逐步優化求解最大子序列和

求解最大子序列和

tag： 數據結構與算法

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最大子序列和問題：

給定序列A₁, A₂，... A_N， 求最大的子序列和。
例如 ：
　　對于序列4, -3, 5, -2, -1, 2, 6, -2， 最大序列和為11（4 -3 + 5 - 2 - 1 + 2 + 6）

算法一：

利用兩個循環，第一個循環把序列遍歷一遍，第二個循環則從A_i累加到A_N，每加一次判斷一下是否大于之前的最大子序列和：

int maxSubsequenceSum1 (const int arr[], int n) {int maxSum = 0;int temp;for (int i = 0; i < n; i++) {temp = 0;for (int j = i; j < n; j++) {temp += arr[j];if (temp > maxSum)maxSum = temp;}}return maxSum;
}

時間復雜度：O（n²）

算法二：

首先把序列從中間一分為二， 則最大子序列和的存在有三種情況：

1. 全在左邊的子序列
2. 全在右邊的子序列
3. 處在中間
   對于第一和第二種情況，只需要遞歸調用求解函數，對于第三種情況則要分別求出從中間出發，向左邊和向右邊各自的最大子序列和。

int max(int a, int b, int c) {int max;if (a > b)max = a;else max = b;if (c > max)max = c;return max;
}int maxSubsequenceSum2 (const int arr[], int begin, int end) {int maxLeftSum, maxRightSum, maxLeftCenterSum, maxRightCenterSum, center, temp;if (begin >= end) {if (arr[begin] > 0)return arr[begin];elsereturn 0;}center = (begin+end)/2;maxLeftSum = maxSubsequenceSum2(arr, begin, center);maxRightSum = maxSubsequenceSum2(arr, center+1, end);maxLeftCenterSum = 0;temp = 0;for (int i = center; i >= begin; i--) {temp += arr[i];if (temp > maxLeftCenterSum)maxLeftCenterSum = temp;}maxRightCenterSum = 0;temp = 0;for (int i = center+1; i <= end; i++) {temp += arr[i];if (temp > maxRightCenterSum)maxRightCenterSum = temp;}return max(maxLeftSum, maxRightSum, (maxLeftCenterSum+maxRightCenterSum));
}

時間復雜度:O(nlogn)

算法三:

累加序列,若發現當前序列和大于之前最大序列和,則替換.若發現當前序列和小于0,則將當前序列和置換成0,相當于把前面的序列都舍棄掉.

int maxSubsequenceSum3(int arr[], int n) {int tempSum = 0, maxSum = 0;for (int i = 0; i < n; i++) {tempSum += arr[i];if (tempSum < 0)tempSum = 0;if (tempSum > maxSum)maxSum = tempSum;}return maxSum;    
}

時間復雜度:O(n)