數學類高等代數期末考試試題A卷(含答案)

課程編號MTH17063 北京理工大學2010-2011學年第一學期2009級數學類高等代數期末考試試題A卷班級 學號 姓名 成績 一、(25分)設表示域上的所有階矩陣構成的上的線性空間。取定，對于任意的，定義。(1)證明為上的一個線性變換。(2)證明對于任意的都有。(3)當時，求在給定基下的矩陣表示。(4)當時，求的一組基與維數。二、(15分)設數域上3維線性空間的線性變換在的一個基下的矩陣為。求線性變換的Jordan標準形。三、(20分)設是域上維線性空間上的一個線性變換，證明(1)如果是的一維不變子空間，那么中任何一個非零向量都是的特征向量；反之，如果是的一個特征向量，那么生成的子空間是的一維不變子空間。(2)可以對角化的充分必要條件是可以分解成的一維不變子空間的直和。四、(20分)設，在中取一個基。(1)求它的對偶基，要求寫出的表達式。(2)求上任意一個線性函數的表達式。五、(20分)證明維酉空間上的線性變換是Hermite變換當且僅當在的任意一個標準正交基下的矩陣是Hermite矩陣。課程編號MTH17063 北京理工大學2011-2012學年第一學期2010級數學類高等代數III期末考試試題 A卷班級 學號 姓名 成績 一、(15分)設為數域上所有階矩陣構成的上的線性空間。取定，對于任意的，定義。(1)證明為上的一個線性變換。(2)證明對于任意的都有。(3)當時，求在給定基下的矩陣表示。二、(15分)設數域上4維線性空間的線性變換在的一個基下的矩陣為。求線性變換的Jordan標準形。三、(20分)設是數域上維線性空間上的一個線性變換，證明可以對角化當且僅當可以分解成的一維不變子空間的直和。四、(20分)設，在中取一個基。(1)求它的對偶基，要求寫出的表達式。(2)求上任意一個線性函數的表達式。五、(15分)證明維歐幾里得空間上的線性變換是斜對稱變換當且僅當在的任意一個標準正交基下的矩陣是斜對稱矩陣。六、(15分)設是數域上維線性空間上的一個線性變換，試寫出你所知道的可以對角化的充要條件。課程編號MTH17063 北京理工大學2011-2012學年第一學期2010級數學類高等代數III期末考試試題 B卷班級 學號 姓名 成績 一、(15分)設為數域上所有階矩陣構成的上的線性空間。取定，對于任意的，定義。(1)證明為上的一個線性變換。(2)證明對于任意的都有。(3)當時，求在給定基下的矩陣表示。二、(15分)設數域上4維線性空間的線性變換在的一個基下的矩陣為，求線性變換的Jordan標準形。三、(20分)設是數域上維線性空間上的一個線性變換，證明可以對角化當且僅當的最小多項式在中能分解成不同的一次因式乘積。四、(20分)設，在中取一個基。(1)求它的對偶基，要求寫出的表達式。(2)求上任意一個線性函數的表達式。五、(15分)證明維歐幾里得空間上的線性變換是對稱變換當且僅當在的任意一個標準正交基下的矩陣是對稱矩陣。六、(15分)設是數域上維線性空間上的一個線性變換，試寫出你所知道的可以對角化的充要條件。課程編號MTH17063 北京理工大學2012-2013學年第一學期2011級數學類高等代數III期末考試試題 A卷班級 學號 姓名 成績 一、(25分)設為數域上所有階矩陣構成的上線性空間。取定可逆矩陣，對于任意的，定義。(1)證明為上的一個線性變換,而且是一個同構映射。(2)證明對于任意的都有。(3)當，取定時，求在給定基下的矩陣表示。二、(20分)設，在中取一個基。(1)求它的對偶基，要求寫出的表達式。(2)求上任意一個線性函數的表達式。三、(20分)設是實數域上的維線性空間的一個雙線性函數，且在的基下的度量矩陣為(1)問取何值時，是內積(2)當是內積時，求的一個標準正交基。四、(15分)設是歐幾里得空間的一個子空間，表示在上的正交投影，試證明是對稱變換。五、(20分)已知矩陣的最小多項式為。(1)求矩陣的全部互不相同的特征值。(2)矩陣的Jordan標準形是否唯一確定如果唯一，請說明原因。如果不唯一，請寫出其所有可能的Jordan標準形。課程編號MTH17063 北京理工大學2012-2013學年第一學期2011級數學類高等代數III期末考試試題 B卷班級 學號 姓名 成績 一、(25分)設為數域上所有階矩陣構成的上線性空間。取定可逆矩陣，對于任意的，定義。(1)證明為上的一個線性變換,而且是一個同構映射。(2)證明對于任意的都有。(3)特別地，當，時，求在給定基下的矩陣表示。二、(20分)設是實數域上的維線性空間的一個雙線性函數，且在的基下的度量矩陣為(1)問取何值時，是內積(2)當是內積時，求的一個標準正交基。三、(15分)設是數域上維線性空間上的一個線性變換，證明可以對角化當且僅當可以分解成的一維不變子空間的直和。