教學視頻來源
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|---|---|---|
| - | 第0講 概要 | - |
| 0.1 講師介紹 | 0.2 課程內容 | - |
| - | 第1講 什么是邏輯學？ | - |
| 1.1 “邏輯和邏輯學 | 1.2 推理和推理形式 | 1.3 有效推理形式 |
| 1.4 邏輯學的特點 | 1.5 邏輯學的基本準則 | 1.6 邏輯學和其他學科的關系 |
| 1.7 關于本課程《邏輯學概論》 | - | - |
| - | 第2講 邏輯學的產生與發展 | - |
| 2.1 中國古代邏輯思想（上） | 2.2 中國古代邏輯思想（中） | 2.3 中國古代邏輯思想（下） |
| 2.4 印度古代邏輯 | 2.5 古希臘和中世紀邏輯 | 2.6 近代西方邏輯 |
| 2.7 數理邏輯的提出和實現 | 2.8 數理邏輯的發展 | - |
| - | 第3講 命題聯結詞及其基本推理形式 | - |
| 3.1 推理和命題 | 3.2 基本命題和復合命題 | 3.3 常用命題聯結詞及其基本推理形式（1） |
| 3.4 常用命題聯結詞及其基本推理形式（2） | 3.5 常用命題聯結詞及其基本推理形式（3） | 3.6 常用命題聯結詞及其基本推理形式（4） |
| 3.7 常用命題聯結詞及其基本推理形式（5） | 3.8 常用命題聯結詞及其基本推理形式（6） | 3.9 常用命題聯結詞及其基本推理形式（7） |
| - | 第4講 復合命題的推理：有效推理形式的判定 | - |
| 4.1 重言式、矛盾式和可滿足式 | 4.2 具體推理轉換為推理形式 | 4.3 推理形式轉換為復合命題形式 |
| 4.4 有效推理形式的判定：真值表法 | 4.5 有效推理形式的判定：歸謬賦值法 | - |
| - | 第5講 復合命題的推理：命題聯結詞的充足集 | - |
| 5.1 命題聯結詞：真值函數 | 5.2 析取范式 | 5.3 為復合命題形式作與之等值的析取范式 |
| 5.4 合取范式 | 5.5 范式存在定理 | 5.6 命題聯結詞的充足集 |
| 5.7 命題聯結詞的獨元充足集 | - | - |
| - | 第6講 命題演算：公理系統 | - |
| 6.1 公理系統的構成 | 6.2 命題演算的公理系統L | 6.3 命題演算公理系統L中的證明 |
| 6.4 命題演算公理系統L中的證明（續） | 6.5 命題演算公理系統L中的推演 | - |
| - | 第7講 命題演算：公理系統，自然演繹系統 | - |
| 7.1 公理系統出發點的延伸 | 7.2 公理系統的評價 | 7.3 公理系統的性質和評價及其意義 |
| 7.4 命題演算的自然演繹系統 | 7.5 命題演算自然演繹系統中的證明和推演 | - |
| - | 第8講 基本命題的構成 | - |
| 8.1 基本命題的結構 | 8.2 詞項的內涵和外延 | 8.3 詞項的種類 |
| 8.4 詞項間的關系 | 8.5 詞項的定義 | 8.6 詞項的劃分 |
| 8.7 謂詞的分類 | 8.8 量詞 | 8.9 聯詞 |
| - | 第9講 傳統邏輯中基本命題的推理 | - |
| 9.1 基本命題的推理 | 9.2 傳統邏輯對基本命題的分析 | 9.3 性質命題中主、謂詞的周延 |
| 9.4 命題變形的推理 | 9.5 根據對當關系的推理 | 9.6 三段論 |
| 9.7 三段論的式與格 | 9.8 有效三段論的判定 | - |
| - | 第10講 基本命題的推理 | - |
| 10.1 性質命題 | 10.2 主詞非空的預設 | 10.3 關系命題的結構 |
| 10.4 關系命題根據量詞的推理 | 10.5 關系命題根據謂詞性質的推理方法 | 10.6 謂詞演算簡介 |
| - | 第11講 非經典邏輯的初步 | - |
| 11.1 非經典（非標準）邏輯 | 11.2 多值邏輯 | 11.3 模糊邏輯 |
| 11.4 模態邏輯 | 11.5 規范邏輯 | 11.6 時態邏輯 |
| 11.7 弗協調邏輯 | - | - |
| - | 第12講 余論 | - |
| 12.1 演繹和歸納 | 12.2 探求因果關系的邏輯方法 | 12.3 證論和反駁 |
| 12.4 悖論 | 12.5 本課程《邏輯學概論》內容回顧 | - |
第0講 概要
0.1 講師介紹
陳為蓬 清華大學人文學院 副教授
0.2 課程內容
- 第1講 什么是邏輯學？
- 第2講 邏輯學的產生與發展
- 第3講 命題聯結詞及其基本推理形式
- 第4講 復合命題的推理：有效推理形式的判定
- 第5講 復合命題的推理：命題聯結詞的充足集
- 第6講 命題演算：公理系統
- 第7講 命題演算：公理系統，自然演繹系統
- 第8講 基本命題的構成
- 第9講 傳統邏輯中基本命題的推理
- 第10講 基本命題的推理
- 第11講 非經典邏輯的初步
- 第12講 余論
第1講 什么是邏輯學？
1.1 “邏輯和邏輯學
什么是邏輯？
“邏輯”一詞的多種用法:
- “事物發展有其內在的邏輯。”
- “這個人為人處世，有他自己的邏輯。”
- “按照對方辯友的邏輯，豈不是說…？”
帝國主義者的邏輯和人民的邏輯是這樣的不同。搗亂，失敗，再搗亂，再失敗，直至滅亡————這就是帝國主義和世界上一切反動派對待人民事業的邏輯，他們決不會違背這個邏輯的。…斗爭，失敗，再斗爭，再失敗，再斗爭，直至勝利一這就是人民的邏輯，他們也是決不會違背這個邏輯的。 ————(毛澤東:《丟掉幻想準備斗爭》)
上面的邏輯與邏輯學中的邏輯相差甚遠，上面更多的是客觀規律，行為方式。
“邏輯”一詞的另多種用法:
- “說話、寫文章都要講邏輯。”
- “這篇論文結構嚴謹，邏輯嚴密。”
- “他的發言顛三倒四，邏輯混亂。”
上面的邏輯與邏輯學中的邏輯比較接近，但仍然不是邏輯學中研究對象。
邏輯(logic)一詞的語源
- 來自希臘語logos (邏各斯) :
- 世界的可理解的規律;
- 一般的原理和規則;
- 語言、命題、說明、解釋、論證;
- 理性、理念、推理、推理能力;
- 尺度、關系、比例、價值;
“邏輯”一詞的不同含義:
- 客觀事物的規律性;
- 某種理論、觀點、行為方式;（比如上面毛主席的話）
- 思維的規律、規則;（比如文章復合邏輯）
- 一門學科，即邏輯學。
邏輯學：以推理形式為主要研究對象的學科（要與日常中邏輯區分開來）
1.2 推理和推理形式
推理：從已知條件(前提)得出結論的過程
例如，偵破案件步驟:
- 提取材料
- 搜集條件
- 得出結論
偵破案件是一個推理過程
又例如，法庭審案根據案卷（關于案件的材料、已知條件），作出判罰，這也是推理過程。
又例如，數學上證明定理：用公理、定理推出新定理，這也是推理過程。
我們日常生活中，不經意都會推理（例如，父母回到家，摸電視背后，感覺有沒有發燙，判斷小孩在自己進門前是否在觀看電視）
推理形式:推理的結構
同類的不同具體推理具有共同的結構，即推理形式。
- 所有金屬都是導體，銅是金屬 -> 銅是導體
- 所有鳥都是卵生的，企鵝是鳥 -> 企鵝是卵生的
- 所有A都是B，C是A -> C是B（共同的結構）
1.3 有效推理形式
-
所有金屬都是導體，銅是金屬 -> 銅是導體（正確）
-
所有A都是B，C是A -> C是B（有效推理形式）
-
所有金屬都是導體，銅是導體 -> 銅是金屬（不正確）（反例：碳是導體）
-
所有A都是B，C是B -> C是A（無效推理形式）
有效推理形式
- 真前提通過有效推理形式只能得到真結論。
- 即:通過有效推理形式，從真前提不會得到假結論。
邏輯：研究推理、推理形式
1.4 邏輯學的特點
- 抽象性
- 應用性
- 工具性
所有的科學在某種意義上都是某一方面的抽象
數理邏輯的公理系統中：符號只是符號本身，具有非常高的抽象性（也就是具有廣泛應用性）
邏輯是一門高度抽象的學科，應用范圍廣。
歐姆定理 U = IR，通過實驗得出。之后可用數學求出，可不再用實驗求其中某一值。
數學是物理學和很多學科的工具。邏輯學也一樣。
- 因A=B，故B=A 對
- 因A>B，故B>A 錯
- 因A!=B，故B!=A 對
顯然它們是正確，但“顯然”不靠譜。在邏輯學上，若兩對象關系是對稱的，則位置可互換，否則，不行。
- 由A=B和B=C，可得A=C。
顯然這是正確。在邏輯學上，等于號=具有傳遞的關系
1.5 邏輯學的基本準則
邏輯學研究對象范圍很小：推理以及與推理有關的問題。
邏輯學的基本準則：
- 同一律 A就是A（譬如，跑題）
- （不）矛盾論 不矛盾論就是矛盾律，A不是非A，A和A的否定不能同時成立
- 排中律：A或A的否定必有一真，也就是沒有中間態
矛盾論：A和A的否定不能同時成立，但是日常生活中，常常描述某事物同時是好是壞，如這事物指下雪。
正確的解讀：
-
A：下雪是好事
-
A的否定：下雪是壞事
-
A1：下雪對冬小麥是好事
-
A2的否定：下雪對交通是壞事
A與A1是不同的
同一律，（不）矛盾論普遍適用
而排中律的適用范圍是沒有中間狀態的，而二者互補的
例子：
- 張三是男生，張三是女生，違反矛盾論
- 張三不是男生，張三不是女生，違反排中律
日常生活中，符不符合邏輯，往往就邏輯學的基本準則幾方面而言的。
1.6 邏輯學和其他學科的關系
邏輯學與以下學科的關系密切
- 哲學
- 數學
- 語言學
- 計算機科學
邏輯學最早是作為哲學的一部分存在的。
哲學，狹義理解，主要解決世界本原問題，物質的，還是精神的，是主觀的，還是客觀的。
本體論和認識論是哲學的核心。
廣義理解，包括邏輯學，倫理學，美學
數理邏輯：用數學的方法、數學的語言、數學的工具研究推理。數理邏輯的成果為數學基礎的研究服務。
語言是邏輯的外殼
語文老師會認為“整個大樓片漆黑，只有那個窗戶燈火通明。”是不對的，因為這兩個子句互為矛盾
同樣，“中國有著世界上任何國家都沒有的萬里長城”也是不對的。
計算機科學 離散數學
最早的邏輯系統：二值，是與不是
推理：演繹和歸納
- 演繹：從一般到個別
- 歸納：從個別到一般
計算機為未做到歸納，但能做到演繹
歸納邏輯它的一個任務是要把我們所做的具體的歸納，要給出歸納的有效推理形式。
1.7 關于本課程《邏輯學概論》
傳統邏輯還是數理邏輯？
- 傳統邏輯：古典邏輯 古希臘亞里士多德為代表。
- 數理邏輯：現代邏輯 西方以萊布尼茨為創始人。
課程內容：數理邏輯的基礎部分和傳統邏輯的常用部分。
數理邏輯：不涉及任何一門高等數學的具體內容。
通過具體的推理了解:邏輯的精神、邏輯的方法、邏輯的思路。
第2講 邏輯學的產生與發展
2.1 中國古代邏輯思想（上）
邏輯學的產生和發展
了解邏輯學的思路、精神、方法
世界三大邏輯傳統：
- 中國
- 印度
- 希臘
中國先秦時代的邏輯思想：春秋戰國，百家爭鳴
中國古代邏輯思想不像希臘那樣單純研究推理，而是滲透在，貫穿在對于其他許多問題的研究與論述當中。
孔子為主要代表
子日：觚不觚，觚哉!觚哉!————《論語.雍也篇》（觚：用來喝酒的青銅具）
子日：必也正名乎! …名不正則言不順，言不順則事不成，事不成則禮樂不興，禮樂不興則刑罰不中，刑罰不中則民無所措手足。故君子名之必可言也，言之必可行也。————《論語.子路篇》（推理）
白馬非馬
日：“馬非馬，可乎?”
