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圖象邊緣檢測中邊界閉合性的分析與探討

摘?? 要 在圖象邊緣檢測中往往要求所檢測到的邊緣具有封閉特性，本文詳細地分析了目前常用的兩種算法：哈夫變換和Canny邊緣檢測算法，最后，探討邊緣算子應滿足的準則。
關鍵詞 邊緣檢測；閉合性；哈夫變換；Canny算子
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1引言
??????圖象的邊緣是指圖象局部區域亮度變化顯著的部分，該區域的灰度剖面一般可以看作是一個階躍，既從一個灰度值在很小的緩沖區域內急劇變化到另一個灰度相差較大的灰度值。圖象的邊緣部分集中了圖象的大部分信息，圖象邊緣的確定與提取對于整個圖象場景的識別與理解是非常重要的，同時也是圖象分割所依賴的重要特征，邊緣檢測主要是圖象的灰度變化的度量、檢測和定位，自從1959提出邊緣檢測以來，經過五十多年的發展，已有許多中不同的邊緣檢測方法。在我們常用的幾種用于邊緣檢測的算子中Laplace算子常常會產生雙邊界；而其他一些算子如Sobel算子又往往會形成不閉合區域。本文主要討論了在邊緣檢測中，獲取封閉邊界區域的算法。
2 圖象邊緣檢測的基本步驟
???? （1）濾波。邊緣檢測主要基于導數計算，但受噪聲影響。但濾波器在降低噪聲的同時也導致邊緣強度的損失。
???? （2）增強。增強算法將鄰域中灰度有顯著變化的點突出顯示。一般通過計算梯度幅值完成。
???? （3）檢測。但在有些圖象中梯度幅值較大的并不是邊緣點。最簡單的邊緣檢測是梯度幅值閾值判定。
???? （4）定位。精確確定邊緣的位置。

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圖1 邊緣檢測酸法的基本步驟
3 邊界閉合的算法
3.1 哈夫變換[3]
????? 由于噪聲的存在，用各種算子得到的邊緣象素不連續，但是由于邊緣象素之間有一定的連續性，我們就可以根據邊緣象素在梯度幅度或梯度方向上的連續性把他們連接起來。具體說來，如果象素(s,t)在象素(x，y)的領域且它們的梯度幅度與梯度方向在給定的閾值下滿足：
?
?
T是幅度閾值；A是角度閾值；

??????那么，如對所有的邊緣象素都進行上述的判斷和連接就可以得到一個閉合的邊界。
哈夫變換方法是利用圖像得全局特性而對目標輪廓進行直接檢測的方法，在已知區域形狀的條件下，哈夫變換可以準確地捕獲到目標的邊界（連續的獲不連續的），并最終以連續曲線的形式輸出變換結果，該變換可以從強噪聲環境中將已知形狀的目標準確得分割提取出來。
???? 哈夫變換的核心思想是: 點—線的對偶性(duality)。通過變換將圖象從圖像控件轉換到參數空間,在圖像空間中一條過點(x,y)的直線方程為y=px+q,通過代數變換可以轉換為另一種形式p=-px+y,即參數空間中過點(p,q)的一條直線,如果在圖像空間中保持直線的斜率和截距的不變,其在參數空間必定過點(p, q),這也就說明,在圖像空間中共線的點對應參數空間共點的線. 哈夫變換就是根據上述點—線的對偶性把在圖象空間中存在的直線檢測問題轉換為參數空間中存在的點檢測問題,后者的處理要比前者簡單易行得多,只需簡單地累加統計即可實現對邊緣的檢測.
哈夫變換不僅能檢測直線等一階曲線的目標,對于園、橢圓等高階的曲線都可以檢測出來。如圓的方程為：

?????其參數空間是一個3D空間A(a，b，r)，原理與檢測直線上的點相同，只是復雜性增加了。如果圓的半徑r己知，則問題又回到了2D空間A(a，b)
???? 哈夫變換對已知目標的檢測過程受隨機噪聲和曲線中斷等不利因素的影響很小，而且分割出的目標是直接放到另一個“干凈”的緩存中的，因此可以做到零噪聲，是相當有優勢的。常規的哈夫變換在理論上能對所有可以寫出具體解析表達式的曲線進行目標檢測，但是在實際處理時，經常待檢測的目標不規則或是很難獲取甚至根本沒有解析式，此時就要采取廣義上的哈夫變換來檢測目標，?
3．2最優的階梯型邊緣檢測算法(canny邊緣檢測)
???? 1.Canny邊緣檢測基本原理
???? (1)圖象邊緣檢測必須滿足兩個條件：一能有效地抑制噪聲；二必須盡量精確確定邊緣的位置。
???? (2)根據對信噪比與定位乘積進行測度，得到最優化逼近算子。這就是Canny邊緣檢測算子。
???? (3)類似與Marr（LoG）邊緣檢測方法，也屬于先平滑后求導數的方法。
???? 2.Canny邊緣檢測算法：
???? step1:用高斯濾波器平滑圖象；
???? step2:用一階偏導的有限差分來計算梯度的幅值和方向；
???? step3:對梯度幅值進行非極大值抑制；
???? step4:用雙閾值算法檢測和連接邊緣。
???? step1:高斯平滑函數
????? 以一維信號為例加以討論.一維高斯濾波函數G(x)定義為

