CodeForces 258D Little Elephant and Broken Sorting(期望)

CF258D Little Elephant and Broken Sorting

題意

題意翻譯

有一個\(1\sim n\)的排列，會進行\(m\)次操作，操作為交換\(a,b\)。每次操作都有\(50\%\)的概率進行。

求進行\(m\)次操作以后的期望逆序對個數。

\(n,m\le 1000\)

輸入輸出格式

輸入格式：

The first line contains two integers \(n\) and \(m\) \((1\leq n,m\leq 1000,n>1)\) — the permutation size and the number of moves. The second line contains \(n\) distinct integers, not exceeding \(n\) — the initial permutation. Next \(m\) lines each contain two integers: the \(i\)-th line contains integers \(a_{i}\) and \(b_{i}\) \((1\leq a_{i},b_{i}\leq n,a_{i}\neq b_{i})\) — the positions of elements that were changed during the \(i\)-th move.

輸出格式：

In the only line print a single real number — the answer to the problem. The answer will be considered correct if its relative or absolute error does not exceed \(10^{-6}\).

輸入輸出樣例

輸入樣例#1：

2 1
1 2
1 2

輸出樣例#1：

0.500000000

輸入樣例#2：

4 3
1 3 2 4
1 2
2 3
1 4

輸出樣例#2：

3.000000000

思路

這道題真的水。 --Mercury

完全想不到的狀態設計，感謝\(Mercury\)巨佬的指點。

定義\(f(i,j)\)為位置\(i\)上的數比位置\(j\)上的數大的概率。假設每次交換都是\(100\%\)成功的，不妨設這次交換的數的下標為\(a,b\)，那么對于任意的\(f(i,a),f(i,b)\)就要被交換，\(f(a,i),f(b,i)\)也要被交換。可是當前交換的概率是\(50\%\)的，所以\(f(i,a),f(i,b)\)之間的差值要被分別減少\(50\%\)，也就相當于\(f(i,a)=f(i,b)=(f(i,a)+f(i,b))\div 2\)。同理，\(f(a,i)=f(b,i)=(f(a,i)+f(b,i))\div 2\)。最后的逆序對期望，也就是\(\Sigma [i<j]f(i,j)\times 1\)，也就是\(\Sigma [i<j]f(i,j)\)。

還要再胡扯兩句。 其實只要想出了\(f(i,j)\)這個東西，什么都簡單了，可是又會有幾個人能夠想到這種方法呢？完全沒有類似的情況作為參考，掌握了這道題卻又能給類似的題提供經驗（畢竟也沒有類似的題）。下一次見到了這種思維量大的題，還是不太能想得出。思維的活躍在\(OI\)中還是有很大的作用的啊！

AC代碼

#include<bits/stdc++.h>
#define RG register
using namespace std;
int n,m,a[1005];
double ans,f[1005][1005];
int read()
{RG int re=0;RG char ch=getchar();while(!isdigit(ch)) ch=getchar();while(isdigit(ch)) re=(re<<3)+(re<<1)+ch-'0',ch=getchar();return re;
}
int main()
{n=read(),m=read();for(RG int i=1;i<=n;i++) a[i]=read();for(RG int i=1;i<=n;i++)for(RG int j=i+1;j<=n;j++)if(a[i]>a[j]) f[i][j]=1.0;else f[j][i]=1.0;while(m--){RG int x=read(),y=read();if(x==y) continue;for(RG int i=1;i<=n;i++){if(i==x||i==y) continue;f[i][x]=f[i][y]=(f[i][x]+f[i][y])/2;f[x][i]=f[y][i]=(f[x][i]+f[y][i])/2;}f[x][y]=f[y][x]=0.5;}for(RG int i=1;i<=n;i++)for(RG int j=i+1;j<=n;j++)ans+=f[i][j];printf("%.8f",ans);return 0;
}