日：“可。”
日：“何哉?”
日: “馬者所以命形也。白者所以命色也。命色者非命形也，故日白馬非馬。”…
日：“求馬，黃、黑馬皆可致。求白馬，黃、黑馬不可致。”
————公孫龍子《白馬論》
- 傳統邏輯：日常語言
- 數理邏輯：人工語言
例如日常語言的“是”有多種含義（“白馬非馬”的例子），需要更精準語言進行描述
2.2 中國古代邏輯思想（中）
莊子與惠子游于濠梁之上。莊子日：“鰷魚出游從容，是魚之樂也。”
惠子日：“子非魚，安知魚之樂？”（安：哪里？怎么？惠子的“安”是指“怎么”）
莊子日：“子非我，安知我不知魚之樂？”
惠子日：“我非子，固不知子矣;子固非魚也，子之不知魚之樂，全矣。”
莊子日：“請循其本。子日‘汝安知魚樂’云者，既已知吾知之而問我，我知之濠上也。”（莊子以“安”作為“哪里”進行回答，違反邏輯學的基本準則的同一律）
————《莊子.外篇.秋水第十七》
楚人有鬻盾與矛者，譽之日:“吾盾之堅，物莫能陷也。”又譽其矛日：“吾矛之利，于物無不陷也。”或日，“以子之矛陷，子之盾何如？”其人弗能應也。
不可陷之盾與無不陷之矛，不可同世而立。（說明矛盾律的原理）
————《韓非子.難一》
2.3 中國古代邏輯思想（下）
類比（濠梁之辯），遞推（孔子的正名）作為推理手段
墨家
前期墨家:墨家創始人墨翟(墨子，約公元前476-前390)本人在世時所組成的學派。
后期墨家:墨翟去世后由其弟子所組成的學派。
《墨子》：《墨經》(《墨辯》)
《墨經》：經上、經下、經說上、經說下、大取、小取。
知識的來源:親知（我直接感受到的），聞知（別人告訴我的），說知（這的“說”是指推理）。
知識的內容:名知（如知道梧桐樹的名字），實知（如知道梧桐樹的具體事物），合知（如知道梧桐樹的名字和它具體事物），為知（實踐，如怎么保護它）。
提出比較完整的邏輯體系，但不是邏輯學的名著。
夫辯者，將以明是非之分，審治亂之紀，明同異之處，察名實之理，處利害，決嫌疑焉。（推理很重要）
以名舉實，以辭抒意，以說出故。
————《墨經.小取》
- 以名舉實：用不同的名去對應不同的實（概念）。（命題）
- 以辭抒意：用句子表達一個意思。（判斷）
- 以說出故：用推理可以知道事物的原因。（推理）
為什么邏輯學主要在先秦時期發展？百家爭鳴
后秦時期主要以儒家思想為主（怎么修身齊家治國平天下，也就是社會科學和人文科學方面比較看重），邏輯學沒有太大的成就。
2.4 印度古代邏輯
古代論辯術(公元前5世紀一前3世紀)
正理論
因明
佛教邏輯:因明
- 創始人:龍樹(約2-3世紀間)
- 陳那(約425-495) :開創新因明，《因明正理門論》、《集量論》
- 商羯羅主(5世紀):《因明入正理論》
- 宗，因，喻
佛教有五明：
- 聲明
- 醫方明
- 因明
- 內明
- 工巧明
因明的三支論式
- 宗:此山有火
- 因:因有煙故
- 喻:凡有煙均有火，如廚房(同喻)。凡無煙均無火，如湖(反喻)。
古五支論式：宗、因、喻、合、結
因明的東傳
- 玄奘(約600-664)：
- 提出“唯識比量，（“直唯識量”）；
- 翻譯《因明正理門論》、《因明入正理論》。
2.5 古希臘和中世紀邏輯
代表：蘇格拉底、帕拉圖、亞里士多德
亞里士多德 Aristoteles(公元前384-前322 ) 古希臘邏輯集大成者，邏輯學之父
《工具論》:范疇篇、解釋篇、前分析篇、后分析篇、論辯篇、辨謬篇
三段論理論等
三段論
如：所有的金屬是導體，銅是金屬 -> 銅是導體
麥加拉——斯多阿學派邏輯：構造了命題邏輯系統、構造公理系統
命題邏輯：如果銅是金屬，那么銅是導體
繼承發展古希臘和阿拉伯的邏輯思想，建立經院邏輯體系
2.6 近代西方邏輯
歸納邏輯
培根 Francis Bacon ( 1561-1626 ) :
《新工具》：發現(歸納)，思想(演繹)，記憶，傳遞（授）
歸納方法:三表法一一出現表(具有表)，不出現表(缺乏表)，程度表(比較表)
三段論：所有人固有一死，蘇格拉底是人，所以蘇格拉底會死。
有效推理形式：只要前提對，結論就一定對
他認為三段論是演繹（從一般到個別），不能從中得到新東西，但歸納可以。
你怎么知道所有人固有一死，但你得知蘇格拉底、柏拉圖等人都死了，可推出人固有一死，這個過程稱為歸納。
密爾(穆勒) John Stuart Mill ( 1806-1873 ) : 求因果五法
辯證邏輯
康德 I. Kant ( 1724- - 1804 ) 《純粹理性批判》 先驗邏輯
黑格爾G.W.F.Hegel ( 1770-1831 ) 《邏輯學》 思想范疇的辯證發展
2.7 數理邏輯的提出和實現
萊布尼茨Leibniz ( 1646-1716 ) : 《論組合術》
- 提出關于數理邏輯的思想，設想建立“普遍的符號語言”（減少傳統邏輯的多義，歧義所帶來爭論）：
- 思想的字母
- 思維的演算
數理邏輯：數學邏輯 mathematical logic（不是數學與物理）
布爾G.Boole ( 1815-1864 ) : 《邏輯的數學分析》、《思維規律的研究》 創立邏輯代數，實現邏輯演算(命題演算)
布爾代數無法解決三段論（布爾代數不含量詞（全部，有些））部分實現邏輯的演算。
德.摩根 De Morgan ( 1806-1871):
- 《形式邏輯》、《論三段論III和一般邏輯》、《論三段論IV和關系邏輯》
- 創建關系邏輯
關系邏輯：
- 5 > 3, 3 > 2，所以5 > 2
- 上海在北京的南邊，廣州在上海的南邊，所以廣州在北京的南邊
兩個東西的關系，用自然語言是說得清的，但兩類東西之間的關系，加上量詞的話，就可能會說不清楚。
比如鍋比盆大，是所有鍋比所有盆大，還是有些鍋比所有盆大，還是…
再比如，盆大小在碗和盆的之間，是所有…好累（我笑了）
弗雷格 G.Frege ( 1848-1925 ) :《概念文字》 引入量詞，實現謂詞演算
羅素B.Russell ( 1872- -1970) :
- 《數學原理》(1910-1913) ,合作者:懷特海A.N.Whitehead ( 1861-1947 )
- 建立完備的命題演算和謂詞演算，成為邏輯演算的經典系統
2.8 數理邏輯的發展
- 邏輯演算(命題演算、謂詞演算)
- 證明論
- 集合論(公理集合論和素樸集合論)
- 遞歸論
- 模型論
希爾伯特Hilbert ( 1862-1943 )、哥德爾Godel ( 1906-1978 )、圖靈Turing ( 1912-1954 )、塔爾斯基Tarski ( 1902-1983 )等人的貢獻
邏輯演算：命題演算，謂詞演算 兩個演算
四論：證明論、集合論、遞歸論、模型論
數理邏輯內容：兩個演算，四論
非經典邏輯(非標準邏輯)的出現：
經典邏輯(標準邏輯)：以羅素、懷特海《數學原理》為代表
非經典邏輯(非標準邏輯)：多值邏輯（不止有真假值），模糊邏輯，模態邏輯（一定，不一定），廣義模態邏輯（有時，永遠），弗協調邏輯（例外，動搖經典邏輯，可另建其他系統）
經典邏輯的系統是非經典邏輯系統的子系統。
第3講 命題聯結詞及其基本推理形式
3.1 推理和命題
推理：從前提(已知條件)得出結論的過程。
推理的前提和結論都是命題。
命題：對事物及其情況(性質、關系)的陳述。
- 如北京是一個大城市。（性質）（什么東西怎么樣）
- 如張三和李四是同班同學。（關系）
命題的真值：命題的真假情況。
每一個命題都有真值，這是命題的基本性質
命題是一種陳述，命題是一種句子。句子不一定是命題。命題一定是用句子的形式表達。
命題：今天這里下雨。命題一定是說，什么東西，怎么樣。
一個句子，只要客觀上有真假，那么這就是一個命題。（命題如：火星上有生物）
有效推理形式:真前提通過有效推理形式只能得到真結論。
即: 通過有效推理形式，真前提不會得到假結論。
3.2 基本命題和復合命題
基本命題：本身不再包含其他命題的命題。
復合命題：由一個或多個基本命題加上命題聯結詞所構成的命題。
基本命題：
- 今天下雨。
- 今天刮風。
復合命題：
- 今天下雨，并且今天刮風。
基本命題和復合命題其真值的確定:
- 基本命題的真值：邏輯學本身不能確定其所陳述的孤立的基本命題的真值。
- 復合命題的真值：由作為其組成部分的基本命題之真值和相關的命題聯結詞之性質所共同決定。
- 對某些有特定結構的復合命題，邏輯學本身即可確定其真或假。
互相否定的兩個命題是不能同時成立的。（矛盾律）
復合命題的真值判定的例子：
今天下雨。 假
今天刮大風。 真
今天下雨，并且今天刮大風。 假
邏輯不能確定基本命題的真假。
邏輯參與確定復合命題的真假。
對于某些有特定結構的復合命題，邏輯可以獨立地確定它的真和假。
邏輯學研究的不是具體的命題，而是同類的具體俞題所共同具有的命題形式，即命題結構。
命題形式用一定的符號表示。如：以特定符號表示不同的命題連接詞，而以p表示基本命題。（命題：proposition )
3.3 常用命題聯結詞及其基本推理形式（1）
這里將給出各命題聯結詞的名稱、符號、真值表、基本推理形式。
真值表：顯示命題形式在各種可能情況下的真值。
在真值表中，通常以P1 ,P2, P3, … 或p,q,r,…表示基本命題，以T表示真(true) ，以F表示假(false)。
常用命題聯結詞：
（1）否定：?
