線性代數是數學的一個分支，用于研究線性方程組及其解的性質、向量空間及其變換的性質等。在計算機科學領域中，線性代數常用于圖形學、機器學習、計算機視覺等領域。本文將詳細介紹 JS 中常用的線性代數算法，并提供代碼示例。

一、向量的加減乘除

向量是有大小和方向的量，通常用一列數表示。向量的加減乘除運算也是線性代數中的基本運算。

1. 向量加法

向量加法計算兩個向量相加的結果。

例如：給定兩個二維向量：

$$\vec{a}=\left[\begin{array}{c}1\\ 2\end{array}\right],\vec{b}=\left[\begin{array}{c}3\\ 4\end{array}\right]$$

則它們的和為：

$$\vec{a}+\vec{b}=\left[\begin{array}{c}4\\ 6\end{array}\right]$$

代碼實現：

function addVectors(a, b) {if (a.length !== b.length) return null;return a.map((n, i) => n + b[i]);
}

2. 向量減法

向量減法計算兩個向量相減的結果。

例如：給定兩個三維向量：

$$\vec{a}=\left[\begin{array}{c}1\\ 3\\ 2\end{array}\right],\vec{b}=\left[\begin{array}{c}4\\ 1\\ 5\end{array}\right]$$

則它們的差為：

$$\vec{a}?\vec{b}=\left[\begin{array}{c}?3\\ 2\\ ?3\end{array}\right]$$

代碼實現：

function subtractVectors(a, b) {if (a.length !== b.length) return null;return a.map((n, i) => n - b[i]);
}

3. 向量數乘

向量數乘是將一個向量的每個元素乘以一個標量。

例如：給定一個三維向量：

$$\vec{a}=\left[\begin{array}{c}1\\ 3\\ 2\end{array}\right]$$

則它乘以標量 $k=2$ 的結果為：

$$k\vec{a}=2\left[\begin{array}{c}1\\ 3\\ 2\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}2\\ 6\\ 4\end{array}\right]$$

代碼實現：

function scalarMultiply(vector, scalar) {return vector.map(n => n * scalar);
}

4. 向量點積

向量點積（也稱為內積或數量積）計算兩個向量的乘積的和。

例如：給定兩個三維向量：

$$\vec{a}=\left[\begin{array}{c}1\\ 3\\ 2\end{array}\right],\vec{b}=\left[\begin{array}{c}4\\ 1\\ 5\end{array}\right]$$

則它們的點積為：

$$\vec{a}?\vec{b}=1\times 4+3\times 1+2\times 5=17$$

代碼實現：

function dotProduct(a, b) {if (a.length !== b.length) return null;return a.reduce((sum, n, i) => sum + n * b[i], 0);
}

5. 向量叉積

向量叉積（也稱為外積或向量積）計算兩個向量的垂直于它們所在平面的法向量。向量叉積只適用于三維向量。

例如：給定兩個三維向量：

$$\vec{a}=\left[\begin{array}{c}1\\ 3\\ 2\end{array}\right],\vec{b}=\left[\begin{array}{c}4\\ 1\\ 5\end{array}\right]$$

則它們的叉積為：

$$\vec{a}\times \vec{b}=\left[\begin{array}{c}13\\ 3\\ ?11\end{array}\right]$$

代碼實現：

function crossProduct(a, b) {if (a.length !== 3 || b.length !== 3) return null;const [ax, ay, az] = a;const [bx, by, bz] = b;return [ay * bz - az * by, az * bx - ax * bz, ax * by - ay * bx];
}

二、矩陣的加減乘除

矩陣是由若干行若干列的數排成的矩形陣列，通常用兩個下標表示。矩陣的加減乘除運算也是線性代數中的基本運算。

1. 矩陣加法

矩陣加法計算兩個矩陣相加的結果。

例如：給定兩個 $2\times 2$ 的矩陣：

$$\left[\begin{array}{cc}1& 2\\ 3& 4\end{array}\right],\left[\begin{array}{cc}5& 6\\ 7& 8\end{array}\right]$$

則它們的和為：

$$\left[\begin{array}{cc}6& 8\\ 10& 12\end{array}\right]$$

代碼實現：

function addMatrices(a, b) {if (a.length !== b.length || a[0].length !== b[0].length) return null;return a.map((row, i) => row.map((n, j) => n + b[i][j]));
}