　

?? step3:非極大值抑制
????? 僅僅得到全局的梯度并不足以確定邊緣，因此為確定邊緣，必須保留局部梯度最大的點，而抑制非極大值。（non-maxima suppression,NMS）
解決方法：利用梯度的方向。

圖2非極大值抑制
四個扇區的標號為0到3，對應3*3鄰域的四種可能組合。
????? 在每一點上，鄰域的中心象素M與沿著梯度線的兩個象素相比。如果M的梯度值不比沿梯度線的兩個相鄰象素梯度值大，則令M=0。
即：?
?????? step4:閾值化
?????? 減少假邊緣段數量的典型方法是對N[i，j]使用一個閾值。將低于閾值的所有值賦零值。但問題是如何選取閾值？
?????? 解決方法：雙閾值算法。雙閾值算法對非極大值抑制圖象作用兩個閾值τ1和τ2，且2τ1≈τ2，從而可以得到兩個閾值邊緣圖象N1［i,j］和N2［i， j］。由于N2［i，j］使用高閾值得到，因而含有很少的假邊緣，但有間斷(不閉合)。雙閾值法要在N2［i，j］中把邊緣連接成輪廓，當到達輪廓的端點時，該算法就在N1［i,j］的8鄰點位置尋找可以連接到輪廓上的邊緣，這樣，算法不斷地在N1［i,j］中收集邊緣，直到將N2［i,j］連接起來為止。
4 邊緣算子應滿足的準則

?
??
? 若滿足此準則，就能保證單邊緣只有一個響應。
對一個算法的性能評價可分為兩個階段進行：計算假邊緣與丟失邊緣的數目；測量用于估計位置和方向的誤差(或誤差分布)。邊緣檢測算法的優劣也可用品質因數(Figure of Merit)來描述。Pratt品質因數是其中一種，它著重考慮了丟失了有效的邊緣、邊緣定位誤差和將噪聲判斷為邊緣等三種誤差。

