1、平面擬合

??PCA 是一種數學變換的方法，利用降維的思想在變換中保持變量的總方差不變，將給定的一組變量線性變換為另一組不相關的變量，并且使變換后的第一變量的方差最大，即第一主成分，其他分量的方差依次遞減。在點云數據中的變量為三維點坐標的集合，其變量為X、Y、Z 三個坐標值，則經過變換后，應有三個主成分，對于一個空間平面，在平行于平面的方向上點集分布最為離散，方差最大，在垂直于平面的方向上，點集分布最為集中，方差最小，即空間平面的第三主成分為垂直于空間平面的向量。由于平面擬合最關鍵的為法向量的擬合，利用PCA 得到點集的第三主成分，即能進一步擬合出平面方程，如圖1 所示。

圖1 PCA變換原理

??對于在坐標系XYZ 下的待擬合平面點云，利用主成分分析法對其進行分析，可得到三個按照從大到小排列的特征值${\lambda }_1、{\lambda }_2、{\lambda }_3$，對應的主分量分別為$V_1、V_2、V_3$，其中$V_1$和$V_2$組成了待擬合平面的一組基，$V_3$與$V_1$、$V_2$正交，為垂直于待擬合平面的法向量。如圖1，在XYZ 坐標系下的點云，經過主成分分析后，三個主成分分量$V_1、V_2、V_3$組成了新坐標系$X^{\prime }{Y}^{\prime }{Z}^{\prime }$的三個基，$V_1$和$V_2$為平面$X^{\prime }{O}^{\prime }{Z}^{\prime }$的一組基，$V_3$為$O^{\prime }{Z}^{\prime }$方向的基，即所擬合平面的法向量。

PCA 過程如下:
( 1) 特征中心化。即每一維的數據都減去該維的均值，變換之后每一維的均值都變成了零。特征中心化后的點集$P$，如式( 1) ，其中，$x_i、y_i、z_i$為中心化后點坐標:

$$P=\left[\begin{array}{ccc}{x}_1& y_1& z_1\\ x_2& y_2& z_2\\ ?& ?& ?\\ x_n& y_n& z_n\end{array}\right]\text{\hspace{1em}(1)}$$

(2) 計算三個坐標的協方差矩陣。協方差矩陣$C$為:
$$C=\left[\begin{array}{ccc}cov(x,x)& cov(x,y)& cov(x,z)\\ cov(y,x)& cov(y,y)& cov(y,z)\\ cov(z,x)& cov(z,y)& cov(z,z)\end{array}\right]\text{\hspace{1em}(2)}$$

??其中， $cov(x，y)$ 為$x$ 坐標和$y$ 坐標的協方差， $cov(x，x)$ 為$x$坐標的方差，協方差計算公式如式( 3) ，$x_i、y_i$為中心化后點坐標:
$$cov(x,y)=\frac{{\sum }_{i=1}^n{x}_i{y}_i}{n?1}\text{\hspace{1em}(3)}$$

??當協方差大于零時說明$x$和$y$是正相關關系，協方差小于零時$x$和$y$是負相關關系，協方差為零時$x$和$y$相互獨立。

( 3) 計算協方差矩陣$C$的特征值和特征向量。所計算出來的特征值按照從大到小排序，分別為${\lambda }_1、{\lambda }_2、{\lambda }_3$，其所對應的特征向量分別為${\xi }_1、{\xi }_2、{\xi }_3$。顯然，兩個較大$\lambda$ 所對應的特征向量${\xi }_1、{\xi }_2$為待擬合平面的一組基，而${\xi }_3$為待擬合平面的法向量，其三個分量分別為$a、b、c$。
??若已知待擬合平面經過點$p(x_0，y_0，z_0)$ ，則擬合平面為式( 4) :
$$a(x－x_0)+b(y－y_0)+c(z－z_0)=0\text{\hspace{1em}(4)}$$

否則，取其均值作為平面上點$p(\bar{x},\bar{y},\bar{z})$ 進行擬合。
??采用主成分分析法擬合平面的方法，對于存在噪聲點的情況，也能很好的擬合出結果。因為在一個平面點云中，噪聲點偏離平面的距離相對于平面的范圍較小，對擬合結果的影響可以忽略。

2、參考文獻

[1]葉玲潔;顏遠青. 基于PCA算法的機載LiDAR點云平面分割算法研究 [J]. 城市勘測, 2018, (01): 41-44+51.

3、相關代碼

• matlab 點云最小二乘擬合平面(PCA法)
• matlab 點云最小二乘擬合平面(PCA法詳細過程版)
• matlab 最小二乘擬合平面并與XOY平面對齊
• Open3D 最小二乘擬合平面（PCA法 python詳細過程版）
• Open3D 進階（12）PCA擬合平面