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??積分學的基本定理告訴我們，只要能找到 $f(x)$ 的原函數 $F(x)$，就可以通過 $F(b)?F(a)$ 來求得定積分的值。但實際上，找到 $f(x)$ 的原函數 $F(x)$ 并不總是容易的事情。有些函數的原函數可能沒有簡潔的表達式，或者無法通過常見的初等函數表示。
??為了解決這個問題，數值積分方法提供了一種近似計算定積分的途徑。這些方法通過離散化積分區間，使用數值技術來估計積分值。下面將介紹一些常見的數值積分方法：

一、梯形公式、中點公式

1. 梯形公式（Trapezoidal Rule）：

??梯形公式是最簡單的數值積分方法之一，它基于使用梯形逼近曲線下的面積，其數學表達式為：

$${\int }_a^{b}f(x)dx\approx \frac{b?a}{2}[f(a)+f(b)]$$
通過連接函數圖像上的兩個端點，形成一個梯形，然后計算梯形的面積來估計定積分值。

2. 復化梯形公式（Composite Trapezoidal Rule）：

??復化梯形公式是對梯形公式的改進，通過將積分區間分割成多個小區間，然后在每個小區間上應用梯形公式，最后將結果相加，其數學表達式為：

$${\int }_a^{b}f(x)dx\approx \frac{h}{2}[f(a)+2f(x_1)+2f(x_2)+\dots +2f(x_{n?1})+f(b)]$$

其中，$h=(b?a)/n$ 是每個小區間的寬度。

3. 中點公式（Midpoint Rule）：

??中點公式使用區間中點的函數值來逼近曲線下的面積，數學表達式為：

$${\int }_a^{b}f(x)dx\approx f\left(\frac{a+b}{2}\right)(b?a)$$

4. 復化中點公式（Composite Midpoint Rule）：

??復化中點公式是對中點公式的改進，通過將積分區間分割成多個小區間，然后在每個小區間上應用中點公式，最后將結果相加，數學表達式為：

$${\int }_a^{b}f(x)dx\approx h\sum _{i=0}^{n?1}f\left(a+\frac{h}{2}+ih\right)$$

其中，$h$ 是每個小區間的寬度，$n$ 是分割的小區間數量。

二、例題

有一組（x, y）值：
($y=e^x$)
$$\begin{array}{rl}& (1.1,3.0042)\\ & (1.3,3.6693)\\ & (1.5,4.4817)\end{array}$$

• 使用中點公式：$${\int }_a^{b}f(x)dx\approx (b?a)?f\left(\frac{a+b}{2}\right)$$

  • 這里$a=1.1$，$b=1.5$，所以中點公式為：$${\int }_{1.1}^{1.5}f(x)dx\approx (1.5?1.1)?f\left(\frac{1.1+1.5}{2}\right)=0.4f(1.3)=1.46772$$

• 使用復化梯形公式：$${\int }_a^{b}f(x)dx\approx \frac{h}{2}\left[f(x_0)+2f(x_1)+2f(x_2)+\dots +2f(x_{n?1})+f(x_n)\right]$$

  • 這里小區間的寬度 $h=0.2$，代入數據點的 $y$ 值：
    $${\int }_{1.1}^{1.5}f(x)dx\approx \frac{0.2}{2}\left[3.0042+2?3.6693+4.4817\right]=1.48245$$

三、程序

1. 中點公式

def midpoint_rule(data):result = 0for i in range(len(data) - 1):a, fa = data[i]b, fb = data[i + 1]result += (b - a) * fbreturn result

2. 梯形公式

def trapezoidal_rule(data):result = 0for i in range(len(data) - 1):a, fa = data[i]b, fb = data[i + 1]result += (b - a) * (fa + fb) / 2return result