168909779911903754031274622289988005195444414282012187361745992642956581746628302955570299024324153181617210465832036786906117260158783520751516284225540265170483304226143974286933061690897968482590125458327168226458066526769958652682272807075781391858178889652208164348344825993266043367660176999612831860788386150279465955131156552036093988180612138558600301435694527224206344631797460594682573103790084024432438465657245014402821885252470935190620929023136493273497565513958720559654228749774011413346962715422845862377387538230483865688976461927383814900140767310446640259899490222221765904339901886018566526485061799702356193897017860040811889729918311021171229845901641921068884387121855646124960798722908519296819372388642614839657382291123125024186649353143970137428531926649875337218940694281434118520158014123344828015051399694290153483077644569099073152433278288269864602789864321139083506217095002597389863554277196742822248757586765752344220207573630569498825087968928162753848863396909959826280956121450994871701244516461260379029309120889086942028510640182154399457156805941872748998094254742173582401063677404595741785160829230135358081840096996372524230560855903700624271243416909004153690105933983835777939410970027753472000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000
小結
使用遞歸函數的優點是邏輯簡單清晰，缺點是過深的調用會導致棧溢出。
針對尾遞歸優化的語言可以通過尾遞歸防止棧溢出。尾遞歸事實上和循環是等價的，沒有循環語句的編程語言只能通過尾遞歸實現循環。
Python標準的解釋器沒有針對尾遞歸做優化，任何遞歸函數都存在棧溢出的問題。
