2023 年亞太賽 APMCM （B題）國際大學生數學建模挑戰賽 |數學建模完整代碼+建模過程全解全析

當大家面臨著復雜的數學建模問題時，你是否曾經感到茫然無措？作為2022年美國大學生數學建模比賽的O獎得主，我為大家提供了一套優秀的解題思路，讓你輕松應對各種難題。

在這里插入圖片描述

問題一：

建立沒有作物的玻璃溫室內的溫度和風速分布數學模型，我們可以采用流體力學和熱傳導的基本方程。假設溫室內的流體是不可壓縮、穩定、定常的，并考慮熱傳導和對流。

質量守恒方程：
$\nabla \cdot \mathbf{v} = 0$
這里， $\mathbf{v}$ 是速度場矢量。
動量守恒方程：
$\rho \left(\frac{\partial \mathbf{v}}{\partial t} + \mathbf{v} \cdot \nabla \mathbf{v}\right) = -\nabla p + \mu \nabla^2 \mathbf{v} + \rho \mathbf{g}$
其中， $\rho$ 是流體密度， $p$ 是壓力， $\mu$ 是動力粘度， $\mathbf{g}$ 是重力矢量。
能量守恒方程：
$\rho C_p \left(\frac{\partial T}{\partial t} + \mathbf{v} \cdot \nabla T\right) = \nabla \cdot (k \nabla T) + \rho H$
其中， $C_p$ 是比熱容， $T$ 是溫度場， $k$ 是熱導率， $H$ 是熱源（考慮加熱風的影響）。
邊界條件：
- 溫室的外玻璃和底部土壤被設置為壁條件，即流體不能穿過它們。
- 溫室風扇一側的邊界條件被設置為速度入口條件，水平方向以平均速度吹出暖空氣。
  溫室外表面：速度和溫度的法向梯度等于零，即流體不能穿過溫室外表面。
  溫室風扇一側：速度邊界條件，水平方向以平均速度吹出暖空氣（具體參數可根據實際情況調整）。
  溫室內部：作物的多孔介質邊界條件，考慮作物的冠層阻力。
初始條件：
- 溫室內的初始溫度設定為20°C。

通過數值解這組方程，可以獲得在溫室高度為0.5米的橫截面上的風速和溫度的分布。

速度場方程：
$\frac{\partial u}{\partial x} + \frac{\partial v}{\partial y} + \frac{\partial w}{\partial z} = 0$
這里， $u$ , $v$ , 和 $w$ 分別是速度場在 x、y 和 z 方向上的分量。
Navier-Stokes 動量守恒方程（在穩態、不可壓縮的情況下）：
$\rho \left(u \frac{\partial u}{\partial x} + v \frac{\partial u}{\partial y} + w \frac{\partial u}{\partial z}\right) = -\frac{\partial p}{\partial x} + \mu \nabla^2 u + \rho g_x$
同樣的方程適用于 $v$ 和 $w$ 分量，其中 $g_x$ 是重力場在 x 方向上的分量。
熱傳導方程：
$\rho C_p \left(u \frac{\partial T}{\partial x} + v \frac{\partial T}{\partial y} + w \frac{\partial T}{\partial z}\right) = k \nabla^2 T + \rho H$
這里， $T$ 是溫度場。
初始條件：
- 溫室內初始時刻的速度和溫度分布。
附加約束：
- 適宜的風速范圍為0.3-1m/s。
- 適宜的溫度范圍為23-26°C。
- 考慮溫室結構，包括玻璃的導熱性、風扇的特性等。

數學模型的求解可以使用數值方法，如有限體積法或有限元法，通過在計算網格上離散化方程組，迭代求解以獲得溫室內溫度和風速的分布。

問題二

為了建立種植了作物的玻璃溫室內的溫度和風速分布的數學模型，我們需要考慮作物的冠層阻力以及溫室內的空氣流動。以下是數學模型的一般描述：

流體動力學方程：

質量守恒方程：

$\nabla \cdot \mathbf{v} = 0$

Navier-Stokes 動量守恒方程：

$\rho \left(\frac{\partial \mathbf{v}}{\partial t} + \mathbf{v} \cdot \nabla \mathbf{v}\right) = -\nabla p + \mu \nabla^2 \mathbf{v} + \rho \mathbf{g}$

其中， $\mathbf{v} = (u, v, w)$ 是速度場矢量， $p$ 是壓力， $\mu$ 是動力粘度， $\rho$ 是流體密度， $\mathbf{g} = (0, 0, -g)$ 是重力矢量。

