系統分析:

一般的抽象系統，如社會系統，經濟系統，農業系統，生態系統，教育系統等都包含有許多種因素，多種因素共同作用的結果決定了該系統的發展態勢。人們常常希望知道在眾多的因素中，哪些是主要因素，哪些是次要因素；哪些因素對系統發展影響大，哪些因素對系統發展影響小；那些因素對系統發展起推動作用需強化發展；那些因素對系統發展起阻礙作用需加以抑制；……這些都是系統分析中人們普遍關心的問題。例如，糧食生產系統，人們希望提高糧食總產量，而影響糧食總產量的因素是多方面的，有播種面積以及水利，化肥，土壤，種子，勞力，氣候，耕作技術和政策環境等。為了實現少投入多產出，并取得良好的經濟效益，社會效益和生態效益，就必須進行系統分析。

數理統計的不足之處：

灰色關聯的基本思想：

灰色關聯分析原理：灰色關聯分析（Grey Relational Analysis）是一種用于研究變量之間關聯性的方法，特別適用于樣本數據較少、樣本特征缺失或數據質量不高的情況下。它是由灰色系統理論發展而來，旨在分析和描述變量之間的關聯程度。

在灰色關聯分析中，首先將各個變量的數據進行數值化，常采用標準化或歸一化的方法，將變量的取值范圍轉化為[0, 1]之間。然后，通過計算變量之間的關聯度，確定它們之間的關聯程度。

灰色關聯分析的步驟主要包括以下幾個方面：

1.數據標準化：將原始數據進行標準化處理，通常采用歸一化或標準化方法，使得各個變量具有相同的數值范圍。

2.構建關聯系數矩陣：計算各個變量之間的關聯系數，一般采用灰色關聯度或灰色斜率關聯度。關聯系數表示了變量之間的相對關聯程度。

3.確定關聯度序列：根據計算得到的關聯系數，確定關聯度序列，即將各個變量按照關聯度的大小排序。

4.確定關聯度權重：根據關聯度序列，計算關聯度權重，即各個變量在總關聯系數中的貢獻比例。

5.計算灰色關聯度：通過將各個變量的關聯系數與關聯度權重相乘，并進行累加，計算出灰色關聯度。灰色關聯度可以反映變量之間的關聯程度。

通過灰色關聯度的計算，可以得到各個變量之間的關聯情況，進而進行數據分析和決策支持。灰色關聯分析常被應用于多個領域，包括經濟、管理、環境、工程等，用于評估指標之間的關聯強度、尋找關鍵因素等。

需要注意的是，灰色關聯分析的結果是相對的，不具備精確的定量意義，應結合實際問題和其他分析方法進行綜合評估和判斷。

例題以及Excel的實操：在excel中選擇數據-插入-推薦圖標-修改信息。

2.確定分析數列：

母序列：能反映系統特征值的數據序列，類似于因變量Y，此處記為X0

子序列：有影響系統行為的因素組成的數據序列。類似于自變量x，此處記為（x1，x2……xm）

3.對變量進行預處理：

目的：去量綱，縮小變量范圍簡化計算。

方法：每個元素/所在列的列向量的均值。

4.計算子序列中各個指標與母序列的關聯系數

先求每子列元素與母列之間差的絕對值，在求出矩陣中所有元素的最小值a和最大值b。且取分辨系數p/rho=0.5

在通過公式計算

5.求灰色關聯度：

公式：每列子序列與母序列關聯系數的均值。

6.分析結果進行總結。

MATLAB代碼實現：

參考代碼：

%% 灰色關聯分析用于系統分析例題的講解
clear;clc
load gdp.mat  % 導入數據 一個6*4的矩陣
% 不會導入數據的同學可以看看第二講topsis模型，我們也可以自己在工作區新建變量，并把Excel的數據粘貼過來
% 注意Matlab的當前文件夾一定要切換到有數據文件的這個文件夾內
Mean = mean(gdp);  % 求出每一列的均值以供后續的數據預處理
gdp = gdp ./ repmat(Mean,size(gdp,1),1);  %size(gdp,1)=6, repmat(Mean,6,1)可以將矩陣進行復制，復制為和gdp同等大小，然后使用點除（對應元素相除），這些在第一講層次分析法都講過
disp('預處理后的矩陣為：'); disp(gdp)
Y = gdp(:,1);  % 母序列
X = gdp(:,2:end); % 子序列
absX0_Xi = abs(X - repmat(Y,1,size(X,2)))  % 計算|X0-Xi|矩陣(在這里我們把X0定義為了Y)
a = min(min(absX0_Xi))    % 計算兩級最小差a
b = max(max(absX0_Xi))  % 計算兩級最大差b
rho = 0.5; % 分辨系數取0.5
gamma = (a+rho*b) ./ (absX0_Xi  + rho*b)  % 計算子序列中各個指標與母序列的關聯系數
disp('子序列中各個指標的灰色關聯度分別為：')
disp(mean(gamma))

