Jordan型矩陣

2023年11月3日
#algebra

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1. 代數重數與幾何重數

在對向量做線性變換時，向量空間的某個向量的方向不發生改變，而只是在其方向上進行拉伸，則該向量是線性變換的特征向量，其在變換中被拉伸的倍數為該特征向量的特征值（特征根）。
矩陣的相同特征值有其對應的代數重數與幾何重數，相同特征值的代數重數就是相同特征值的個數，幾何重數就是相同特征值所對應特征向量的個數。顯然，特征向量的拉伸量可能相同，即代數重數大于等于幾何重數，也就是多個相同特征值可能對應一個特征向量。也可以說，對同一個特征值，可能有多個特征向量，而該特征值的代數重數大于等于特征向量的個數。
如果每個相同的特征值都對應不同的特征向量，則代數重數等于幾何重數。
對于 $n\times n$ 矩陣 $A$，有 $l$ 個特征根，$l<n$ 且第 $i$ 個特征根 ${\lambda }_i$ 的代數重數為 ${\sigma }_i$ 、幾何重數為 ${\alpha }_i$
$$\det (\lambda I_n?A)=(\lambda ?{\lambda }_1{)}^{{\sigma }_1}(\lambda ?{\lambda }_2{)}^{{\sigma }_2}?(\lambda ?{\lambda }_l{)}^{{\sigma }_l}$$
第$i$個特征根的幾何重數計算如下：
$${\alpha }_i=n?\text{rank}({\lambda }_i{I}_n?A)$$
幾何重數（零化度）對應著有幾個線性無關的特征向量擁有當前的特征值。
在Jordan標準型中，幾何重數對應著當前特征值擁有幾個Jordan快。
若代數重數等于幾何重數，該特征值為 半單的。
若代數重數大于幾何重數，該特征值為 虧損的。
顯然，代數重數為 $1$ 的特征值一定時半單的；不同特征值對應的特征向量是線性無關的。每個特征值都是半單的矩陣（有完備的特征向量系）等價于可對角化。
存在虧損的特征值的矩陣稱為虧損矩陣，等價于不可對角化。

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2. Jordan塊與Jordan標準型

舉例，對代數重數為 ${\sigma }_i=5$ 、幾何重數為 ${\alpha }_i=2$ 的特征根 ${\lambda }_i$，有兩個Jordan快，設存在一個三階和一個兩階的Jordan塊：
$$J_i=\left[\begin{array}{ccccc}{\lambda }_i& 1& 0& 0& 0\\ 0& {\lambda }_i& 1& 0& 0\\ 0& 0& {\lambda }_i& 0& 0\\ 0& 0& 0& {\lambda }_i& 1\\ 0& 0& 0& 0& {\lambda }_i\end{array}\right]=\text{diag}(J_3({\lambda }_i),J_2({\lambda }_i))$$
Jordan塊的順序可以交換。知道特征值的代數重數和幾何重數，還需要知道特征值對應的每階Jordan塊的個數，才能寫出Jordan標準型。
可以通過冪零矩陣確定 ${\lambda }_i$ 對應的兩個Jordan快各有幾階，如其中 $j$ 階Jordan塊的個數為：
$$r_{j+1}+r_{j?1}?2r_j$$
$$r_j=\text{rank}({\lambda }_{i}I?A{)}^j$$
$$r_0=\text{rank}({\lambda }_{i}I?A{)}^0=n$$
矩陣的Jordan標準型
$$J=\text{diag}(J_{n_1},J_{n_2},?,J_{n_k}),n_1+n_2+?+n_k=n$$
Jordan塊的上次對角元值都為 $1$
$$J_{n_i}=\left[\begin{array}{ccccc}{\lambda }_i& 1& & & \\ & {\lambda }_i& 1& & \\ & & ?& ?& \\ & & & {\lambda }_i& 1\\ & & & & {\lambda }_i\end{array}\right]$$
在這種定義下，不同Jordan塊可能對應相同特征值。求Jordan標準型步驟如下：

1. 算特征值
2. 算代數重數、幾何重數
3. 算特征值對應階數Jordan塊的個數

[!example]-
求矩陣 $A$ 的Jordan標準型
$$A=\left[\begin{array}{cccc}2& 0& ?1& 0\\ ?1& 1& 0& ?1\\ 0& 0& 2& 0\\ 1& 1& 1& 3\end{array}\right]$$
解：
$$\det (\lambda I?A)=(\lambda ?2{)}^4$$
$${\lambda }_1={\lambda }_2={\lambda }_3={\lambda }_4=2,4?\text{rank}({\lambda }_{1}I?A)=2$$
$2$ 特征值的代數重數是 $4$ ，幾何重數是 $2$ ，有兩個Jordan塊，可能是一個三階和一個一階的，也可能是兩個二階的。
$$\begin{array}{rl}{r}_0=& 4\\ & \\ r_1=& \text{rank}({\lambda }_{1}I?A)=2\\ & \\ r_2=& \text{rank}({\lambda }_{1}I?A{)}^2=0\\ & \\ r_3=& \text{rank}({\lambda }_{1}I?A{)}^3=0\\ & \end{array}$$
$2$ 特征值對應的一階Jordan塊個數
$$r_2+r_0?2r_1=0$$
$2$ 特征值對應的二階Jordan塊個數
$$r_3+r_1?2r_2=2$$
所以有兩個二階Jordan塊，Jordan標準型為
$$J=\left[\begin{array}{cccc}2& 1& 0& 0\\ 0& 2& 0& 0\\ 0& 0& 2& 1\\ 0& 0& 0& 2\end{array}\right]$$

