設 A[t]表示序列中的第t個數，F[t]表示從1到t這一段中以t結尾的最長上升子序列的長度，初始時設F [t] = 0(t = 1, 2, ..., len(A))。則有動態規劃方程：F[t] = max{1, F[j] + 1} (j = 1, 2, ..., t - 1, 且A[j] < A[t])。?
現在，我們仔細考慮計算F[t]時的情況。假設有兩個元素A[x]和A[y]，滿足?
(1)x < y < t?
(2)A[x] < A[y] < A[t]?
(3)F[x] = F[y]?
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此時，選擇F[x]和選擇F[y]都可以得到同樣的F[t]值，那么，在最長上升子序列的這個位置中，應該選擇A[x]還是應該選擇A[y]呢？?
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很明顯，選擇A[x]比選擇A[y]要好。因為由于條件(2)，在A[x+1] ... A[t-1]這一段中，如果存在A[z]，A[x] < A[z] < a[y]，則與選擇A[y]相比，將會得到更長的上升子序列。?
再根據條件(3)，我們會得到一個啟示：根據F[]的值進行分類。對于F[]的每一個取值k，我們只需要保留滿足F[t] = k的所有A[t]中的最小值。設D[k]記錄這個值，即D[k] = min{A[t]} (F[t] = k)。?
注意到D[]的兩個特點：?
(1) D[k]的值是在整個計算過程中是單調不下降的。?
(2) D[]的值是有序的，即D[1] < D[2] < D[3] < ... < D[n]。?
利 用D[]，我們可以得到另外一種計算最長上升子序列長度的方法。設當前已經求出的最長上升子序列長度為len。先判斷A[t]與D[len]。若A [t] > D[len]，則將A[t]接在D[len]后將得到一個更長的上升子序列，len = len + 1， D[len] = A [t]；否則，在D[1]..D[len]中，找到最大的j，滿足D[j] < A[t]。令k = j + 1，則有A [t] <= D[k]，將A[t]接在D[j]后將得到一個更長的上升子序列，更新D[k] = A[t]。最后，len即為所要求的最長上 升子序列的長度。?
在 上述算法中，若使用樸素的順序查找在D[1]..D[len]查找，由于共有O(n)個元素需要計算，每次計算時的復雜度是O(n)，則整個算法的 時間復雜度為O(n^2)，與原來的算法相比沒有任何進步。但是由于D[]的特點(2)，我們在D[]中查找時，可以使用二分查找高效地完成，則整個算法 的時間復雜度下降為O(nlogn)，有了非常顯著的提高。需要注意的是，D[]在算法結束后記錄的并不是一個符合題意的最長上升子序列！
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1 #include<cstdio> 2 #include<cstring> 3 #include<algorithm> 4 #include<iostream> 5 using namespace std; 6 7 const int mx=100005; 8 int a[mx],d[mx]; 9 10 int BinSerch(int l,int r,int cut) 11 { 12 while (l<=r) 13 { 14 int m=(l+r)>>1; 15 if (cut>d[m]&&cut<=d[m+1]) return m; 16 if (cut>d[m]) l=m+1; 17 else r=m-1; 18 } 19 return 0; 20 } 21 22 int LIS(int n) 23 { 24 int len=1,j; 25 d[1]=a[0]; 26 for (int i=1;i<n;i++) 27 { 28 if (a[i]>d[len]) j=++len; 29 else j=BinSerch(1,len,a[i])+1; 30 d[j]=a[i]; 31 } 32 return len; 33 } 34 35 int main() 36 { 37 int n; 38 while (~scanf("%d",&n)) 39 { 40 for (int i=0;i<n;i++) scanf("%d",&a[i]); 41 printf("%d\n",LIS(n)); 42 } 43 }
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