討論：

灰色分析用于綜合評價問題：

步驟：

MATLAB代碼實現：

這里的代碼和博主之前TOPSIS算法一文：數學建模——TOPSIS法_Wei&Yan的博客-CSDN博客

前面的操作都一致，只是在最后添加上了灰色相關分析的方法

步驟：

1. 先對矩陣進行預處理：每個元素/所在列的均值
2. 構造母序列和子序列

母序列：取每一行的max構成一個列向量

子序列：預處理后的矩陣

3.計算灰色關聯度

先求每個元素與母序列差的絕對值矩陣，再求兩級最大/小差。

最后利用公式求灰色關聯度

4.求權重：每列的均值/每列均值的和

5.求得分：（矩陣中每個元素*其所在列的權重）的矩陣的列和。（得到一個）

6.歸一化得分：每個元素/向量和

圖形對比：

參考代碼：

這里只參考了主函數加上帶有灰色相關分析的代碼，其他自定義函數可參考博主原來的文章TOPSIS算法：數學建模——TOPSIS法_Wei&Yan的博客-CSDN博客

%% 灰色關聯分析用于綜合評價模型例題的講解
clear;clc
load data_water_quality.mat
% 不會導入數據的同學可以看看第二講topsis模型，我們也可以自己在工作區新建變量，并把Excel的數據粘貼過來
% 注意Matlab的當前文件夾一定要切換到有數據文件的這個文件夾內%%  判斷是否需要正向化
[n,m] = size(X);
disp(['共有' num2str(n) '個評價對象, ' num2str(m) '個評價指標']) 
Judge = input(['這' num2str(m) '個指標是否需要經過正向化處理，需要請輸入1 ，不需要輸入0：  ']);   %1if Judge == 1Position = input('請輸入需要正向化處理的指標所在的列，例如第2、3、6三列需要處理，那么你需要輸入[2,3,6]： '); %[2,3,4]disp('請輸入需要處理的這些列的指  標類型（1：極小型， 2：中間型， 3：區間型） ')Type = input('例如：第2列是極小型，第3列是區間型，第6列是中間型，就輸入[1,3,2]：  '); %[2,1,3]% 注意，Position和Type是兩個同維度的行向量for i = 1 : size(Position,2)  %這里需要對這些列分別處理，因此我們需要知道一共要處理的次數，即循環的次數X(:,Position(i)) = Positivization(X(:,Position(i)),Type(i),Position(i));% Positivization是我們自己定義的函數，其作用是進行正向化，其一共接收三個參數% 第一個參數是要正向化處理的那一列向量 X(:,Position(i))   回顧上一講的知識，X(:,n)表示取第n列的全部元素% 第二個參數是對應的這一列的指標類型（1：極小型， 2：中間型， 3：區間型）% 第三個參數是告訴函數我們正在處理的是原始矩陣中的哪一列% 該函數有一個返回值，它返回正向化之后的指標，我們可以將其直接賦值給我們原始要處理的那一列向量enddisp('正向化后的矩陣 X =  ')disp(X)
end%% 對正向化后的矩陣進行預處理
Mean = mean(X);  % 求出每一列的均值以供后續的數據預處理
Z = X ./ repmat(Mean,size(X,1),1);  
disp('預處理后的矩陣為：'); disp(Z)%% 構造母序列和子序列
Y = max(Z,[],2);  % 母序列為虛擬的，用每一行的最大值構成的列向量表示母序列
X = Z; % 子序列就是預處理后的數據矩陣%% 計算得分
absX0_Xi = abs(X - repmat(Y,1,size(X,2)))  % 計算|X0-Xi|矩陣
a = min(min(absX0_Xi))    % 計算兩級最小差a
b = max(max(absX0_Xi))  % 計算兩級最大差b
rho = 0.5; % 分辨系數取0.5
gamma = (a+rho*b) ./ (absX0_Xi  + rho*b)  % 計算子序列中各個指標與母序列的關聯系數
weight = mean(gamma) / sum(mean(gamma));  % 利用子序列中各個指標的灰色關聯度計算權重
score = sum(X .* repmat(weight,size(X,1),1),2);   % 未歸一化的得分
stand_S = score / sum(score);   % 歸一化后的得分
[sorted_S,index] = sort(stand_S ,'descend') % 進行排序