真值表：
| p | ?p |
|---|---|
| T | F |
| F | T |
基本推理形式：雙重否定式?(?p) -> p
自然語言的否定往往帶有其他感情色彩，而邏輯學的否定是純粹的，所以，它們不完全對等。
如：我們不得不學習英語。
3.4 常用命題聯結詞及其基本推理形式（2）
（2）合取：∧
| p | q | p∧q |
|---|---|---|
| T | T | T |
| T | F | F |
| F | T | F |
| F | F | F |
自然語言中的“而且”有遞進的意思。我畢了業，而且考上研究生。若換成，我考上研究生，而且畢了業。
雖然…但是…也是類似道理，邏輯學的合取意思純粹。
基本推理形式：
- 構成式 p,q -> p∧q。
p：他數學成績不錯，q：他英語成績也不錯。p∧q：他的數學和英語不錯
- 分解式
p∧q -> p, p∧q -> q
- 異位式
p∧q <-> q∧p
合取的推廣
| p | q | r | p∧q∧r |
|---|---|---|---|
| T | T | T | T |
| T | T | F | F |
| T | F | T | F |
| T | F | F | F |
| F | T | T | F |
| F | T | F | F |
| F | F | T | F |
| F | F | F | F |
3.5 常用命題聯結詞及其基本推理形式（3）
（3）析取 ∨
| p | q | p∨q |
|---|---|---|
| T | T | T |
| T | F | T |
| F | T | T |
| F | F | F |
基本推理形式：
- 構成式 p -> p∨q。p真，p∨q真
- 異位式 p∨q <-> q∨p
- 否定肯定式 p∨q, ?p -> q
例如，李四和張三同為嫌疑犯，后確定不是李四干的，所以張三是法外狂徒。
析取的推廣
| p | q | r | p∨q∨r |
|---|---|---|---|
| T | T | T | T |
| T | T | F | T |
| T | F | T | T |
| T | F | F | T |
| F | T | T | T |
| F | T | F | T |
| F | F | T | T |
| F | F | F | F |
3.6 常用命題聯結詞及其基本推理形式（4）
（4）不相容析取：?
| p | q | p?q |
|---|---|---|
| T | T | F |
| T | F | T |
| F | T | T |
| F | F | F |
基本推理形式：
- 肯定否定式 p?q, p -> ?q
- 否定肯定式 p?q, ?p -> q
(p?q) 與 (p∨q)∧(?(p∧q))真值相同。
- 不是張三就是李四作案。
- 張三或李四作案 且 張三和李四不會一同作案
3.7 常用命題聯結詞及其基本推理形式（5）
（5）蘊涵：?
| 序號 | p | q | p?q |
|---|---|---|---|
| 1 | T | T | T |
| 2 | T | F | F |
| 3 | F | T | T |
| 4 | F | F | T |
- 如果…那么…
- 若…則…
- 一…就…
蘊涵相當于充分條件，但不等于
例如，如果2+2=4，那么雪是白的。（在自然語言中它們沒有內在聯系，通常是不允許的。而在邏輯學上可以）
“蘊涵怪論”：
- 假命題蘊涵任何命題（看上表3、4）
- 任何命題蘊涵真命題（看上表1、3）
看起來很怪
舉個例子：
| p：比賽輸了 | q：我請客 | p?q：我信用好 |
|---|---|---|
| T | T | T（兌現承諾） |
| T | F（我沒請客） | F（我信用差） |
| F（比賽贏了） | T（我請客） | T（我是好人） |
| F | F | T |
基本推理形式：
- 肯定前件式 p?q, p -> q（我信用很好，比賽輸了->我請客）
- 否定后件式 p?q, ?q -> ?p（我信用很好，我沒有請客->比賽贏了）
- 異位式 p?q -> (?q)?(?p)（比賽輸了?我請客 -> 我沒請客?比賽贏了）
- 連鎖式
- p?q, q?r -> p?r
- p?q, q?r -> (?r)?(?p)
- p?q, q?r, r?s -> p?r（小孩一考試就緊張，一緊張就考砸，一考砸就被雙親混合雙打 -> 小孩一考試就挨打）
- p?q, q?r, r?s -> (?s)?(?p)（小孩一考試就緊張，一緊張就考砸，一考砸就被雙親混合雙打 -> 小孩沒挨打，最近沒考試）
3.8 常用命題聯結詞及其基本推理形式（6）
（6）反蘊涵 ?
| p | q | p?q |
|---|---|---|
| T | T | T |
| T | F | T |
| F | T | F |
| F | F | T |
反蘊涵在漢語里面常用的說法比較少，典型的只有一個：只有…才…，表示相當于必要條件。
在漢語中，命題連接詞是沒有出現，而且有的看起來是相同的情況，但它所對應的這個命題連接詞有時候不一樣的，比如：
- 不吃不喝（合取）
- 不去不行（蘊涵）
| p | q | p?q | 例子 |
|---|---|---|---|
| T | T | T | 只有天氣好才去爬山 真 |
| T | F | T | 天氣好我沒有爬山 真 |
| F | T | F | 天氣不好我去爬山 假 |
| F | F | T | 天氣不好，我沒去爬山 真 |
- 蘊涵：前真 后假 是假的
- 反蘊涵：前假 后真 是假的
基本推理形式：
- 肯定后件式 p?q, q -> p（只有天氣好才去爬山，我爬山了 -> 天氣好）
- 否定前件式 p?q, ?p -> ?q（只有天氣好才去爬山，天氣不好 -> 我沒爬山）
（p?q）與（q?p）真值相同。
3.9 常用命題聯結詞及其基本推理形式（7）
（7）等值：?
| p | q | p?q |
|---|---|---|
| T | T | T |
| T | F | F |
| F | T | F |
| F | F | T |
等值的在日常的說法為當且僅當，它相當于充分必要條件（注意，它們不完全一樣，用可以是一樣）
基本推理形式：
-
構成式
- p?q, p?q -> p?q
- p?q, p?q -> p?q
-
分解式
- p?q -> p?q
- p?q -> p?q
-
異位式
- p?q -> q?p
p?q
- 肯定前件式
- 肯定后件式
- 否定前件式
- 否定后件式
- 連鎖式
都成立
(p?q)與((p?q)∧(q?p))真值相同
常用命題連接詞的真值表
| p | q | ?p | p∧q | p∨q | p?q | p?q | p?q | p?q |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| T | T | F | T | T | F | T | T | T |
| T | F | F | F | T | T | F | T | F |
| F | T | T | F | T | T | T | F | F |
| F | F | T | F | F | F | T | T | T |
?, ?,? 可被∧, ∨, ?q取代
與上表可以精簡成為：
| p | q | ?p | p∧q | p∨q | p?q |
|---|---|---|---|---|---|
| T | T | F | T | T | T |
| T | F | F | F | T | F |
| F | T | T | F | T | T |
| F | F | T | F | F | T |
第4講 復合命題的推理：有效推理形式的判定
4.1 重言式、矛盾式和可滿足式
根據可能的真值情況，命題形式可分為:
- 重言式(tautology)(永真式) 在任何情況下，其真值永遠為真。
- 矛盾式(contradiction) (永假式)
- 可滿足式(satisfaction)
重言式(tautology)(永真式)(同義反復)在任何情況下，其真值永遠為真。如：p∨(?q)，p?p
今天下雨或今天不下雨。
可用真值表判定。
| p | ?p | p∨(?p) |
|---|---|---|
| T | F | T |
| F | T | T |
| p | p?p |
|---|---|
| T | T |
| F | T |
矛盾式(contradiction)(永假式)在任何情況下，其真值永遠為假。
| p | ?p | p∧(?p) |
|---|---|---|
| T | F | F |
| F | T | F |
可滿足式(satisfaction)在某些情況下，其真值為真，而在某些情況下，其真值為假。
| p | ?p |
|---|---|
| T | F |
| F | T |
任何孤立的命題都是可滿足式。
4.2 具體推理轉換為推理形式
并非今天不是節日 -> 今天是節日
?(?p) -> p
復合命題推理
- 若今天星期二則今天有課，今天是星期二 -> 今天有課 | p?q, p -> q
- 若今天星期二則今天有課，今天是星期二 -> 今天有課
- 若今天星期二則今天有課，今天不是星期二 -> 今天沒課
- 若今天星期二則今天有課，今天不是星期二 -> 今天沒課 | p?q, ?p -> ?q
具體推理轉換為推理形式:
用邏輯符號(命題變元即基本命題符號、命題聯結詞符號及括號)把自然語言推理中的前提和結論寫成命題形式，從而形成推理形式。
4.3 推理形式轉換為復合命題形式
（前提）?(?p) -> （結論）p
| 推理形式 | 復合命題形式 |
|---|---|
| （前提）p?q, （前提）?q -> （結論）?p | ((p?q)∧(?q))?(?q) |
推理形式轉換為命題形式：用蘊涵、合取符號及括號把推理形式轉換為復合命題形式。
4.4 有效推理形式的判定：真值表法
有效推理形式所對應的復合命題形式當且僅當是重言式。
因此，對一個復合命題推理形式是否有效的判定，轉化為對一個復合命題形式是否為重言式的判定。
推理形式：?(?p) -> p，復合命題形式：?(?p) ? p，用真值表進行判定推理形式有效性。
| p | ?p | ?(?p) | ?(?p)?p |
|---|---|---|---|
| T | F | T | T |
| F | T | F | T |
再比如
推理形式：p?q, ?q -> ?p，復合命題形式：((p?q)∧(?q))?(?p)
((p?q)∧(?q))?(?p)的真值表：
| p | q | p?q | ?q | ((p?q)∧(?q)) | ?p | ((p?q)∧(?q))?(?p) |
|---|---|---|---|---|---|---|
| T | T | T | F | F | F | T |
| T | F | F | T | F | F | T |
| F | T | T | F | F | T | T |
| F | F | T | T | T | T | T |
最后一列全T，所以它是有效推理形式
再比如
推理形式：p?q, ?p -> ?q，復合命題形式：((p?q)∧(?p))?(?q)
| p | q | p?q | ?p | ((p?q)∧(?p)) | ?q | ((p?q)∧(?p))?(?q) |
|---|---|---|---|---|---|---|
| T | T | T | F | F | F | T |
| T | F | F | F | F | T | T |
| F | T | T | T | T | F | F |
| F | F | T | T | T | T | T |
最后一列有一F（反例），所以它不是有效推理形式
真值表法:
- 列出某一命題形式中命題變元的全部真值或真值組合;
