（擴展）歐幾里德快速冪

GCD模板

__int64 gcd(__int64 a,__int64  b)
{return b==0? a:gcd(b,a%b);
}

?歐幾里德算法又稱輾轉相除法，用于計算兩個整數a,b的最大公約數。其計算原理依賴于下面的定理：

　　gcd函數就是用來求(a,b)的最大公約數的。

　　gcd函數的基本性質：

　　gcd(a,b)=gcd(b,a)=gcd(-a,b)=gcd(|a|,|b|)

證明：

基本算法：設a=qb+r，其中a，b，q，r都是整數，則gcd(a,b)=gcd(b,r)，即gcd(a,b)=gcd(b,a%b)。

第一種證明：

? ? ? a可以表示成a = kb + r，則r = a mod b

　　假設d是a,b的一個公約數，則有

　　d|a, d|b，而r = a - kb，因此d|r

　　因此d是(b,a mod b)的公約數

　　假設d 是(b,a mod b)的公約數，則

　　d | b , d |r ，但是a = kb +r

　　因此d也是(a,b)的公約數

　　因此(a,b)和(b,a mod b)的公約數是一樣的，其最大公約數也必然相等，得證。

第二種證法：

第二種證明：

? ??要證歐幾里德算法成立，即證: gcd(a,b)=gcd(b,r),其中 gcd是取最大公約數的意思，r=a mod b
??? 下面證 gcd（a，b）=gcd（b，r）
??? 設? c是a，b的最大公約數，即c=gcd（a，b），則有 a=mc，b=nc，其中m，n為正整數，且m，n互為質數
??? 由 r= a mod b可知，r= a- qb 其中，q是正整數，
??? 則 r=a-qb=mc-qnc=（m-qn）c
??? b=nc,r=(m-qn)c，且n，（m-qn）互質（假設n，m-qn不互質，則n=xd, m-qn=yd 其中x,y,d都是正整數，且d>1
??????????????????????????????????????????????????????????????? 則a=mc=(qx+y)dc, b=xdc,這時a,b 的最大公約數變成dc，與前提矛盾，
???????????????????????????????????????????????????????????????? 所以n ，m-qn一定互質）
??? 則gcd（b,r）=c=gcd（a,b）
??? 得證。

擴展歐幾里德定理

　　對于不完全為 0 的非負整數 a，b，gcd（a，b）表示 a，b 的最大公約數，必然存在整

　　數對 x，y ，使得 gcd（a，b）=ax+by。

證明：

基本算法：對于不完全為 0 的非負整數 a，b，gcd（a，b）表示 a，b 的最大公約數，必然存在整數對 x，y ，使得 gcd（a，b）=ax+by。

證明：設 a>b。

　　1，顯然當 b=0，gcd（a，b）=a。此時 x=1，y=0；

　　2，ab!=0 時

　　設 ax1+by1=gcd(a,b);

　　bx2+(a mod b)y2=gcd(b,a mod b);

　　根據樸素的歐幾里德原理有 gcd(a,b)=gcd(b,a mod b);

　　則:ax1+by1=bx2+(a mod b)y2;

　　即:ax1+by1=bx2+(a-(a/b)*b)y2=ay2+bx2-(a/b)*by2;

　　根據恒等定理得：x1=y2; y1=x2-(a/b)*y2;

? ? ?這樣我們就得到了求解 x1,y1 的方法：x1，y1 的值基于 x2，y2.

　 ?上面的思想是以遞歸定義的，因為 gcd 不斷的遞歸求解一定會有個時候 b=0，所以遞歸可以結束。

以上來自這篇博客具體應用可以繼續看這篇文章

模板

int exgcd(int a,int b,int &x,int &y)
{if(b == 0){x = 1; y = 0; return a;}int d = exgcd(b, a % b,x,y);int temp = x;x = y;y = temp - a / b * y;return d;
}

?快速冪取模

http://blog.csdn.net/hkdgjqr/article/details/5381292

快速冪取模就是在O(logn)內求出a^n mod b的值。算法的原理是ab mod c=(a mod c)(b mod c)mod c

二分遞歸

long exp_mod(long a,long n,long b)
{long t;if(n==0) return 1%b;if(n==1) return a%b;t=exp_mod(a,n/2,b);t=t*t%b;if((n&1)==1) t=t*a%b;return t;
}

基于二進制

LL q_mod(LL a,LL b)
{
LL d,t;
d = 1,t=a;
while(b)
{
if(b&1) d = (d*t)%mod;
b/=2;
t = (t*t)%mod;
}
return d;
}

?http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=2817

View Code

 1 #include<stdio.h>
 2 #define N 200907
 3 __int64 exp_mod(__int64 a,__int64 b)
 4 {
 5     __int64 d,t;
 6     d = 1;
 7     t = a;
 8     while(b>0)
 9     {
10         if(b%2==1)
11             d = d*t%N;
12         b=b/2;
13         t = t*t%N;
14     }
15     return d;
16 }
17 int main()
18 {
19     __int64 n,m,a1,a2,a3,d,s,x;
20     int i,j,k,t;
21     scanf("%d", &t);
22     while(t--)
23     {
24         scanf("%I64d%I64d%I64d%d",&a1,&a2,&a3,&k);
25         if(a2-a1==a3-a2)
26         {
27             d = a3-a2;
28             s = (a1%N+d*(k-1)%N)%N;
29             printf("%I64d\n",s);
30         }
31         else
32         {
33             x = a3/a2;
34             printf("%I64d\n",(a1*exp_mod(x,k-1))%N);
35         }
36     }
37     return 0;
38 }