B 樹是為了磁盤或其它存儲設備而設計的一種多叉（下面你會看到，相對于二叉，B樹每個內結點有多個分支，即多叉）平衡查找樹。

B 樹又叫平衡多路查找樹。一棵m階的B 樹 (m叉樹)的特性如下：

• 樹中每個結點最多含有m個孩子（m>=2）；
• 除根結點和葉子結點外，其它每個結點至少有[ceil(m / 2)]個孩子（其中ceil(x)是一個取上限的函數）；
• 若根結點不是葉子結點，則至少有2個孩子（特殊情況：沒有孩子的根結點，即根結點為葉子結點，整棵樹只有一個根節點）；
• 所有葉子結點都出現在同一層，葉子結點不包含任何關鍵字信息(可以看做是外部接點或查詢失敗的接點，實際上這些結點不存在，指向這些結點的指針都為null)；
• 每個非終端結點中包含有n個關鍵字信息： (P1，K1，P2，K2，P3，......，Kn，Pn+1)。其中：

???????a) ??Ki (i=1...n)為關鍵字，且關鍵字按順序升序排序K(i-1)< Ki。?
???????b) ??Pi為指向子樹根的接點，且指針P(i)指向子樹種所有結點的關鍵字均小于Ki，但都大于K(i-1)。?
???????c) ??關鍵字的個數n必須滿足： [ceil(m / 2)-1]<= n <= m-1。
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來模擬下查找文件29的過程：

• ???(1) 根據根結點指針找到文件目錄的根磁盤塊1，將其中的信息導入內存。【磁盤IO操作1次】
• ???(2) 此時內存中有兩個文件名17，35和三個存儲其他磁盤頁面地址的數據。根據算法我們發現17<29<35，因此我們找到指針p2。
• ???(3) 根據p2指針，我們定位到磁盤塊3，并將其中的信息導入內存。【磁盤IO操作2次】
• ???(4) 此時內存中有兩個文件名26，30和三個存儲其他磁盤頁面地址的數據。根據算法我們發現26<29<30，因此我們找到指針p2。
• ???(5) 根據p2指針，我們定位到磁盤塊8，并將其中的信息導入內存。【磁盤IO操作3次】
• ???(6) 此時內存中有兩個文件名28，29。根據算法我們查找到文件29，并定位了該文件內存的磁盤地址。

插入操作

生 成從空樹開始，逐個插入關鍵字。但是由于B_樹節點關鍵字必須大于等于[ceil(m/2)-1],所以每次插入一個關鍵字不是在樹中添加一個葉子結點， 而是首先在最底層的某個非終端節點中添加一個“關鍵字”，該結點的關鍵字不超過m-1,則插入完成；否則要產生結點的“分裂”，將一半數量的關鍵字元素分裂到新的其相鄰右結點中，中間關鍵字元素上移到父結點中。

1、咱們通過一個實例來逐步講解下。插入以下字符字母到一棵空的B?樹中（非根結點關鍵字數小了（小于2個）就合并，大了（超過4個）就分裂）：C N G A H E K Q M F W L T Z D P R X Y S，首先，結點空間足夠，4個字母插入相同的結點中，如下圖：

2、當咱們試著插入H時，結點發現空間不夠，以致將其分裂成2個結點，移動中間元素G上移到新的根結點中，在實現過程中，咱們把A和C留在當前結點中，而H和N放置新的其右鄰居結點中。如下圖：

3、當咱們插入E,K,Q時，不需要任何分裂操作

4、插入M需要一次分裂，注意M恰好是中間關鍵字元素，以致向上移到父節點中

5、插入F,W,L,T不需要任何分裂操作

6、插入Z時，最右的葉子結點空間滿了，需要進行分裂操作，中間元素T上移到父節點中，注意通過上移中間元素，樹最終還是保持平衡，分裂結果的結點存在2個關鍵字元素。

7、插入D時，導致最左邊的葉子結點被分裂，D恰好也是中間元素，上移到父節點中，然后字母P,R,X,Y陸續插入不需要任何分裂操作（別忘了，樹中至多5個孩子）。

8、最后，當插入S時，含有N,P,Q,R的結點需要分裂，把中間元素Q上移到父節點中，但是情況來了，父節點中空間已經滿了，所以也要進行分裂，將父節點中的中間元素M上移到新形成的根結點中，注意以前在父節點中的第三個指針在修改后包括D和G節點中。這樣具體插入操作的完成。

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