《用相似對角矩陣加速矩陣的冪，以斐波那契數列為例》

在計算機科學和線性代數領域，矩陣的冪是一個常見而重要的問題。特別是對于大型矩陣，直接計算冪可能會變得十分耗時。然而，通過相似對角矩陣的方法，我們能夠以更為高效的方式解決這個問題。本文將探討這一方法，并以斐波那契數列為例進行說明。
這個方法要保證矩陣有n個線性無關的特征向量，所以一般在知道要計算的矩陣時，或保證矩陣滿足條件后使用

參考

參考
https://zhuanlan.zhihu.com/p/138285148
擴展
https://oi-wiki.org/math/poly/linear-recurrence/

什么是相似對角矩陣？

在線性代數中，如果存在一個可逆矩陣 $P$ 使得 $P^{?1}AP=\Lambda$，其中 $\Lambda$ 是對角矩陣，那么我們說矩陣 $A$ 和對角矩陣 $\Lambda$ 是相似的，而 $P$ 就是相似變換矩陣。

矩陣的冪和斐波那契數列

考慮矩陣 $A=\left[\begin{array}{cc}1& 1\\ 1& 0\end{array}\right]$，這是斐波那契數列的矩陣形式。我們知道斐波那契數列的定義是 $F_{n+2}=F_{n+1}+F_n$，其中 $F_0=0,F_1=1$。我們可以通過計算 $A^n$ 來得到第 $n$ 個斐波那契數。

相似對角矩陣的計算

首先，我們計算矩陣 $A$ 的特征值和特征向量。經過計算，我們得到特征值 ${\lambda }_1\approx 1.618$ 和 ${\lambda }_2\approx ?0.618$，以及對應的特征向量。通過構建相似矩陣 $P$ 和對角矩陣 $\Lambda$，我們有了相似對角矩陣的形式。

$$P=\left[\begin{array}{cc}\frac{1+\sqrt{5}}{2}& \frac{1?\sqrt{5}}{2}\\ 1& 1\end{array}\right]$$

$$\Lambda =\left[\begin{array}{cc}\frac{1+\sqrt{5}}{2}& 0\\ 0& \frac{1?\sqrt{5}}{2}\end{array}\right]$$

用相似對角矩陣加速矩陣的冪

通過相似對角矩陣的形式，我們可以高效地計算 $A^n$。這涉及計算對角矩陣的冪，以及相似變換矩陣的逆矩陣。利用這些結果，我們可以在 $O(\log n)$ 的時間內得到 $A^n$。

斐波那契數列的計算

最終，我們將這個方法應用于斐波那契數列。通過計算 $A^n$，我們可以高效地獲得斐波那契數列的第 $n$ 個數。這個方法相較于直接計算冪的方式在大型 $n$ 值時更為高效。

示例

https://leetcode.cn/problems/climbing-stairs/description/?envType=daily-question&envId=2023-12-10

class Solution
{
public:int climbStairs(int n){if (n == 1)return 1;auto mul = [&](std::vector<std::vector<double>> a, std::vector<std::vector<double>> b){int n = a.size(), m = a.front().size(), q = b.front().size();std::vector<std::vector<double>> result(n, std::vector<double>(q, 0));for (int i = 0; i < n; i++){for (int j = 0; j < q; j++){double &res = result[i][j];for (int k = 0; k < m; k++)res += a[i][k] * b[k][j];}}return result;};int k = n;double sqrt5 = sqrt(5);std::vector<std::vector<double>> P{{(1 + sqrt5) / 2, (1 - sqrt5) / 2}, {1, 1}};std::vector<std::vector<double>> A{{pow((1 + sqrt5) / 2, k), 0}, {0, pow((1 - sqrt5) / 2, k)}};std::vector<std::vector<double>> P_{{1 / sqrt5, (-1 + sqrt5) / 2 / sqrt5}, {-1 / sqrt5, (1 + sqrt5) / 2 / sqrt5}};std::vector<std::vector<double>> Result = mul(mul(P, A), P_);return (int)Result[0][0];}
};

結論

通過相似對角矩陣加速矩陣的冪，我們在處理斐波那契數列這一經典問題時展示了這一方法的實際應用。這種技術對于解決其他矩陣冪的計算問題同樣具有廣泛的應用，尤其是在處理大型矩陣時。希望本文能為理解矩陣的冪和相似對角矩陣的概念提供一些啟示。