- 根據命題變元的真值和相關命題聯結詞的性質，逐步寫出在命題變元的各種真值或真值組合下該命題形式的真值;
- 若某一命題形式在命題變元的全部真值或真值組合下其真值均為真，則證明該命題形式為重言式。
有效推理形式所對應的復合命題形式當且僅當是重言式。
判定重言式的真值表法是能行的方法，即:用機械的方法，在有限的步驟內，一定可以得到結果。
4.5 有效推理形式的判定：歸謬賦值法
如果初始命題變元個數過多，會造成真值表行數過多。譬如，有10個初始命題變元，則真值表有2^10=1024行。于是，嘗試尋找更簡便判定方法。
反證
例如，((p?q)∧(?p))?(?q) 為 F（假設((p?q)∧(?p))?(?q)不是重言式）
則(p?q)∧(?p)為T，?q為F
則(p?q)為T，(?p)為T，q為T
則p為F，q為T, 符合(p?q)為T
故((p?q)∧(?p))?(?q)不是有效的推理形式。
例如，((p?q)∧(?q))?(?p) 為 F（假設((p?q)∧(?q))?(?p)不是重言式）
則(p?q)∧(?q)為T，?p為F
則a. (p?q)為T，b. q為F, p為T
若b. q為F, p為T，則(p?q)為F，與a. (p?q)為T矛盾
所以((p?q)∧(?q))?(?p)不能不是重言式
歸謬賦值法:
- 假設某一命題形式不是重言式，即:該命題形式的命題變元，至少存在一種真值或真值組合，使得該命題形式的真值為假;
- 基于上述假設，對該命題形式賦值以假;
- 根據命題聯結詞的性質，尋找使得上述賦值成立的命題變元真值或真值組合。若能找到(即不出現矛盾)，則上述假設成立，即該命題形式不是重言式;若不可能找到(即不能不出現矛盾)，則上述假設不成立，從而證明該命題形式是重言式。
例如，((p?q)∧(q?r)∧(r?s))?((?s)?(?p))為F（假設((p?q)∧(q?r)∧(r?s))?((?s)?(?p))不是重言式）
（日常例子（小孩一考試就緊張，一緊張就考砸，一考砸就被雙親混合雙打 -> 小孩沒挨打，最近沒考試））
則(p?q)∧(q?r)∧(r?s)為T，(?s)?(?p)為F
則p?q為T，q?r為T，a. r?s為T，b. s為F，p為T
則q為T，r為T，s為T，與b互相矛盾
故((p?q)∧(q?r)∧(r?s))?((?s)?(?p))是重言式（有效推理形式）
歸謬賦值法的局限
例如，(p∨q)?(p∧q)為F（假設(p∨q)?(p∧q)不是重言式）
則p∨q為T（有三種情況），p∧q為F（有三種情況）
假設p為T，q為F
假設p為F，q為T
解決：用回真值表法
小技巧：變元數量較少，用真值表法；變元數量較多，用歸謬賦值法。
有效推理形式的判定:
- 用邏輯符號把具體推理中的前提和結論分別寫成命題形式，從而形成推理形式;
- 用蘊涵、合取符號及括號把推理形式轉換為復合命題形式;
- 用真值表法或歸謬賦值法判定該復合命題形式是否為重言式。
從歸謬賦值法看邏輯學的基本準則（同一律，矛盾律，排中律）（邏輯學中不言而喻，顯然的基本準則）：
假設p?p為F
則前p為T，后p為F，這違反同一律，矛盾律。
證明它不能不是重言式，也就是它是重言式，也就是排中律天線（非重言式和重言式沒有中間狀態度）
第5講 復合命題的推理：命題聯結詞的充足集
5.1 命題聯結詞：真值函數
函數是一種映射
每個命題聯結詞相當于從真值集合{T,F}到自身{T,F}的一個函數，稱為真值函數。
- 每個復合命題形式可以看作一個真值函數。其函數值由其所包含的基本命題(命題變元)的真值、其包含的命題聯結詞的性質決定。
- 每個復合命題形式對應一個真值函數。
- 不同的命題形式可以對應相同的真值函數。
運用真值表，可以確定任一復合命題形式所對應的真值函數(即，可知在命題變元的各種真值組合下該真值函數的值)。
與此相對，如何為確定的真值函數找出相對應的命題形式?（下一節有解答）
命題聯結詞?、∨、∧分別與同數字電路中的非門，與門，或門對應。
5.2 析取范式
一場比賽上，三個裁判有兩個及以上通過，才算真正的通過
| P1 | P2 | P3 | f |
|---|---|---|---|
| T | T | T | T |
| T | T | F | T |
| T | F | T | T |
| T | F | F | F |
| F | T | T | T |
| F | T | F | F |
| F | F | T | F |
| F | F | F | F |
真正通過的情況：(P1∧P2∧P3) ∨ (P1∧P2∧(?P3)) ∨ (P1∧(?P2)∧P3) ∨ ((?P1)∧P2∧P3)
基本合取式: n個(n=1, 2, 3, …)命題變元或其否定用合取(∧)聯結而成的命題形式；
析取范式: n個(n=1，2，3，…)有相同命題變元的基本合取式用析取(∨)聯接而成的命題形式。
對應于某個真值函數的析取范式的作法:
- 列出該真值函數的真值表;
- 對于使得該真值函數為真的命題變元各種真值組合:
- 若命題變元的真值為真，則取命題變元本身，
- 若命題變元的真值為假，則取命題變元之否定，
- 再用合取將其聯接，構成基本合取式;
- 用析取將各基本合取式聯結，構成析取范式。
如何為確定的真值函數找出相對應的命題形式?（回答上一節問題）
運用真值表，列出相應的范式。
范式(normal form)：滿足某種規范、能顯示某種邏輯性質的命題形式。
5.3 為復合命題形式作與之等值的析取范式
除了個別特殊情況，對于復合命題形式，都可以作出與之等值的析取范式。
p?q 與 (p∧q)∨((?p)∧(?q)) 等值，用真值表驗證。
| p | q | p?q |
|---|---|---|
| T | T | T |
| T | F | F |
| F | T | F |
| F | F | T |
| p | q | p∧q | ?p | ?q | (?p)∧(?q) | (p∧q)∨((?p)∧(?q)) |
|---|---|---|---|---|---|---|
| T | T | T | F | F | F | T |
| T | F | F | F | T | F | F |
| F | T | F | T | F | F | F |
| F | F | F | T | T | T | T |
例如，?(p?q)與p∧(?q)（p∧(?q)也是析取范式）
| p | q | p?q | ?(p?q) |
|---|---|---|---|
| T | T | T | F |
| T | F | F | T |
| F | T | T | F |
| F | F | T | F |
| p | q | ?q | p∧(?q) |
|---|---|---|---|
| T | T | F | F |
| T | F | T | T |
| F | T | F | F |
| F | F | T | F |
例如，?(((p?q)∧p)?q)
| p | q | p?q | (p?q)∧p | ((p?q)∧p)?q | ?(((p?q)∧p)?q) |
|---|---|---|---|---|---|
| T | T | T | T | T | F |
| T | F | F | F | T | F |
| F | T | T | F | T | F |
| F | F | T | F | T | F |
除矛盾式以外，對于復合命題形式，都可以作出與之等值的析取范式。
為什么矛盾式不行？請回顧對應于某個真值函數的析取范式的作法:
- 列出該真值函數的真值表;
- 對于使得該真值函數為真的命題變元各種真值組合:
…
由于矛盾式總是假，于是在上述的第2步該真值函數為真的命題變元為0，所以矛盾式不能作出析取范式。
5.4 合取范式
基本析取式：n個( n=1，2，3，…)命題變元或其否定用析取(∨)聯結而成的命題形式;
合取范式：n個(n=1, 2, 3，…)有相同命題變元的基本析取式用合取(∧)聯接而成的命題形式。
對應于某個真值函數的合取范式的作法：
- 列出該真值函數的真值表再加以否定;
- 作出該否定的析取范式;
- 對該析取范式作否定，再反復運用德摩根律和雙重否定律加以整理，從而得到對應于原真值函數的合取范式。
| p | q | p?q | ?(p?q) |
|---|---|---|---|
| T | T | T | F |
| T | F | F | T |
| F | T | F | T |
| F | F | T | F |
得出p?q的合取范式
- p?q（1. 列出該真值函數的真值表再加以否定）
- ?(p?q)（2. 作出該否定的析取范式;）
- (p∧(?q))∨((?p)∧q)（3. 對該析取范式作否定，再反復運用德摩根律和雙重否定律加以整理，從而得到對應于原真值函數的合取范式。）
- ?((p∧(?q))∨((?p)∧q))
反復運用德摩根律和雙重否定律加以整理
德摩根律：
- ?(p∧q) ? (?p)∨(?q)
- ?(p∨q) ? (?p)∧(?q)
雙重否定：
- ?(?p) ? p
- p?q（1. 列出該真值函數的真值表再加以否定）
- ?(p?q)（2. 作出該否定的析取范式;）
- (p∧(?q))∨((?p)∧q)（3. 對該析取范式作否定，）
- ?((p∧(?q))∨((?p)∧q))（再反復運用德摩根律和雙重否定律加以整理）
- ?(p∧(?q))∧?((?p)∧q))
- ((?p)∨q)∧(p∨(?q))
然后用真值表進行驗證：
| p | q | p?q |
|---|---|---|
| T | T | T |
| T | F | F |
| F | T | F |
| F | F | T |
| p | q | ?p | (?p)∨q | ?q | p∨(?q) | ((?p)∨q)∧(p∨(?q)) |
|---|---|---|---|---|---|---|
| T | T | F | T | F | T | T |
| T | F | F | F | T | T | F |
| F | T | T | T | F | F | F |
| F | F | T | T | T | T | T |
除重言式以外，對于復合命題形式，都可以作出與之等值的合取范式。
為什么重言式不能作出合取范式？回顧對應于某個真值函數的合取范式的作法：
- 列出該真值函數的真值表再加以否定;
- 作出該否定的析取范式;
…
重言式加以否定成矛盾式，再回顧對應于某個真值函數的析取范式的作法:
- 列出該真值函數的真值表;
- 對于使得該真值函數為真的命題變元各種真值組合:
…
由于矛盾式總是假，于是在上述的第2步該真值函數為真的命題變元為0，所以矛盾式不能作出析取范式。
所以重言式不能作出合取范式。
5.5 范式存在定理
范式(normal form)：滿足某種規范、能顯示某種邏輯性質的命題形式。
- 基本合取式: n個(n=1, 2, 3, …)命題變元或其否定用合取(∧)聯結而成的命題形式;
- 基本析取式: n個(n=1, 2, 3, …)命題變元或其否定用析取(∨)聯結而成的命題形式;
- 析取范式: n個(n=1, 2, 3, …)有相同命題變元的基本合取式用析取(∨)聯接而成的命題形式;
- 合取范式: n個(n=1, 2, 3,…)有相同命題變元的基本析取式用合取(∧)聯接而成的命題形式。
與p?q等值的
- 析取范式：(p∧q)∨((?p)∧(?q))
- 合取范式：((?p)∨q)∧(p∨(?q))
由范式作法可知：
- 除永假式以外的復合命題形式，都可作與之等值的析取范式，
- 除重言式以外的復合命題形式，都可作與之等值的合取范式。
范式存在定理:
- 每一真值函數，都可用范式(析取范式或合取范式)表示;
- 每一復合命題形式，都至少存在一個與其等值的范式(析取范式或合取范式)。
5.6 命題聯結詞的充足集
存在多少個不同的n元真值函數(命題聯結詞)?