Jordan塊減去特征值單位陣擁有冪零的特性：
$$(J_{n_i}?{\lambda }_i{I}_{n_i}{)}^{n_i}=0$$

2.1 最小多項式與Jordan標準型

由于一個特征值可能對應多個Jordan塊，我們選擇一個特征值的最大Jordan塊的階數，做為最小多項式中該特征值對應因子的冪次，得到最小多項式。例如
$$A=\left[\begin{array}{ccccc}{\lambda }_1& 1& 0& 0& 0\\ 0& {\lambda }_1& 1& 0& 0\\ 0& 0& {\lambda }_1& 0& 0\\ 0& 0& 0& {\lambda }_1& 0\\ 0& 0& 0& 0& \lambda 2\end{array}\right]$$
特征多項式為
$$\Delta (\lambda )=\det (\lambda I?A)=(\lambda ?{\lambda }_1{)}^4(\lambda ?{\lambda }_2)$$
最小多項式為
$$\psi (\lambda )=(\lambda ?{\lambda }_1{)}^3(\lambda ?{\lambda }_2)$$
所有相似矩陣都有相同的最小多項式。

2.2 兩類重要矩陣

一類是每個特征值代數重數與幾何重數相等的矩陣，又稱非退化矩陣或簡單矩陣、可對角化矩陣，其Jordan標準型是對角陣。
另一類是每個特征值的幾何重數都為 $1$ 的矩陣，也就是一個特征值對應一個Jordan塊，各Jordan塊對應的特征值互異，又稱循環矩陣。
顯然，循環矩陣的特征多項式與最小多項式相同。

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3. 矩陣的Jordan分解

對 $n$ 階方陣 $A$，存在 $n$ 階可逆矩陣 $T$，使得
$$A=TJ{T}^{?1}$$
為矩陣Jordan分解，$J$ 為矩陣的Jordan標準型，若不計Jordan塊的次序，則Jordan標準型唯一。
對變換矩陣，可以寫為矩陣的集合 $T=(T_1,T_2,?,T_k)$，$T_i$ 為 $n\times n_i$ 階矩陣。
$$A(T_1,T_2,?,T_k)=(T_1,T_2,?,T_k)\left[\begin{array}{ccc}{J}_{n_1}& & \\ & ?& \\ & & J_{n_k}\end{array}\right]$$
$$A{T}_i=T_i{J}_{n_i}=(t_1^i,t_2^i,?,t_{n_i}^i)\left[\begin{array}{ccccc}{\lambda }_i& 1& & & \\ & {\lambda }_i& 1& & \\ & & ?& ?& \\ & & & {\lambda }_i& 1\\ & & & & {\lambda }_i\end{array}\right]$$
所以
$$?\begin{array}{l}A{t}_1^i={\lambda }_i{t}_1^i\\ A{t}_2^i={\lambda }_i{t}_2^i+t_1^i\\ ?\\ A{t}_{n_i}^i={\lambda }_i{t}_{n_i}^i+t_{n_i?1}^i\end{array}$$
$$(A?{\lambda }_i{I}_n)t_1^i=0$$
$$(A?{\lambda }_i{I}_n)t_j^i=t_{j?1}^i,j=2,3?,n_i$$
$t_1^i,t_2^i,?,t_{n_i}^i$ 構成一條關于${\lambda }_i$的長度為$n_i$的Jordan鏈。$t_1^i$ 是鏈首，是 $A$ 關于 ${\lambda }_i$ 的一個特征向量。
鏈首滿足是特征向量，且方程組可解的要求。所以把 ${\lambda }_i$ 對應的所有線性無關的特征向量算出來，做線性組合，作為鏈首。變換矩陣 $T$ 的求解步驟如下

1. 求Jordan標準型
2. 算每個Jordan塊對應的Jordan鏈
   若Jordan塊階數為1，直接計算特征向量
   若階數大于1，先計算特征向量，利用特征向量的線性組合得到鏈首（同一特征值特征向量非零線性組合仍是特征向量）

