流形

一個m維流形是滿足以下條件的集合M：存在可數多個稱為坐標卡（圖集）的子集合族.以及映到的連通開子集上的一對一映射，,稱為局部坐標映射，滿足以下條件
- 坐標卡覆蓋M
- 若 $U_\alpha \bigcap U_\beta \neq \phi,$ 則 $\varphi_\beta\cdot\varphi_\alpha^{-1}:\varphi_{\alpha}(U_\alpha \bigcap U_\beta)\rightarrow \varphi_{\beta}(U_\alpha \bigcap U_\beta)$ 是光滑函數（無限可導）
- Hausdorff 分離性質：若 $x\in U_\alpha,\bar{x}\in U_\beta$ 是M中的兩個不同點，則存在開子集 $W\subset V_\alpha,\bar{W}\subset V_\beta,\varphi_\alpha(x)\in V_\alpha,\varphi_\beta(\bar{x})\in V_\beta$ 使得 $\varphi_\alpha^{-1}(W)\bigcap \varphi_\beta^{-1}(\bar{W})=\phi$

設M 和 N是兩個光滑流形， $F:M\rightarrow N$ 是一個映射，如果 $F$ 在每個坐標卡上的局部坐標表示都是光滑的，則稱 $F$ 是光滑映射，即對M上的每個坐標卡 $\varphi_\alpha:U_\alpha \rightarrow V_\alpha \subset R^m$ 和 N 上的每個坐標卡 $\bar{\varphi}_\beta:\bar{U}_\beta\rightarrow \bar{V}_\beta \subset R^n$ ，復合映射 $\bar{\varphi}_\beta\cdot F\cdot \varphi_\alpha^{-1}:R^m\rightarrow R^n$ 在 $\varphi_\alpha[U_\alpha\bigcap F^{-1}(\bar{\varphi}_\beta)]$ 上是光滑的

$F:M\rightarrow N$ 是從m維流形到n維流形的光滑映射，F在 $x\in M$ 的秩就是n \times m Jacobi矩陣在x的秩。如果對于子集S \subsset M 中的每點，F 的秩都等于m 和 n中最小者，則稱F 在S上有最大值

設M是光滑流形，N是M的子集，如果存在流形\bar{N} 和光滑流形一一映射，處處滿足最大秩條件，則稱N 是 M的子流形，\bar{N}叫做參數空間，并且
- 映射 $N=\varphi(\bar{N})$ 稱為 immersion
- N 叫做侵入子流形

regular 子流形

若群G具有r位光滑流形結構，使得群運算 $m:G\times G\rightarrow G,m(g,h)=g\cdot h,\,\,\,g,h\in G$ 和逆元運算 $i:G\rightarrow G,i(g)=g^{-1},g\in G$ 是流形間的光滑映射，則稱G是r參數Lie 群
Lie 群：具有光滑的流形結構的群

Lie 群G的子集H 叫做Lie 子群，如果H是G 的侵入子流形，則 $\varphi:\bar{H}\rightarrow G,H=\varphi(\bar{H}),H$ 是Lie 群， $\varphi$ 是Lie 群上的同態映射

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