答：2(2n)個
例如有兩個命題變元：
| p | q | 1 | 2 | … | 16 |
|---|---|---|---|---|---|
| T | T | T | F | … | F |
| T | F | T | T | … | F |
| F | T | T | T | … | F |
| F | F | T | T | … | F |
命題聯結詞的充足(adequate)集：若干個命題聯結詞的集合，用這些命題聯結詞(同命題變元一起)經過有限次的重復和組合，可表示任意的真值函數。
根據范式存在定理，{?, ∧, ∨}是命題聯結詞的充足集。
更進一步精簡
- (?((?A)∧(?B)))與(A∨B)等值，
- (?((?A)∨(?B)))與(A∧B)等值，
因此，{?, ∧}和{?, ∨}也是命題連接詞充足集。
再如，
- ((?A)?B)))與(A∨B)等值，
- (?(A?(?B)))與(A∧B)等值，
因此，{?, ?}也是命題連接詞充足集。
小結
{?, ∧, ∨}是命題聯結詞的充足集
{?, ∧}, {?, ∨}, {?, ?}也分別是命題連接詞充足集
5.7 命題聯結詞的獨元充足集
一進制理論上可行，但它不實用，不能表示0
或非(nor) ↓
真值表：
| p | q | p↓q |
|---|---|---|
| T | T | F |
| T | F | F |
| F | T | F |
| F | F | T |
| A | A↓A | ?A |
|---|---|---|
| T | F | F |
| F | T | F |
| A | B | A↓A | B↓B | (A↓A)↓(B↓B) | A∧B |
|---|---|---|---|---|---|
| T | T | F | F | T | T |
| T | F | F | T | F | F |
| F | T | T | F | F | F |
| F | F | T | T | F | F |
| A | B | A↓B | (A↓B)↓(A↓B) | A∨B |
|---|---|---|---|---|
| T | T | F | T | T |
| T | F | F | T | T |
| F | T | F | T | T |
| F | F | T | F | F |
已證{?, ∧, ∨}是命題聯結詞的充足集
- (A↓A)與(?A)等值
- ((A↓A)↓(B↓B))與(A∧B)等值
- ((A↓B)↓(A↓B))與(A∨B)等值
因此，{↓}是命題聯結詞的充足集。這是很奇妙的結果。
與非與或非也能獨當一面
與非(nand) |
真值表：
| p | q | p|q |
|---|---|---|
| T | T | F |
| T | F | T |
| F | T | T |
| F | F | T |
- (A|A)與(?A)等值
- ((A|B)|(A|B))與(A∧B)等值
- ((A|A)|(B|B))與(A∨B)等值
真值表檢驗過程略
已證{?, ∧, ∨}是命題聯結詞的充足集
- (A|A)與(?A)等值
- ((A|B)|(A|B))與(A∧B)等值
- ((A|A)|(B|B))與(A∨B)等值
因此，{|}是命題聯結詞的充足集。這是很奇妙的結果。
↓和|稱為謝弗爾豎( Sheffer stroke或Shefferbar)。
{↓}和{|}是命題聯結詞的單元素(獨元)充足集。（這是一個非常奇妙的結果）
↓，|對應于數字電路中的或非門，與非門。
第6講 命題演算：公理系統
6.1 公理系統的構成
判定有效推理形式的方法：真值表法、歸謬賦值法。
生成有效推理形式的方法：公理系統、自然推演系統。
公理系統的構成：（數學，物理，邏輯等都有自己公理系統。）
- 符號庫(初始符號)
- 形成規則(符號的使用)
- 公理 (推演的起點)
- 變形規則(推演規則)
自然語言的歧義性、模糊性，不能使用在公理系統
例如：這里展示的是三個學生的作品。（有兩種解釋，應避免歧義的發生）
又例如：《圍城》中的老科學家
更精準的人工語言：數學，計算機編程語言
語言的三要素：語音、詞匯、語法（盲文，計算機編程語言沒有語音）
例子說明公理系統的構成：
- 符號庫(初始符號)：如Unicode字符集
- 形成規則(符號的使用)：語法
- 公理 (推演的起點)：2015年4月1日是星期二
- 變形規則(推演規則)：2015年4月7日是星期幾？7 - 1 + 1 = 7，(2 + 7 - 1) % 7=1，2015年4月7日是星期一？
6.2 命題演算的公理系統L
更詳細公理系統L的信息可查閱A.G.Hamilton的Logic for mathematicians。
命題演算的公理系統L：
- 初始符號：P1, P2, …; ?, ?; (,)
- 形成規則：
- P1, P2, …是合式公式;
- 若A，B是任意合式公式，則(?A),(A?B)是合式公式;（加括號，防止歧義的發生）
- 所有合式公式由1., 2.生成。
- 公理模式：(設A，B, C是任意合式公式)（都是重言式）
- L1((A?(B?A)))
- L2((A?(B?C))?((A?B)?(A?C)))
- L3(((?A)?(?B))?(B?A))
- 推演規則：(分離規則，MP)從(A?B)和A可得B。
合式公式(well-formed formula)(wf.)：合于形成規則的式子(相當于合乎語法的句子)。（這里公式是表達式，不是數學的公式）
6.3 命題演算公理系統L中的證明
L中的證明:
L的合式公式序列，其中每個合式公式滿足下列條件之一:
- L的公理，
- 由在先的兩個合式公式用MP得出。
這一序列中的最后一個合式公式稱為L中的定理。
- L1((A?(B?A)))
- L2((A?(B?C))?((A?B)?(A?C)))
- (分離規則，MP)從(A?B)和A可得B。
例子：
- (P1?(P2?P1))…L1
- (P1?(P2?P1))?((P1?P2)?(P1?P1))…L2
- ((P1?P2)?(P1?P1))…MP(2),(1)
這章內容在語形的角度上，而第四章在語意的角度上
例，證(P1?P1)
- (P1?((P1?P1)?P1))…L1
- ((P1?((P1?P1)?P1))?((P1?(P1?P1))?(P1?P1)))…L2
- ((P1?(P1?P1))?(P1?P1))…MP(1, 2)
- (P1?(P1?P1))…L1
- (P1?P1)…MP(3,4)
上述定理需要更專業知識證明，我們淺嘗輒止則可。
6.4 命題演算公理系統L中的證明（續）
例 證((?P1)?(P1?P2))
- ((?P1)?((?P2)?(?P1)))…L1
- (((?P2)?(?P1))?(P1?P2))…L1
- ((?P1)?(P1?P2))
上述證明無效，因L系統沒有蘊涵連鎖，所以任何直觀、顯然的東西，在這里是不允許的。必須按照3條公理模式和一個推演規則來進行。
正確的證明：
證((?P1)?(P1?P2))
- ((?P1)?((?P2)?(?P1)))…L1
- (((?P2)?(?P1))?(P1?P2))…L3
- ((((?P2)?(?P1))?(P1?P2))?((?P1)?(((?P2)?(?P1))?(P1?P2)))…L1
- ((?P1)?(((?P2)?(?P1))?(P1?P2)))…MP 3., 2.
- (((?P1)?(((?P2)?(?P1))?(P1?P2)))?(((?P1)?((?P2)?(?P1)))?((?P1)?(P1?P2))))…L2
- (((?P1)?((?P2)?(?P1)))?((?P1)?(P1?P2))))…MP 5., 4.
- ((?P1)?(P1?P2))…MP 6., 1.
6.5 命題演算公理系統L中的推演
L中的推演：
設Γ（伽瑪γ的大寫）是L中的合式公式（不必是L中的公理）的集合。Γ中的合式公式作為臨時公理參與L中的證明，稱為L中從Γ的推演，得到的結果A稱為L中Γ的推論。
記為Γ┝(下標L符)A
例子：
- (P1?P2)…Γ1
- ((P1?P2)?(P1?(P1?P2)))…L1
- (P1?(P1?P2))…MP 2., 1.
(P1?P2)┝(下標L符)(P1?(P1?P2))
例
假設:
- 物體若不受外力，則運動方向 不變;
- 某天體運動方向發生了變化。
- P1：某物受到外力;
- P2：某物運動方向發生變化。
- ((?P1)?(?P2))…Γ1
- P2…Γ2
- (((?P1)?(?P2))?(P2?P1))…L3
- (P2?P1)…MP 3., 1.
- P1…MP 4., 2.
{((?P1)?(?P2)), P2} ┝(下標L符) P1
L中的定理A可記為?┝(下標L)A，或┝(下標L)A（邏輯內的東西）
第7講 命題演算：公理系統，自然演繹系統
7.1 公理系統出發點的延伸
公理系統的構成：
- 符號庫(初始符號)
- 形成規則(符號的使用)
- 公理 (推演的起點)
- 變形規則(推演規則)
命題演算的公理系統L：
- 初始符號：P1, P2, …; ?, ?; (,)
- 形成規則：
- P1, P2, …是合式公式;
- 若A，B是任意合式公式，則(?A),(A?B)是合式公式;（加括號，防止歧義的發生）
- 所有合式公式由1., 2.生成。
- 公理模式：(設A，B, C是任意合式公式)（都是重言式）
- L1((A?(B?A)))
- L2((A?(B?C))?((A?B)?(A?C)))
- L3(((?A)?(?B))?(B?A))
- 推演規則：(分離規則，MP)從(A?B)和A可得B。
延伸：
1.可用定義引入其他符號。可用初始符號定義其他符號及其形成規則
如：(設A, B, C是任意合式公式，下同)
- (A∨B)定義為((?A)?B)
- (A∧B)定義為(?(A?(?B)))
已由定義引入的符號可用于定義更多符號。
由定義引入的新符號可與初始符號同等使用。
2.已證定理可與公理同等使用
如：
已證定理（模式）(A?A)編為T1，則可有如下證明：（T，Theory縮寫）
證 (P1?P1)
- (P1?P1)…T1（證畢）
3.已證新的推演規則可與原有推演規則同等使用
如：已證：(A?B)和(B?C)可得(A?C)(假言三段論，HS),（這定理的證明過程可查閱A.G.Hamilton的Logic for mathematicians）
則可有以下證明：
證((?P1)?(P1?P2))
- ((?P1)?((?P2)?(?P1)))…L1
- (((?P2)?(?P1))?(P1?P2))…L3
- ((?P1)?(P1?P2))…HS 1., 2.