四、(20分)對于任意的矩陣,如果滿足，我們稱是一個Hermite矩陣。(1)證明矩陣是一個Hermite矩陣當且僅當其關于主對角線對稱位置的元素有如下特點，。(2)證明酉空間上的線性變換是Hermite變換當且僅當在的任意一個標準正交基下的矩陣是Hermite矩陣。五、(20分)已知矩陣的最小多項式為。(1)求矩陣的全部互不相同的特征值。(2)矩陣的Jordan標準形是否唯一確定如果唯一，請說明原因。如果不唯一，請寫出其所有可能的Jordan標準形。課程編號MTH17168 北京理工大學2012-2013學年第二學期2012級數學類、物理類高等代數II期末考試試題 A卷班級 學號 姓名 成績 一、(12分)已知多項式，證明在有理數域上不可約。二、(18分)在線性空間上定義映射，(1)證明是到其自身的一個同構映射。(2)證明對任意的，都有。(3)求在基下的矩陣表示。三、(15分)設是數域上的線性空間，是上的一個冪等線性變換(即)。證明。四、(16分)(1)已知矩陣，求的Jordan標準形。(2)問以為Jordan標準形的矩陣只有矩陣嗎如果不是，你能再構造一個以為Jordan標準形的矩陣嗎五、(15分)對于任意的矩陣,如果滿足，我們稱是一個反Hermite矩陣。證明酉空間上的線性變換是反Hermite變換當且僅當在的任意一個標準正交基下的矩陣是反Hermite矩陣。六、(24分)(1)證明相似矩陣具有相同的最小多項式。(2)試舉反例說明，具有相同最小多項式的矩陣不一定相似。(3)證明具有相同的特征多項式和最小多項式的矩陣一定相似。(3)為錯題，試舉反例課程編號MTH17168 北京理工大學2012-2013學年第二學期2012級數學類、物理類高等代數II期末考試試題 B卷班級 學號 姓名 成績 一、(12分)已知多項式，證明在有理數域上不可約。二、(18分)在線性空間上定義映射，(1)證明是上的一個線性變換。(2)證明對任意的，都有。(3)求在基下的矩陣表示。三、(15分)在線性空間中，我們用表示跡為零的矩陣組成的集合。證明。四、(16分)(1)已知矩陣求的Jordan標準形。(2)問以為Jordan標準形的矩陣只有矩陣嗎如果不是，你能再構造一個以為Jordan標準形的矩陣嗎五、(20分)對于任意的矩陣,如果滿足，我們稱是一個Hermite矩陣。證明酉空間上的線性變換是Hermite變換當且僅當在的任意一個標準正交基下的矩陣是Hermite矩陣。六、(24分)(1)證明相似矩陣具有相同的最小多項式。(2)試舉反例說明，具有相同最小多項式的矩陣不一定相似。(3)證明具有相同的特征多項式和最小多項式的矩陣一定相似。(3)為錯題，試舉反例課程編號MTH17168 北京理工大學2013-2014學年第二學期2013級數學類高等代數II期末考試試題 A卷班級 學號 姓名 成績 2013級考試時使用的試卷一、填空題(每空3分，共計39分)(1)設是數域為中不可約多項式，如果存在復數使得，那么與的關系為 。思考如果沒有本題紅色部分，結果如何(2)已知多項式，那么為 。(3)在實數域上的線性空間中函數生成的子空間維數為 。(4)設與分別是四元齊次線性方程組與的解空間，則的維數是 。(5)已知數域上的線性空間，令，則的維數是 ，的一組基為 。(6)在實數域上的線性空間中如下定義一個線性變換 ，則在基的矩陣是 。(7)設三維線性空間上的線性變換在基下的矩陣為，則在基下的矩陣為 。(8)已知實數域上線性空間中三個向量，與互為對偶基，則對于有 。(9)已知四階方矩陣的特征多項式為，其最小多項式為，則的Jordan標準型為 ，特征值的特征子空間維數為 ， 。(10)設是數域上的二維線性空間，是上的一個線性變換，在基下的矩陣為，則的全部不變子空間是 。 二、(16分)設是數域上維線性空間上的線性變換，證明當且僅當，這里表示上的恒等變換。 三、(21分)設是維歐幾里得空間的一個線性變換且滿足條件(1)若是的一個特征值，證明。(2)證明中存在一組標準正交基，使得在此基下的矩陣為對角矩陣。(3)設在的某組標準正交基下的矩陣為，證明將看作復數域上的矩陣，其特征值必為零或者純虛數。四、(18分)已知復數域上的線性空間，令(1)證明對于矩陣的加法，以及實數與矩陣的數量乘法成為實數域上的線性空間，并且說明中元素均具有如下形式(2)對于中的任意兩個矩陣,如下定義雙線性函數。證明如上定義的雙線性函數是上的一個內積,從而成為歐幾里得空間;并且求出的一個標準正交基.(3)設是一個酉矩陣，對任意的，規定，證明是上的正交變換。五、(6分)設是數域，且時，求的最小多項式。課程編號MTH17168 北京理工大學2013-2014學年第二學期2013級數學類高等代數II期末考試試題 B卷班級 學號 姓名 成績