[!example]-
$A$ 的Jordan標準型
$$A=\left[\begin{array}{ccc}3& 0& 8\\ 3& ?1& 6\\ ?2& 0& ?5\end{array}\right],J=\left[\begin{array}{ccc}?1& 0& 0\\ 0& ?1& 1\\ 0& 0& ?1\end{array}\right]$$
求出 ${\lambda }_1$ 對應的線性無關的特征向量
$$x_1=(2,0,?1{)}^{\mathrm{T}},x_2=(0,1,0{)}^{\mathrm{T}}$$
對應的變換矩陣為 $x_1$ 和 $x_2$ 的線性組合，我們選取 $x_1$。對于階數為 $2$ 的Jordan塊，構造 $y=k_1{x}_1+k_2{x}_2$ 使得 $(A?{\lambda }_{1}I)Z=y$ 可解，即
$$\text{rank}(A?{\lambda }_{1}I)=\text{rank}(A?{\lambda }_{1}I|y)$$
$$(A?{\lambda }_{1}I|y)=\left[\begin{array}{cccc}4& 0& 8& 2k_1\\ 3& 0& 6& k_2\\ ?2& 0& ?4& ?k_1\end{array}\right]\to \left[\begin{array}{cccc}4& 0& 8& 2k_1\\ 0& 0& 0& k_2?3k_1/2\\ 0& 0& 0& 0\end{array}\right]$$
需要 $2k_2?3k_1=0$ ，取 $k_1=2,k_2=3,y=(4,3,?2{)}^{\mathrm{T}}$， 解出 $z=(1,0,0{)}^{\mathrm{T}}$，鼓變換矩陣為
$$T=\left[\begin{array}{ccc}2& 4& 1\\ 0& 3& 0\\ ?1& ?2& 0\end{array}\right]$$

3.1 Jordan分解的應用

Jordan分解用于計算初等函數在某個矩陣處的值，最簡單的情形是計算多項式函數（高次多項式），當然也可以用Cayley-Hamilton定理。

[!example]-
設矩陣
$$A=\left[\begin{array}{ccc}?1& 0& 1\\ 1& 2& 0\\ ?4& 0& 3\end{array}\right]$$
求 $A^{2018}$。
解：
$$\begin{array}{r}{T}^{?1}AT=J=\left[\begin{array}{ccc}1& 1& 0\\ 0& 1& 0\\ 0& 0& 2\end{array}\right]\end{array}\to A^{2018}=T{J}^{2018}{T}^{?1}$$
$$\begin{array}{rl}{A}^{2018}=& \left[\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ ?1& ?1& 1\\ 2& 1& 0\end{array}\right]\left[\begin{array}{ccc}1& 2018& 0\\ 0& 1& 0\\ 0& 0& 2^{2018}\end{array}\right]\left[\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ ?2& 0& 1\\ ?1& 1& 1\end{array}\right]\\ & \\ =& \left[\begin{array}{ccc}?4035& 0& 2018\\ 4037?2^{2018}& 2^{2018}& 2^{2018}?2019\\ ?8072& 0& 4037\end{array}\right]\end{array}$$

Jordan分解還可以用于求解一階線性常系數微分方程組。

[! example]-
求解
$$?\begin{array}{l}\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}{x}_1=3x_1+x_2?3\\ \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}{x}_2=?2x_2+2x_3\\ \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}{x}_3=?x_1+x_2+3x_3\end{array}$$
解：令 $x=(x_1,x_2,x_3{)}^{\mathrm{T}}$ ，則原方程組化為
$$\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}=Ax$$
令 $x=Ty$，則
$$\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}t}=T^{?1}\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}=T^{?1}Ax=T^{?1}ATy=Jy$$
$$A=\left[\begin{array}{ccc}3& 1& ?1\\ ?2& 0& 2\\ ?1& ?1& 3\end{array}\right],J=\left[\begin{array}{ccc}2& 0& 0\\ 0& 2& 1\\ 0& 0& 2\end{array}\right]$$
$$\therefore Jy=\left[\begin{array}{c}2y_1\\ 2y_2+y_3\\ 2y_3\end{array}\right]\to y_1^{\prime }=2y_1,y_2^{\prime }=2y_2+y_3,y_3^{\prime }=2y_3$$
$y$ 第一第三個分量的一般解為
$$y_1(t)=c_1{e}^{2t},y_3(t)=c_3{e}^{2t}$$
代入第二個分量求解得
$$y_2(t)=(c_2+c_{3}t)e^{2t}$$
$$x=Ty=\left[\begin{array}{c}?e^{2t}(c_1+c_2+c_3+c_{3}t)\\ e^{2t}(c_1+2c_2+2c_{3}t)\\ e^{2t}(c_2+c_{3}t)\end{array}\right],?c_1,c_2,c_3\in \mathbb{C}$$

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下鏈

Jordan塊、Jordan標準型及矩陣的Jordan分解
矩陣論 武漢理工大學 （親測最好的矩陣論視頻）

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