公理系統出發點的延伸:
- 可用定義引入其他符號及其形成規則;
- 已證定理可與公理同等使用;
- 已證新的推演規則可與原有推演規則同等使用。
7.2 公理系統的評價
-
真值表法、歸謬賦值法：判定有效推理形式的方法;
-
公理化方法：生成有效推理形式的方法。
-
真值表方法，“重言式”：語義的概念;（有關真假）
-
公理化方法，“定理”：語形的概念。（無關真假）
L系統的性質
- 可靠性：L的定理都是重言式
- 完全性：對應于復合命題有效推理形式的重言式都是L的定理
- 獨立性：L的各條公理不能互相推出
L系統的可靠性和完全性使得：L的定理當且僅當是第四講中的重言式，
即:
L的定理集與第四講中的重言式集完全相同。
公理系統例子：
- L : L1, L2, L3 （可靠，完全，獨立）
- L’ : L1, L2 （可靠，不完全，獨立）
- L" : L1, L2, L3, L4(A?A)（L4多余的，但在運用時更加方便）（可靠，完全，不獨立）
L系統為什么要用這個3條公理模式和那個分離規則來作為它的出發點？
答：因為這幾條，它可以用最簡潔的方法，最大限度地覆蓋所有的這個定理。你靠這個三條公理模式，加上那個分離規則，它剛好把所有定理都覆蓋了，而且并沒有超出它的范圍，沒有把這個非重言式也拿進來，就是它的定理剛好，正好是重言式，不比重言式少，也不比重言式多，而且它本身的公理還互相獨立，它還一條都不多余。三條公理模式，加上那個分離規則構造成一個巧妙的系統。
7.3 公理系統的性質和評價及其意義
公理系統能運用在數學、物理、邏輯等成熟的學科上。
公理系統在文科作整理嘗試：
- 斯賓諾莎(1632-1677)：《用幾何學方法作論證的倫理學》
凡是想在學識方面超群絕倫的人都一致認為:在研究和傳授學問時，數學方法，即從定義、公設和公理推出結論的方法，乃是發現和傳授真理最好的和最可靠的方法。這是千真萬確的。————路德維希●梅耶爾:斯賓諾莎《笛卡兒哲學原理(依幾何學方式證明)》序(1663年)
公理：各個數學分支都通用的一些最基本的東西，如等量代換
公設：用于某一門具體的數學分支一些最基本的東西
對于日常生活參照的意義：
- 法律千萬條，大部分都不能全被知道，但我們沒有輕易觸犯它們，因為我們知道基本的出發點，如，不能損人利己，若損，輕則違道，重則違法。“不能損人利己”相當于公理。
- 勤洗手，不吃臟東西…講衛生（公理）。
- 好學生如何定義，成績好，品德好…德智體美勞（公理）。
- 清華大學校訓：自強不息（對自己），厚德載物（對外界）。
- 北京精神：愛國，創新，包容，厚德。
7.4 命題演算的自然演繹系統
公理系統的弱點：不夠直觀。自然演繹系統應運而生。
通過自然演繹系統進行證明和推演的步驟:
- 引入假設;
- 使用給定的接近于日常思維的推演規則進行推演;
- 最后若按照規則消去假設，則得到不依賴于假設的一般定理；若保留假設，則得到依賴于假設之下的推論。
命題演算的自然演繹系統C
- 初始符號：P1, P2, …; ?, ?; (,)
- 形成規則：
- P1, P2, …是合式公式;
- 若A，B是任意合式公式，則(?A),(A?B)是合式公式;（加括號，防止歧義的發生）
- 所有合式公式由1., 2.生成。
- 推演規則：（設A, B是任意合式公式）
- 假設引入
- 重述
- 重復
- ?引入
- ?消去
（如，歸謬賦值法）
- ?消去
（如公理系統的分離規則）
- 假設引入
上面1. 2. 與公理系統L的一致
7.5 命題演算自然演繹系統中的證明和推演
例 證(P1?P1)
例 證((?P1)?(P1?P2))
例 證(P1?(P2?P1))
例 證((P1?(P2?P3))?((P1?P2)?(P1?P3)))
例 證(((?P1)?(?P2))?(P2?P1))
通過自然演繹系統進行證明和推演的步驟:
- 引入假設;
- 使用給定的接近于日常思維的推演規則進行推演;
- 最后若按照規則消去假設，則得到不依賴于假設的一般定理；若保留假設，則得到依賴于假設之下的推論。
命題演算的自然演繹系統C具有可靠性、完全性。
命題演算的自然演繹系統C與命題演算的公理系統L等價。即：二者的定理集完全相同。
第8講 基本命題的構成
8.1 基本命題的結構
基本命題的組成部分：
- 謂詞§
- 主詞(S)
- 量詞
| 量詞 | 主詞 | 謂詞 |
|---|---|---|
| 所有 | 金屬 | 是導體 |
| 有的 | 人 | 會游泳 |
主詞和謂詞都是詞項。
- 詞項：事物、事物的情況(性質或關系)。
- 命題：對事物及其情況(性質、關系)的陳述。
8.2 詞項的內涵和外延
內涵：某一詞項的含義，即該詞項所指對象共同具有的特有屬性。（什么是金屬？具有導電，導熱等性質的物質）
外延：某一詞項所指的對象。（金屬的外延是金銀銅鐵等）
內涵和外延之間有反變關系。
詞項的限制：增加詞項的內涵以縮小外延;
詞項的擴大：減少詞項的內涵以擴大外延。
例如，學校的外延：小學，中學，大學等。
學校的內涵：專門進行教育的機構
現在為學校加點內涵：專門進行高等教育的機構。
學校的外延縮小至：大學
8.3 詞項的種類
根據詞項外延的數量情況，詞項分為
- 普遍詞項：外延超過一個
- 單獨詞項：外延只有一個;
- 空詞項：外延為空。（美國女總統，數學純黃金）
8.4 詞項間的關系
詞項間的關系：指詞項外延之間的關系。
歐拉圖解
1.全同（同一）關系
如，本學期選修邏輯學的50名學生，與今天邏輯學課上現場50名學生。（不管內涵是否一樣）
如，中國的首都，與華北最大的城市。（內涵不一樣，但外延指的是北京）
如，中國最大的城市，長江流域最大的城市。（內涵不一樣，但外延指的是上海）
2.包含關系
如，S:中國的學校，P:中國的大學
3.包含于關系
如，S:中國的大學，P:中國的學校
4.交叉關系
如，S：北京人，P：學生。
5.全異關系
如，S：幼兒園學生，P：大學生
- 矛盾關系（互補的，例如，學校男女生）
- 反對關系（不互補，大學生和小學生，因為還有中學生得等，這里的“反對”與日常的“反對”不同）
小結：
詞項間的關系：
- 全同(同一)關系
- 包含關系
- 包含于關系
- 交叉關系
- 全異關系:
- 矛盾關系
- 反對關系
8.5 詞項的定義
定義：描述詞項的內涵
定義的結構：被定義項，定義項
偶數 是能被2整除的數。
（被定義項）（定義項）
同一個詞項可有不同的定義
- 水是無色無味的、在一個大氣壓下冰點為0攝氏度沸點為100攝氏度的、比重為1的透明液體。
- 水是由兩個氫原子和一個氧原子化合成一個水分子而構成的物質。
定義的主要規則：
- 定義項和被定義項須為全同關系。
- 如，魚是生活在水中的動物。(定義過寬)
- 如，期刊是每周或每月定期出版的出版物。（定義過窄)
- 定義項不得直接或間接包含被定義項。
- 如，邏輯學是研究邏輯的學問。(同語反復)
- 如，偶數是奇數加1或減1得到的數;奇數是偶數加1或減1得到的數。(循環定義)
定義不是唯一獲得知識的來源，（有靠實踐得來的，如太陽，月亮等）
8.6 詞項的劃分
劃分：分類列舉詞項的外延。
劃分的結構：母項，子項。
生物分為動物、植物、微生物、
（母項）（子項）
句子分為陳述句，疑問句，祈使句，感嘆句。
（母項）（子項）
句子分為主語、謂語、賓語、補語、定語。（這不是劃分，而是組成部分）
同一個詞項可按不同標準作不同的劃分。
劃分可連續進行，即：子項可作為母項再次進行劃分。（學校分為大學，中學，小學。大學劃分為中國大學、美國大學等）
劃分的主要規則：
- 一次劃分必須按同一標準進行。
- 每一外延應屬于某一子項并只屬于一個子項。即:
- 子項相加應恰等于母項，不得遺漏;
- 子項之間應互相排斥不得重合。
8.7 謂詞的分類
謂詞是什么東西什么樣，說明事物情況，說明一種性質，說明一種關系。
- 張三和李四是高中學生。（復合命題，張三是高中學生并且李四是高中學生）
- 張三和李四是同班同學。（你不能說成張三是同班同學并且李四是同班同學）
一元謂詞：每次需要一個主詞與之配合，通常表示主詞的某種性質;
多元（如二元，三元，…）謂詞：每次需要多個（如兩個，三個，…）主詞與之配合，通常表示多個主詞之間的某種關系。
- 性質命題：含有一元謂詞的基本命題;
- 關系命題：含有多元謂詞的基本命題。
三元的例子：福州在廣州與上海之間。
8.8 量詞
例子：
- 所有金屬導電。
- 有些人會游泳。
“所有”，“有些”為量詞，限定外延
量詞：
- 全稱（?）(all)
- 特稱（存在）（?）(existed)
- 單稱
特稱(存在)量詞的含義：至少存在一個(不排斥全部)。
單稱量詞通常處理為全稱。（獨一無二的為單稱，如北京大學）
全稱量詞可省略。（如，金屬是導體。特稱量詞不能省略，“有些人會游泳”省略成“人會游泳”）。
8.9 聯詞
傳統邏輯中，往往把“否定”分析為在性質命題內部與“肯定”相對的成分。
“肯定”和“否定”稱為聯詞，表明主詞和謂詞之間具有肯定的聯系或否定的聯系。
- 今天是星期四
- 今天不是星期四
小結：
基本命題的組成部分：
- 謂詞
- 主詞
- 量詞
- （聯詞）
第9講 傳統邏輯中基本命題的推理
9.1 基本命題的推理
復合命題的推理：以復合命題為前提或結論，以命題聯接詞的性質為推理依據。
基本命題的推理：以基本命題為前提和結論，以基本命題的內部成分和結構為推理依據。
基本命題：本身不再包含其他命題的命題。