2. 矩陣減法

矩陣減法計算兩個矩陣相減的結果。

例如：給定兩個 $3\times 3$ 的矩陣：

$$\left[\begin{array}{ccc}1& 3& 2\\ 4& 8& 5\\ 6& 1& 2\end{array}\right],\left[\begin{array}{ccc}2& 1& 5\\ 3& 6& 4\\ 1& 7& 3\end{array}\right]$$

則它們的差為：

$$\left[\begin{array}{ccc}?1& 2& ?3\\ 1& 2& 1\\ 5& ?6& ?1\end{array}\right]$$

代碼實現：

function subtractMatrices(a, b) {if (a.length !== b.length || a[0].length !== b[0].length) return null;return a.map((row, i) => row.map((n, j) => n - b[i][j]));
}

3. 矩陣數乘

矩陣數乘是將一個矩陣的每個元素乘以一個標量。

例如：給定一個 $2\times 2$ 的矩陣：

$$\left[\begin{array}{cc}1& 3\\ 2& 5\end{array}\right]$$

則它乘以標量 $k=2$ 的結果為：

$$2\times \left[\begin{array}{cc}1& 3\\ 2& 5\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}2& 6\\ 4& 10\end{array}\right]$$

代碼實現：

function scalarMultiplyMatrix(matrix, scalar) {return matrix.map(row => row.map(n => n * scalar));
}

4. 矩陣乘法

矩陣乘法計算兩個矩陣相乘的結果。矩陣乘法滿足結合律，但不滿足交換律。即 $A\times B\ne B\times A$。

例如：給定兩個 $2\times 3$ 和 $3\times 2$ 的矩陣：

$$\left[\begin{array}{ccc}1& 2& 3\\ 4& 5& 6\end{array}\right],\left[\begin{array}{cc}7& 8\\ 9& 10\\ 11& 12\end{array}\right]$$
以下是兩個 2×3 和 3×2 矩陣的乘法的 JavaScript 代碼示例：

// 2x3 矩陣
const matrixA = [[1, 2, 3],[4, 5, 6]
];// 3x2 矩陣
const matrixB = [[7, 8],[9, 10],[11, 12]
];// 2x2 結果矩陣
const resultMatrix = [[0, 0],[0, 0]
];// 矩陣乘法
for (let i = 0; i < 2; i++) {for (let j = 0; j < 2; j++) {let sum = 0;for (let k = 0; k < 3; k++) {sum += matrixA[i][k] * matrixB[k][j];}resultMatrix[i][j] = sum;}
}// 輸出結果
console.log(resultMatrix);

輸出結果為：

[[58, 64],[139, 154]
]

上述代碼中，我們首先定義了兩個矩陣 matrixA 和 matrixB，然后定義了一個結果矩陣 resultMatrix，該矩陣的大小為 2×2。

接下來，我們通過三層循環實現了矩陣乘法。外層兩個循環控制結果矩陣的行列數，內層循環計算結果矩陣中每個元素的值。

最后，我們輸出了結果矩陣的值。

常用數學庫

在 JavaScript 中實現線性代數算法需要使用數學庫，比如 Math.js 或者 NumJS。

以下是 Math.js 的示例代碼：

// 創建矩陣
const matrix1 = math.matrix([[1, 2], [3, 4]]);
const matrix2 = math.matrix([[5, 6], [7, 8]]);// 加法
const addResult = math.add(matrix1, matrix2);
console.log(addResult); // 輸出 [[6, 8], [10, 12]]// 矩陣乘法
const multiplyResult = math.multiply(matrix1, matrix2);
console.log(multiplyResult); // 輸出 [[19, 22], [43, 50]]// 轉置
const transposeResult = math.transpose(matrix1);
console.log(transposeResult); // 輸出 [[1, 3], [2, 4]]// 求逆矩陣
const inverseResult = math.inv(matrix1);
console.log(inverseResult); // 輸出 [[-2, 1], [1.5, -0.5]]

以上是一些常見的線性代數算法的示例代碼。使用數學庫可以方便地實現復雜的線性代數計算。