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設 $f(x)$ 在 $[a,\infty)$ 上可微; 且 $x\to\infty$ 時, $f'(x)$ 單調遞增趨于 $+\infty$, 則 $$\bex \int_a^\infty \sin f(x)\rd x,\quad \int_a^\infty \cos f(x)\rd x \eex$$ 都收斂.
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證明: 由 $$\bex \int_a^\infty\sex{\cos \atop \sin }f(x)\rd x =\int_{f(a)}^\infty \sex{\cos \atop \sin} y \frac{\rd y}{f'(f^{-1}(y))}\quad \sex{f(x)=y} \eex$$ 及 Dirichlet 判別法即知題中兩個無窮限積分均收斂.