復合命題：由一個或多個基本命題加上命題聯結詞所構成的命題。
9.2 傳統邏輯對基本命題的分析
傳統邏輯對性質命題的分析
- 主詞(S)
- 謂詞§
- 量詞：全稱，特稱，單稱
- 聯詞：肯定，否定
根據量詞(全稱、特稱)、聯詞(肯定、否定)的組合
性質命題分為:
- 全稱肯定(SAP)：所有S是P (A)
- 全稱否定(SEP)：所有S不是P (E)
- 特稱肯定(SIP)：有S是P (I)
- 特稱否定(SOP) :有S不是P (O)
AEIO源于拉丁字母，請記住其含義。
9.3 性質命題中主、謂詞的周延
周延：詞項作為主詞、謂詞出現在性質命題中時，是否涉及到其全部外延，稱為是否周延。（下面加下劃線為周延）
-
全稱肯定(SAP) : (所有S是P)（例，所有金屬都是導體）
-
全稱否定(SEP) : (所有S不是P)（例，所有金屬都不是絕緣體）
-
特稱肯定(SIP) : (有S是P)（例，有的北京人是大學生）
-
特稱否定(SOP) : (有S不是P)（例，有的人不是大學生）
-
全稱命題(A、E)的主詞周延
-
特稱命題(I、O)的主詞不周延
-
否定命題(E、O)的謂詞周延
-
肯定命題(A、I)的謂問不周延
關于詞項周延的一般規則:
推理中，在前提中出現時不周延的詞項，在結論中出現時也不得周延。
9.4 命題變形的推理
1.換位法：
- SEP可推出PES（例，所有金屬都不是絕緣體 推出 所有絕緣體都不是金屬）
- SIP可推出PIS（例，有的大學生是北京人 推出 有的北京人為大學生）
- SAP可推出PIS（例，所有金屬都是導體 推出 有的導體是金屬）
關于詞項周延的一般規則:
推理中，在前提中出現時不周延的詞項，在結論中出現時也不得周延。
錯例：
- SAP, PAS（例，所有金屬都是導體，所有導體都是金屬 X，有的導體是金屬）
- SOP, POS（例，有的鳥不是動物，有的動物不是鳥）（貌似說得過去）
2.換質法：
- SAP可推出SEP（例，所有金屬都是導體，推出 所有金屬都不是非導體）
- SEP可推出SAP（例，所有金屬都不是絕緣體，推出 所有金屬都是非絕緣體）
- SIP可推出SOP（例，有的北京人是學生，推出 有的北京人不是非學生）
- SOP可推出SIP
9.5 根據對當關系的推理
邏輯方陣
-
反對：可以同假，不能同真（例，SAP-所有金屬都是導體，SEP所有金屬都不是導體）
-
下反對：可以同真，不能同假（例，SIP-有的人會游泳，SOP-有的人不會游泳）
-
矛盾：必一真一假（例，SEP-所有金屬都不是導體，SIP-有的金屬是導體）
-
差等：上真下必真，下假上必假（例，SAP-所有金屬都是導體（上真），SIP-有的金屬是導體（下必真））（例，SAP-所有的人都會游泳（假），SIP-有的人會游泳（真））
-
SAP可推出?(SEP), SIP,?(SOP)
-
?(SAP)可推出SOP
-
SEP可推出?(SAP),?(SIP),SOP
-
?(SEP)可推出SIP
-
SIP可推出?(SEP)
-
?(SIP)可推出?(SAP), SEP, SOP
-
SOP可推出?(SAP)
-
?(SOP)可推出SAP,?(SEP), SIP
9.6 三段論
三段論:
由包含一個共同詞項的兩個性質命題作為前提，推出一個性質命題作為結論的推理形式。
- （所有金屬是導體，所有鋼鐵是金屬） -> 所有有鋼鐵是導體
- （所有金屬是導體，有的塑料不是導體） -> 有的塑料不是金屬
三段論的結構:
（先看結論）作為結論之主詞的詞項稱為小詞(S)，作為結論之謂詞的詞項稱為大詞§，（再到前提）只出現在前提中的詞項稱為中詞(M)。
含有大詞的前提稱為大前提，含有小詞的前提稱為小前提。
9.7 三段論的式與格
式：由作為大前提、小前提、結論的性質命題的種類而確定。
- （所有金屬是導體MAP，所有鋼鐵是金屬SAM） -> 所有有鋼鐵是導體SAP AAA式
- （所有金屬是導體，有的塑料不是導體） -> 有的塑料不是金屬 AOO式
AAA…OOO，共4 * 4 * 4 = 64種
- (所有金屬是導體MAP, 所有鋼鐵是金屬SAM) -> 所有銅鐵是導體SAP
- (所有金屬是導體PAM, 所有鋼鐵是導體SAM) -> 所有鋼鐵是金屬SAP
格：由中詞、大詞、小詞在前提中的位置而確定。
共有4個格：
- (所有金屬是導體MAP, 所有鋼鐵是金屬SAM) -> 所有銅鐵是導體SAP AAA-1
- (所有金屬是導體PAM,有的塑料不是導體SOM) -> 有的塑料不是金屬SOP AOO-2
- 式：由作為大前提、小前提、結論的性質命題的種類而確定，共有64個不同的式
- 格：由中詞、大詞、小詞在前提中的位置而確定，共有4個格
- 三段論結合式與格，共有256種可能的格式
9.8 有效三段論的判定
1.寫成三段論的標準形式。
（魯迅著作前后不一，上一句表示魯迅全部著作，下一句為魯迅一本著作）
2.若結論為肯定命題，則兩個前提必定均為肯定命題；若結論為否定命題，則兩個前提必定一為肯定命題、一為否定命題。
3.中詞在前提中至少周延一次（中詞是用來作媒介）
周延：詞項作為主詞、謂詞出現在性質命題中時，是否涉及到其全部外延，稱為是否周延。
4.小詞、大詞在結論中若周延，則其在前提中必須周延。
有效三段論的判定四條方法
- 寫成三段論的標準形式;
- 若結論為肯定命題，則兩個前提必定均為肯定命題;若結論為否定命題，則兩個前提必定一為肯定命題、一為否定命題。
- 中詞在前提中至少周延一次。
- 小詞、大詞在結論中若周延，則其在前提中必須周延。
三段論有效格式的特征
三段論的有效格式
弱稱（上圖帶括號的）：本來可以得到全稱的，但是你現在給出是特稱，它的有效性是由條件的。
不推薦背誦這三段論的有效格式，但推薦背誦有效三段論的判定四條方法
第10講 基本命題的推理
10.1 性質命題
基本命題的組成部分:
- 謂詞
- 主詞
- 量詞
一元謂詞：每次需要一個主詞與之配合，通常表示主詞的某種性質；
多元(如二元，三元，…)謂詞：每次需要多個(如兩個，三個，…)主詞與之配合，通常表示多個主詞之間的某種關系。
性質命題：含有一元謂詞的基本命題；
關系命題：含有多元謂詞的基本命題。
-
P: 謂詞變元
-
x: 個體變元
-
P(x): x是P (x有性質P)
-
量詞:?，?
-
(?x)(P(x)): 所有x是P
-
(?x)(P(x)): 至少存在一個x是P
量詞?和?之間可以互相替換表達：
- (?x)(P(x))與?(?x)(?P(x))等值
- (?x)(P(x))與?(?x)(?P(x))等值
性質命題在數理邏輯中的表述
- 全稱肯定(SAP)(所有S是P) : (?x)(S(X)→P(x))
- 全稱否定(SEP)(所有S不是P) : (?x)(S(x)→(?P(x)))
- 特稱肯定(SIP)(有S是P) : (?x)(S(x)∧P(x))
- 特稱否定(SOP)(有S不是P) : (?x)(S(x)∧?P(x))
SAP與SOP，SEP與SIP的矛盾關系
- (?x)(S(X)→P(x))與?(?x)(S(x)∧?P(x))與同值
- (?x)(S(x)→(?P(x)))與?(?x)(S(x)∧P(x))同值
- (?x)(S(x)∧P(x))與?(?x)(S(X)→?P(x))同值
- (?x)(S(x)∧?P(x))與?(?x)(S(x)→(P(x)))同值
10.2 主詞非空的預設
預設：預先的假設（說話人和聽話人不言自明的東西）
- 你什么時候回來？（預設：你將要離開。）
- 你戒煙了嗎？（預設：你曾經抽煙。對非抽煙者，該問題不成立。）
全稱命題推出存在命題時，須預設：前提中主詞(S)不為空詞項。
若前提中主詞為空詞項，則從全稱命題到存在命題的推理不成立。
空詞項：外延為空。（美國女總統，數學純黃金）
例，美國外交官說“我不能競選美國總統。”，在美國出生的人才有資格競選總統，且他不是出生在美國。
不能直接從(?x)(S(x)→P(x))（即A命題），推出(?x)(S(x)∧P(x))（即I命題）
例，S(x)：這人是美國女總統，P(X)：這人是在美國出生的。
若從A命題推出I命題，須增加前提(?x)(S(x))，即從(?x)(S(X)→P(x))∧(?x)(S(x))，推出(?x)(S(x)∧P(x))
例。對于上例，(?x)(S(x))：至少有一個美國女總統。
上圖中5個帶括號的格式，在傳統邏輯是可以的，但在嚴格地說，它們有條件。
三段論中，若小詞為空詞項，那么弱式將不成立。
10.3 關系命題的結構
關系命題：含有多元謂詞的基本命題，如二元關系命題：
R(x, y)：x對于y，有關系R
R：謂詞變元
x, y：個體變元
量詞：?，?
-
(?x)(?y)R(x, y)
-
(?y)(?x)R(x, y)
-
(?x)(?y)R(x, y)
-
(?y)(?x)R(x, y)
-
(?x)(?y)R(x, y)
-
(?y)(?x)R(x, y)
-
(?x)(?y)R(x, y)
-
(?y)(?x)R(x, y)
例如：
R：害怕
x：老鼠
y：貓
10.4 關系命題根據量詞的推理
(?x)(?y)R(x, y) ? (?y)(?x)R(x, y)?
(?x)(?y)R(x, y) ? (?y)(?x)R(x, y)
(?x)(?y)R(x, y) ? (?y)(?x)R(x, y)?