5 結束語
?????? 邊緣檢測在圖象分割、模式識別、機器視覺等中都有重要作用，人們已研究出很多種邊緣檢測算法，而哈夫變換和canny邊緣算子等是最經典的算法，人們已在這些經典算法基礎上提出一些新的改進算法。
?
參考文獻
[1]賈云德．機器視覺［Ｍ］．北京：科學出版社，2000
[2]章毓晉．圖象處理和分析［Ｍ］．北京：清華大學出版社，1999
[3]郎銳．數字圖象處理學．北京：希望電子出版社，2002
[4]王娜，李霞．一種新的改進Canny邊緣檢測算法．深圳大學學報，2005，4（2），149-152
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邊緣提取以及邊緣增強是不少圖像處理軟件都具有的基本功能，它的增強效果很明顯，在用于
識別的應用中，圖像邊緣也是非常重要的特征之一。圖像邊緣保留了原始圖像中相當重要的部分信息，
而又使得總的數據量減小了很多，這正符合特征提取的要求。在以后要談到的霍夫變換(檢測圖像中的幾
何形狀)中，邊緣提取就是前提步驟。
這里我們只考慮灰度圖像，用于圖像識別的邊緣提取比起僅僅用于視覺效果增強的邊緣提取要
復雜一些。要給圖像的邊緣下一個定義還挺困難的，從人的直觀感受來說，邊緣對應于物體的邊界。圖
像上灰度變化劇烈的區域比較符合這個要求，我們一般會以這個特征來提取圖像的邊緣。但在遇到包含
紋理的圖像上，這有點問題，比如說，圖像中的人穿了黑白格子的衣服，我們往往不希望提取出來的邊
緣包括衣服上的方格。但這個比較困難，涉及到紋理圖像的處理等方法。
好了，既然邊緣提取是要保留圖像的灰度變化劇烈的區域，從數學上，最直觀的方法就是微分
(對于數字圖像來說就是差分)，在信號處理的角度來看，也可以說是用高通濾波器，即保留高頻信號。
這是最關鍵的一步，在此之前有時需要對輸入圖像進行消除噪聲的處理。
用于圖像識別的邊緣提取往往需要輸出的邊緣是二值圖像，即只有黑白兩個灰度的圖像，其中
一個灰度代表邊緣，另一個代表背景。此外，還需要把邊緣細化成只有一個像素的寬度。總的說來邊緣
提取的步驟如下：
1，去噪聲
2，微分運算
3，2值化處理
4，細化
第二步是關鍵，有不少書把第二步就直接稱為邊緣提取。實現它的算法也有很多，一般的圖像
處理教科書上都會介紹好幾種，如拉普拉茲算子，索貝爾算子，羅伯特算子等等。這些都是模板運算，
首先定義一個模板，模板的大小以3*3的較常見，也有2*2，5*5或更大尺寸的。運算時，把模板中心對
應到圖像的每一個像素位置，然后按照模板對應的公式對中心像素和它周圍的像素進行數學運算，算出
的結果作為輸出圖像對應像素點的值。
需要說明的是，模板運算是圖像的一種處理手段--鄰域處理，有許多圖像增強效果都可以采用
模板運算實現，如平滑效果，中值濾波(一種消除噪聲的方法)，油畫效果，圖像的凹凸效果等等。這些
算法都比較簡單，為人們常用。
關于前面提到的幾種邊緣提取算子(拉普拉茲算子，索貝爾算子，羅伯特算子)，教科書上都有
較為詳細的介紹，我這里不多說了，(手頭上沒有教科書，也懶得翻譯英文資料)，如果你們有時間，可
以把這些方法的具體情況仔細介紹一下。這里對拉普拉茲算子和索貝爾算子補充兩句。拉普拉茲算子是
2階微分算子，也就是說，相當于求取2次微分，它的精度還算比較高，但對噪聲過于敏感(有噪聲的情
況下效果很差)是它的重大缺點，所以這種算子并不是特別常用。索貝爾算子是最常用的算子之一(它是
一種一階算子)，方法簡單效果也不錯，但提取出的邊緣比較粗，要進行細化處理。另外，索貝爾算子
也可提取出圖像邊緣的方向信息來，有文章論證過，在不考慮噪聲的情況下，它取得的邊緣信息誤差不
超過7度。
順便說一句，往往我們在進行邊緣提取時只注意到位置信息，而忽略了邊緣的方向。事實上，
圖像的邊緣總有一定的走向，我們可以用邊緣曲線的法線方向(和切線垂直的直線)來代表邊緣點的方向
。在圖像識別的應用中，這個方向是非常重要的信息。
上面的幾種算子是屬于比較簡單的方法，邊緣提取的精度都不算特別高，下面介紹幾種高級算
法。首先是馬爾(Marr)算子，馬爾是計算機視覺這門學問的奠基人，很了不起，但這些理論很難懂。他
提出的邊緣提取方法可以看成兩個步驟，一個是平滑作用來消除噪聲，另一個是微分提取邊緣，也可以
說是由兩個濾波器組成，低通濾波去除噪聲，高通濾波提取邊緣。人們也稱這種方法為LOG濾波器，這也
是根據它數學表達式和濾波器形狀起的名字。也可以采用模板運算來實現這種算法，但模板的大小一般
要在7*7以上，所以運算復雜程度比索貝爾算子等要大不少，運算時間當然也長許多。
另外一種非常重要的算法是坎尼(Canny)算子,這是坎尼在1986年寫的一篇論文里仔細論述的。
他給出了判斷邊緣提取方法性能的指標。而坎尼算子也是圖像處理領域里的標準方法，也可以說是默認
的方法。比較奇怪的是，國內的圖像處理教科書中，介紹坎尼算子的很少。本人見過的書中，鄭南寧的
‘計算機視覺與模式識別’(1998年)，算是介紹的比較詳細的。坎尼算子在使用時要提供給一些參數，
用于控制算法的性能，實際上，對于不同的圖像或不同的邊緣提取目的，應該提供不同的參數，以達到
最佳效果。它也有模板運算方法，模板的大小也比較大,和提供的參數有關，標準的大小差不多是17*17
，可以根據算子的可分離性用快速算法(否則就會慢的一塌糊涂)，坎尼算子的2值化也很有特色，具有
一定的智能性。
還有一種算法：Shen-Castan算子，大概可稱為沈峻算子，總之是中國人的成果，效果和坎尼
算子不相上下，這種算法在對邊緣提取好壞的判別標準上有些不同。(這種方法我沒用過，好象編起程
序來，要比坎尼算子還復雜)
在實際的圖像處理與識別應用中，有時需要根據被處理圖像的種類以及實際目的，量身定做算
法，邊緣提取也是一樣，但是基本原理都是一樣的。