NOIP賽前模擬20171027總結

題目：

1.壽司

? 給定一個環形的RB串··要求經過兩兩互換后RB分別形成兩段連續區域,求最少操作次數(算法時間O(n))

2.金字塔

? 給定一個金字塔的側面圖有n層··已知每一層的寬度··高度均為1··要求在圖中取出恰好K個互不相交的矩形（邊緣可以重疊）,求最多可以取出多少面積

? n<=20000，k<=100

3.心靈治愈

? 給定n,m要求取出不大于m的n個正整數,問有多少種取法使n個數和m的最大公因數為1,n,m<=10^15

題解：

1.分析

? 首先為了方便我們把環從中間斷開看成一個序列，我們考慮如果移動R串··那么肯定是找到某一B為中心··B的左邊R移到一起··B的右邊R移到一起(這里描述有點模糊···如果序列左邊的R都移到一起，且序列最左邊為R，右邊同理··則實際在環中R肯定是連續的一段··)

? 因此我們先隨意找一個B為中心··然后計算答案··之后我們一次將序列最左端的字符移到最右端(比如序列BBRRR移動后就變成BRRRB)然后考慮答案的變化即可···具體實現參見代碼

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstdlib>
#include<cmath>
#include<ctime>
#include<cctype>
#include<cstring>
#include<string>
#include<algorithm>
using namespace std;
const int N=2e6+5;
int T,n,num[N];
char s[N];
int main()
{//freopen("a.in","r",stdin);//freopen("a.out","w",stdout);scanf("%d",&T);while(T--){long long ans=0,cnt=0;int tot1=0,tot2=0,totl=0,totr=0,mid;scanf("%s",s+1);n=strlen(s+1);for(int i=1;i<=n;i++){if(s[i]=='B')  num[i]=num[i+n]=1,tot1++;else num[i]=num[i+n]=2,tot2++;}int half=(tot1+1)/2;int temp=0;for(int i=1;i<=n;i++){if(num[i]==1)  {temp++;if(temp==half)  mid=i;}else{if(temp<half){totl++;cnt+=temp;}else {totr++;cnt+=(tot1-temp);}}}ans=cnt;for(int i=1;i<n;i++){if(num[i]==1){ int tot=0,j;for(j=mid+1;num[j]!=1;j++)  tot++;    cnt-=totl;cnt+=(totr-tot);mid=j;totl+=tot;totr-=tot;if(tot1%2==0) cnt-=tot;ans=min(ans,cnt);}else {totl-=1;totr+=1;  }}cout<<ans<<endl;}return 0;
}

?

2.dp+決策單調性/斜率優化

? dp方程肯定很好想··第一要明確取的方案··我們肯定是以某一層的寬度為矩形的一邊··然后往下取到某一層為一個矩形·矩形的高就是兩層高的差··

? 然后設f[j][i]為第j塊矩形以第i層為一邊的最大面積··轉移方程即為：

??f[j][i]=max(f[j][i],f[k][i-1]+(long long)len[j]*(j-k));

??其中k為我們往下枚舉的層數··len為j層的寬度··

? 然后通過打表(dalao也可以分析)得出該方程滿足決策單調性且使用于斜率優化····這里兩種方法都能過

? 決策單調性：

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstdlib>
#include<cmath>
#include<ctime>
#include<cctype>
#include<string>
#include<cstring>
#include<algorithm>
using namespace std;
inline int R()
{char c;int f=0;for(c=getchar();c<'0'||c>'9';c=getchar());for(;c<='9'&&c>='0';c=getchar())  f=(f<<3)+(f<<1)+c-'0';return f;
}
const int N=20005;
const int M=105;
struct node
{int l,r,pos;
}Que[N];
int n,K;
long long len[N],f[N][M];
inline long long calc(int i,int j,int now)
{return f[j][now-1]+(long long)len[i]*(i-j);
}
inline int find(node a,int b,int now)
{int le=a.l,ri=a.r,ans=a.r+1;while(le<=ri){int mid=(le+ri)/2;if(calc(mid,b,now)>calc(mid,a.pos,now))  ri=mid-1,ans=mid;else le=mid+1;}return ans;
}
inline void dp(int now)
{int Head=1,Tail=0;node tmp;tmp.l=now;tmp.r=n;tmp.pos=now-1;Que[++Tail]=tmp;for(int i=now;i<=n;i++){while(Que[Head].r<i)  Head++;f[i][now]=calc(i,Que[Head].pos,now);if(calc(n,i,now)>calc(n,Que[Tail].pos,now)){while(Head<=Tail&&calc(Que[Tail].l,i,now)>calc(Que[Tail].l,Que[Tail].pos,now))  Tail--;if(Head<=Tail){int t=find(Que[Tail],i,now);Que[Tail].r=t-1;node tmp;tmp.l=t,tmp.r=n,tmp.pos=i;Que[++Tail]=tmp;}else{node tmp;tmp.l=i+1;tmp.r=n;tmp.pos=i;Que[++Tail]=tmp;}}}
}
int main()
{//freopen("pyramid.out","w",stdout);n=R(),K=R();int x,y;if(n<=1000){  for(int i=1;i<=n;i++){x=R(),y=R();len[i]=y-x+1;f[i][1]=(long long)len[i]*i;}for(int i=2;i<=K;i++)for(int j=i;j<=n;j++)for(int k=i-1;k<j;k++)  f[j][i]=max(f[j][i],f[k][i-1]+(long long)len[j]*(j-k));long long ans=0;for(int i=K;i<=n;i++)  ans=max(f[i][K],ans);cout<<ans<<"\n";}else{for(int i=1;i<=n;i++){x=R(),y=R();len[i]=y-x+1;f[i][1]=(long long)len[i]*i;}for(int i=2;i<=K;i++)dp(i);long long ans=0;for(int i=K;i<=n;i++)  ans=max(f[i][K],ans);   cout<<ans<<"\n";}return 0;
}

?

3.質因數分解+容斥原理

? 這道題和之前跳蚤的那道題是一模一樣的··這里就并不多說了··

? 唯一注意的是我發現了自己快速冪的一個漏洞··求a^b之前要將a取模···之前一直沒有注意到···還有就是注意最后答案為負的問題

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstdlib>
#include<cmath>
#include<ctime>
#include<cctype>
#include<cstring>
#include<string>
#include<algorithm>
#include<vector>
using namespace std;
vector<long long>zhiyinzi;
const long long mod=1e9+7;
long long n,m,ans=0;
inline long long ksm(long long a,long long b)
{long long ans=1;a%=mod;  while(b){if(b%2==1)  ans=(ans*a)%mod;b/=2;a=(a*a)%mod;}return ans;
}
inline void dfs(int u,long long tot,long long f)
{if(u==zhiyinzi.size()){long long temp=m/tot;ans=(ans+f*ksm(temp,n))%mod;ans=(ans%mod+mod)%mod;return;}dfs(u+1,tot,f);dfs(u+1,tot*zhiyinzi[u],-f);
}
int main()
{scanf("%I64d%I64d",&n,&m);long long temp=m;for(long long i=2;i*i<=m;i++){if(i>temp)  break;  if(temp%i==0){ while(temp%i==0)  temp/=i;zhiyinzi.push_back(i);}}if(temp!=1)  zhiyinzi.push_back(temp);dfs(0,1,1);ans=(ans%mod+mod)%mod;cout<<ans<<endl;return 0;
}

?

?

??