題目鏈接：
不同的二叉查找樹：http://www.lintcode.com/zh-cn/problem/unique-binary-search-trees/
不同的二叉查找樹 II：http://www.lintcode.com/zh-cn/problem/unique-binary-search-trees-ii/
不同形態二叉樹的數目：
樣例
給出n = 3，有5種不同形態的二叉查找樹：
1 3 3 2 1\ / / / \ \3 2 1 1 3 2/ / \ \2 1 2 3分析
?可以分析，當n=1時，只有1個根節點，則只能組成1種形態的二叉樹，令n個節點可組成的二叉樹數量表示為h(n)，則h(1)=1; h(0)=0;
?????? 當n=2時，1個根節點固定，還有2-1個節點。這一個節點可以分成（1,0），（0,1）兩組。即左邊放1個，右邊放0個；或者左邊放0個，右邊放1個。即：h(2)=h(0)*h(1)+h(1)*h(0)=2，則能組成2種形態的二叉樹。
????? 當n=3時，1個根節點固定，還有2個節點。這2個節點可以分成（2,0），（1,1），（0,2）3組。即h(3)=h(0)*h(2)+h(1)*h(1)+h(2)*h(0)=5，則能組成5種形態的二叉樹。
以此類推，當n>=2時，可組成的二叉樹數量為h(n)=h(0)*h(n-1)+h(1)*h(n-2)+...+h(n-1)*h(0)種，即符合Catalan數的定義，可直接利用通項公式得出結果。
令h(1)＝1,h(0)=1，catalan數（卡特蘭數）滿足遞歸式：?
h(n)= h(0)*h(n-1)+h(1)*h(n-2) + ... + h(n-1)h(0) (其中n>=2)
另類遞歸式：
該遞推關系的解為：
h(n)=C(2n,n)/(n+1) (n=1,2,3,...)
由此想到了上次說的"N個數依次入棧，出棧順序有多少種？", ?同樣用的也是卡特蘭數。
?http://www.cnblogs.com/hujunzheng/p/4845354.html
代碼
class Solution { public:/*** @paramn n: An integer* @return: An integer*/long long C(int n, int m){n = n-m+1;long long ans = 1;for(int i=1; i<=m; ++i){ans *= n++;ans /= i;}return ans;}int numTrees(int n) {// write your code herereturn C(2*n, n)/(n+1);} };
?
構建不同形態二叉樹：
樣例
給出n = 3，生成所有5種不同形態的二叉查找樹：
1 3 3 2 1\ / / / \ \3 2 1 1 3 2/ / \ \2 1 2 3其實通過樣例，我們可以發現n個結點構造不同形態二叉樹的過程，1,2,3.....n個結點，枚舉每一個結點為根結點(假設為root， 1<=root<=n), 那么(1,2..root-1)和(root+1, root+2...n)分別是root的左右子樹。每一步不斷地重復上述過程，最終會得到所有形態的二叉樹。
算法實現
先弱弱的說一下自己錯誤的實現，因為遞歸實現的時候會得到不同的二叉樹，那么如何判斷n個結點正好生成了二叉樹呢？于是用了一個變量useNode(=0)，表示當前已經用了多少個結點建樹。當useNode等于n的時候說明產生了一棵符合要求的樹，接著拷貝一下剛才生成的樹，然后放入vector中，繼續建造下一棵符合條件的二叉樹。
錯誤代碼：
/*** Definition of TreeNode:* class TreeNode {* public:* int val;* TreeNode *left, *right;* TreeNode(int val) {* this->val = val;* this->left = this->right = NULL;* }* }*/ class Solution { public:/*** @paramn n: An integer* @return: A list of root*/vector<TreeNode *> ans;int cntNode=0;//節點的總數TreeNode *curRoot = NULL;void copyT(TreeNode * &tmp, TreeNode *T){if(T){tmp = new TreeNode(T->val);copyT(tmp->left, T->left);copyT(tmp->right, T->right);}}void buildT(TreeNode * &T, int ld, int rd, int useNode){if(ld > rd) return;for(int root=ld; root<=rd; ++root){T = new TreeNode(root);if(ld==1 && rd==cntNode)curRoot = T;if(useNode+1==cntNode){//這個樹已經建立完畢，拷貝一下吧TreeNode *tmp = NULL;copyT(tmp, curRoot);ans.push_back(tmp);}buildT(T->left, ld, root-1, useNode+1);buildT(T->right, root+1, rd, useNode+root-ld+1);}}vector<TreeNode *> generateTrees(int n) {// write your code herecntNode = n;TreeNode *T = NULL;buildT(T, 1, n, 0);if(n == 0) ans.push_back(T);return ans;} };
后來運行之后，看到錯誤的答案與正確答案的對比，如下：
當n=4的時候
輸出
[{1,#,2,#,3,#,4},{1,#,2,#,4,3},{1,#,3,2,4},{1,#,4,2,#,#,3},{1,#,4,3,#,2},{2,1,3,#,#,#,4},{2,1,4,#,#,3},{3,2,4,1},{4,1,#,#,2,#,3},{4,1,#,#,3,2},{4,2,#,1,3},{4,3,#,1,#,#,2},{4,3,#,2,#,1}] 期望答案
[{1,#,2,#,3,#,4},{1,#,2,#,4,3},{1,#,3,2,4},{1,#,4,2,#,#,3},{1,#,4,3,#,2},{2,1,3,#,#,#,4},{2,1,4,#,#,3},{3,1,4,#,2},{3,2,4,1},{4,1,#,#,2,#,3},{4,1,#,#,3,2},{4,2,#,1,3},{4,3,#,1,#,#,2},{4,3,#,2,#,1}] 也就是少了{3,1,4,#,2}，以3為根結點的二叉樹為什么會少了呢？仔細想想，3結點的左孩子可以是1，也可以是2，那么左孩子為1的情況就被忽略了，此時useNode并不等于n，然后就換成左孩子為2結點的情況了。
正確代碼：
/*** Definition of TreeNode:* class TreeNode {* public:* int val;* TreeNode *left, *right;* TreeNode(int val) {* this->val = val;* this->left = this->right = NULL;* }* }*/ class Solution { public:/*** @paramn n: An integer* @return: A list of root*/vector<TreeNode *> buildT(int ld, int rd){vector<TreeNode *> ans;if(ld == rd) {TreeNode *T = new TreeNode(ld);ans.push_back(T);return ans;}if(ld > rd){ans.push_back(NULL);return ans;}for(int i=ld; i<=rd; ++i){vector<TreeNode *> ansLeft = buildT(ld, i-1);vector<TreeNode *> ansRight = buildT(i+1, rd);for(auto lx : ansLeft)for(auto rx : ansRight){TreeNode *T = new TreeNode(i);T->left = lx;T->right = rx;ans.push_back(T);}}return ans;}vector<TreeNode *> generateTrees(int n) {// write your code herevector<TreeNode *> ans = buildT(1, n);return ans;} };
分析：在確定當前結點X后，那么X的左孩子結點（或右孩子結點）可能會有多個，那么就把這些可能的結點都存到vector中，然后從左孩子集合中任選出lx結點，以及從右孩子集合中選出rx結點，那么lx和rx就確定了一種形態的二叉樹。