(?x)(?y)R(x, y) ? (?y)(?x)R(x, y)
10.5 關系命題根據謂詞性質的推理方法
1.自返性
- 自反關系：(?x)R(x, x)（例，數學上的等于）
- 反自返關系：(?x)(?R(x, x))（例，數學上的大于）
- 非自返關系：((?x)R(x, x))∧((?x)(?R(x, x)))（例，有的人能正確認識自己，有的人不能正確認識自己）
2.對稱性
- 對稱關系：(?x)(?y)((R(x,y))?(R(y,x)))（例，直線a與直線b平行，直線b與直線a平行）
- 反對稱關系：(?x)(?y)((R(x,y))?(?R(y,x)))（例，張三是李四的哥哥）
- 非對稱關系：((?x)(?y)((R(x,y))?(R(y,x))))∧((?x)(?y)((R(x,y))?(?R(y,x))))（例，愛慕關系，存在張三李四互相愛慕，并且張三一廂情愿愛慕李四）
3.傳遞性
- 傳遞關系：(?x)(?y)(?z)(((R(x,y)∧R(y,z)))?R(x,z))（例，A大于B，B大于C，A大于C）
- 反傳遞關系：(?x)(?y)(?z)(((R(x,y)∧R(y,z)))?(?R(x,z)))(例，平面上，A垂直于B，B垂直于C，A不垂直于C)
- 非傳遞關系：((?x)(?y)(?z)(((R(x,y)∧R(y,z)))?R(x,z)))∧((?x)(?y)(?z)(((R(x,y)∧R(y,z)))?(?R(x,z))))（例，朋友的朋友）
請注意:
“關系命題根據謂詞性質的推理方法”只是給出了一種方法，不是純形式的邏輯推理。
10.6 謂詞演算簡介
用于謂詞演算的一階語言
符號庫：
合式公式：合于形成規則的式子(相當于合乎語法的句子)。（這里公式是表達式，不是數學的公式）
- 一階謂詞演算
- 高階謂詞演算
- 謂詞演算的公理系統
- 謂詞演算的自然演繹系統
第11講 非經典邏輯的初步
11.1 非經典（非標準）邏輯
- 古典邏輯
- 經典邏輯
- 非經典邏輯（經典邏輯的補充）
11.2 多值邏輯
源于亞里士多德
如三值邏輯，命題的真值可取：
- T(真), I(可能), F(假)
- 1, 2, 3
- 0, 1/2, 1
盧卡西維茨(1878-1956)：1920年《論三值邏輯》，首次提出多值邏輯的系統
盧卡西維茨的盧卡西維茨的真值表
11.3 模糊邏輯
即無窮多連續值邏輯：扎德(1921年生)于1965年提出模糊集合概念
模糊邏輯將模糊的東西變得精確
命題真值取值為“隸屬度”，在[0，1]之間連續取值
11.4 模態邏輯
含有必然、可能等模態(modal)詞的命題及其推理
亞里士多德的模態三段論
劉易斯( 1883-1964) 于1914年構造模態命題演算系統
基本模態詞：
- 必然□
- 或然◇
- □P：必然p
- ◇p：可能p
- 反對(不能同真可以同假)：□p與□?p
- 下反對(不能同假可以同真)：◇p與◇?p
- 矛盾(必一真一假)：□p與◇?p，□?p與◇p
- 差等(上真下必真，下假上必假)：□p對◇p，□?p對◇?p
根據模態命題之間的矛盾關系:
- “必然”等值于“不可能不”
- “可能”等值于“不必然不”
- “不可能”等值于“必然不”
- “不必然”等值于“可能不”
不包含模態詞的命題可視為模態的特例：實然
- 反對(不能同真可以同假)：□p與□?p，□p與?p，□?p與p
- 下反對(不能同假可以同真)：◇p與◇?p，◇p與?p，◇?p與p
- 矛盾(必一真一假)：□p與◇?p，□?p與◇p，p與?p
- 差等(上真下必真，下假上必假)：□p對◇p，□?p對◇?p，□p對p，p對◇p，□?p對?p，?p對◇?p
11.5 規范邏輯
含有必須、允許等規范詞的規范命題及其推理，亦稱道義邏輯、義務邏輯等。
馮、賴特(1916-2003)于1951年發表《規范邏輯》，并創立規范邏輯系統。
基本規范詞:
- 必須 O
- 允許 P
- 禁止(必須不) F
Op:必須p，Pp:允許p，Fp:禁止p
- 反對(不能同真可以同假)：Op與Fp
- 下反對(不能同假可以同真)：Pp與P?p
- 矛盾(必一真一假)：Op與P p，Fp與Pp
- 差等(上真下必真，下假上必假)：Op對Pp，Fp對P?p
根據規范命題之間的矛盾關系:
- “必須”等值于“不允許不”
- “允許”等值于“不禁止”
- “允許”等值于“不禁止”
- “不必須”等值于“允許不”
11.6 時態邏輯
含有過去、現在、將來、永遠等時態詞的時態命題及其推理
亦稱時間邏輯、時序邏輯等
普萊爾(1914-)于1957年建立時態邏輯的兩個系統
- 反對(不能同真可以同假)：
- 永遠p與永遠?p，永遠p與某時?p，永遠?p與某時p
- 下反對(不能同假可以同真)：
- 有時p與有時?p，有時p與某時?p，有時?p與某時p
- 矛盾(必一真一假)：
- 永遠p與有時?p，永遠?ρ與有時p，某時p與某時?p
- 差等(上真下必真，下假上必假)：
- 永遠p對有時p，永遠p對某時p，某時p對有時p,
- 永遠?p對有時?p,永遠?p對某時?p,某時?p對有時?p
時態命題中可引入模態命題，構成時態模態命題，將來可能等
規范邏輯、時態邏輯等都屬于廣義模態邏輯
11.7 弗協調邏輯
亦稱次協調邏輯、超協調邏輯、亞相容邏輯等
雅斯可夫斯基于1940年代末構造第一個次協調邏輯系統
達科斯塔(1929年生)建立更完善的次協調邏輯理論
協調(相容)：不存在合式公式A使得A和(?A)都是定理。
不足道(平庸)：所有合式公式都是定理。
經典邏輯系統是協調而非不足道的。
若非協調則必定不足道(從相互矛盾的兩個前提可以推出一切)。
弗協調：既非協調亦非不足道，即：存在合式公式A使得A和(?A)都是定理，但并非所有合式公式都是定理。
在弗協調邏輯中：不矛盾律(?(A∧?A) )并非普遍有效；從相互矛盾的兩個前提不能推出一切。
第12講 余論
12.1 演繹和歸納
- 傳統邏輯
- 演繹:從一般到個別
- 歸納:從個別到一般
- 類比:從個別到個別
- 現代邏輯
- 演繹:必然性推理
- 歸納:或然性推理
完全歸納推理
歸納疑難 又稱休謨(1711-1776)問題：
- 歸納的根據是歸納本身?
- 歸納的根據何在?
12.2 探求因果關系的邏輯方法
1.求同法（契合法）
2.求異法（差異法）
3.求同求異并用法（契合差異并用法）
4.共變法
5.剩余法
12.3 證論和反駁
論證:
根據已知為真的命題，通過推理確定某一命題的真實性。
- 論題
- 論據
- 論證方式
推理：
- 前提
- 推理形式
- 結論
論證：
- 論據
- 論證方式
- 論題
論據必須是真
間接論證:
- 排除法(剩余法)：A或B或C，非B，非C，從而A。
- 反證法：非A假，從而A真。
反駁：論證某一命題虛假，或確定某一論證不能成立。
歸謬法：若A真，則引出矛盾：可見A假。
謬誤
- 論題不清
- 虛假論據
- 循環論證
- 訴諸權威
- 以先后為因果
- 轉移論題
- 預期理由
- 以人為據
- 訴諸感情
- 以相對為絕對
12.4 悖論
悖論：
由其真可推出其假、由其假可推出其真的命題。
A與其自身的否定非A等值。
說謊者悖論：
“我正在說謊。”“這句話是假的。”
解決：“不自指。”
理發師悖論：
“某村理發師規定給并且只給任何不給自己刮胡子的村民刮胡子。”
解決：“不自指。”
“不能用少于十八個漢字定義的最小整數。”
12.5 本課程《邏輯學概論》內容回顧
- 第1講 什么是邏輯學？
- 1.1 “邏輯和邏輯學
- 1.2 推理和推理形式
- 1.3 有效推理形式
- 1.4 邏輯學的特點
- 1.5 邏輯學的基本準則
- 1.6 邏輯學和其他學科的關系
- 1.7 關于本課程《邏輯學概論》
- 第2講 邏輯學的產生與發展
- 2.1 中國古代邏輯思想（上）
- 2.2 中國古代邏輯思想（中）
- 2.3 中國古代邏輯思想（下）
- 2.4 印度古代邏輯
- 2.5 古希臘和中世紀邏輯
- 2.6 近代西方邏輯
- 2.7 數理邏輯的提出和實現
- 2.8 數理邏輯的發展
- 第3講 命題聯結詞及其基本推理形式
- 3.1 推理和命題
- 3.2 基本命題和復合命題
- 3.3 常用命題聯結詞及其基本推理形式（1）
- 3.4 常用命題聯結詞及其基本推理形式（2）
- 3.5 常用命題聯結詞及其基本推理形式（3）
- 3.6 常用命題聯結詞及其基本推理形式（4）
- 3.7 常用命題聯結詞及其基本推理形式（5）
- 3.8 常用命題聯結詞及其基本推理形式（6）
- 3.9 常用命題聯結詞及其基本推理形式（7）
- 第4講 復合命題的推理：有效推理形式的判定
- 4.1 重言式、矛盾式和可滿足式
- 4.2 具體推理轉換為推理形式
- 4.3 推理形式轉換為復合命題形式
- 4.4 有效推理形式的判定：真值表法
- 4.5 有效推理形式的判定：歸謬賦值法
- 第5講 復合命題的推理：命題聯結詞的充足集
- 5.1 命題聯結詞：真值函數
- 5.2 析取范式
- 5.3 為復合命題形式作與之等值的析取范式
- 5.4 合取范式
- 5.5 范式存在定理
- 5.6 命題聯結詞的充足集
- 5.7 命題聯結詞的獨元充足集
- 第6講 命題演算：公理系統
- 6.1 公理系統的構成
- 6.2 命題演算的公理系統L
- 6.3 命題演算公理系統L中的證明
- 6.4 命題演算公理系統L中的證明（續）
- 6.5 命題演算公理系統L中的推演
- 第7講 命題演算：公理系統，自然演繹系統
- 7.1 公理系統出發點的延伸
- 7.2 公理系統的評價
- 7.3 公理系統的性質和評價及其意義
- 7.4 命題演算的自然演繹系統
- 7.5 命題演算自然演繹系統中的證明和推演
- 第8講 基本命題的構成
- 8.1 基本命題的結構
- 8.2 詞項的內涵和外延
- 8.3 詞項的種類
- 8.4 詞項間的關系
- 8.5 詞項的定義
- 8.6 詞項的劃分
- 8.7 謂詞的分類
- 8.8 量詞
- 8.9 聯詞
- 第9講 傳統邏輯中基本命題的推理
- 9.1 基本命題的推理
- 9.2 傳統邏輯對基本命題的分析
- 9.3 性質命題中主、謂詞的周延
- 9.4 命題變形的推理
- 9.5 根據對當關系的推理
- 9.6 三段論
- 9.7 三段論的式與格
- 9.8 有效三段論的判定
- 第10講 基本命題的推理
- 10.1 性質命題
- 10.2 主詞非空的預設
- 10.3 關系命題的結構
- 10.4 關系命題根據量詞的推理
- 10.5 關系命題根據謂詞性質的推理方法
- 10.6 謂詞演算簡介
- 第11講 非經典邏輯的初步
- 11.1 非經典（非標準）邏輯
- 11.2 多值邏輯
- 11.3 模糊邏輯
- 11.4 模態邏輯
- 11.5 規范邏輯
- 11.6 時態邏輯
- 11.7 弗協調邏輯
- 第12講 余論
- 12.1 演繹和歸納
- 12.2 探求因果關系的邏輯方法
- 12.3 證論和反駁
- 12.4 悖論
- 12.5 本課程《邏輯學概論》內容回顧