熱傳導方程：

能量守恒方程：

$\rho C_p \left(\frac{\partial T}{\partial t} + \mathbf{v} \cdot \nabla T\right) = \nabla \cdot (k \nabla T) + \rho H$

其中， $T$ 是溫度場， $C_p$ 是比熱容， $k$ 是熱導率， $H$ 是熱源（可能包括作物的代謝產生的熱）。

作物模型：

作物的冠層阻力可以通過適當的參數化來考慮，例如引入一個與作物生長狀態相關的阻力項。

邊界條件：

速度邊界條件：
- 溫室風扇一側設置為速度入口條件，水平方向以平均速度吹出暖空氣。
- 溫室內其余表面設定為壁條件，防止空氣穿過溫室表面。
溫度邊界條件：
- 溫室風扇一側設置為溫度入口條件，以40°C的溫暖空氣吹出。
- 溫室內其余表面設定為壁條件。

初始條件：

溫室內的初始溫度設定為20°C。

兩個橫截面分布：

高度為0.5米的位置（作物冠層水平）：
- 分析在作物冠層水平位置的風速和溫度分布，以評估是否符合作物的生長要求。
高度為0.1米的位置（作物冠層內部）：
- 分析在作物冠層內部的風速和溫度分布，以更詳細地考慮作物生長的影響。

分析條件是否適宜作物生長：

通過模擬結果，比較溫室內兩個不同高度的橫截面上的溫度和風速分布與作物生長的要求，評估條件是否適宜。關注作物所需的溫度范圍和適宜的風速，以模擬結果在這些方面滿足作物生長的基本條件。

用python進行數值模擬：

import numpy as npimport matplotlib.pyplot as plt# 模擬參數
length = 10.0  # 溫室長度
width = 3.0    # 溫室寬度
height = 2.0   # 溫室高度dx = 0.1       # 空間步長
dt = 0.01      # 時間步長
time_steps = 100# 空間網格
x = np.arange(0, length, dx)
y = np.arange(0, width, dx)
z = np.arange(0, height, dx)# 初始化溫度場和速度場
T = np.ones((len(x), len(y), len(z))) * 20.0  # 初始溫度
U = np.zeros((len(x), len(y), len(z)))         # 初始速度# 模擬時間步進
for t in range(time_steps):# 在這里添加 Navier-Stokes 和能量守恒的數值解法# 更新速度場
# 更新速度場 - Navier-Stokes方程
for i in range(1, len(x) - 1):for j in range(1, len(y) - 1):for k in range(1, len(z) - 1):# Navier-Stokes 方程的簡化數值解法dUx_dt = -((U[i+1, j, k, 0] - U[i-1, j, k, 0]) / (2*dx)) * U[i, j, k, 0] - ((U[i, j+1, k, 1] - U[i, j-1, k, 1]) / (2*dx)) * U[i, j, k, 1] - ((U[i, j, k+1, 2] - U[i, j, k-1, 2]) / (2*dx)) * U[i, j, k, 2]dUy_dt = -((U[i, j+1, k, 0] - U[i, j-1, k, 0]) / (2*dx)) * U[i, j, k, 0] - ((U[i+1, j, k, 1] - U[i-1, j, k, 1]) / (2*dx)) * U[i, j, k, 1] - ((U[i, j, k+1, 2] - U[i, j, k-1, 2]) / (2*dx)) * U[i, j, k, 2]dUz_dt = -((U[i, j, k+1, 0] - U[i, j, k-1, 0]) / (2*dx)) * U[i, j, k, 0] - ((U[i, j+1, k, 1] - U[i, j-1, k, 1]) / (2*dx)) * U[i, j, k, 1] - ((U[i+1, j, k, 2] - U[i-1, j, k, 2]) / (2*dx)) * U[i, j, k, 2]U[i, j, k] += np.array([dUx_dt, dUy_dt, dUz_dt]) * dt# 更新溫度場 - 熱傳導方程
alpha = 0.1  # 熱擴散系數for i in range(1, len(x) - 1):for j in range(1, len(y) - 1):for k in range(1, len(z) - 1):# 熱傳導方程的簡化數值解法dT_dt = alpha * ( (T[i+1, j, k] - 2*T[i, j, k] + T[i-1, j, k]) / (dx**2) +(T[i, j+1, k] - 2*T[i, j, k] + T[i, j-1, k]) / (dy**2) +(T[i, j, k+1] - 2*T[i, j, k] + T[i, j, k-1]) / (dz**2) )T[i, j, k] += dT_dt * dt# 繪制結果
plt.imshow(T[:, :, int(len(z)/2)], cmap='hot', extent=[0, length, 0, width])
plt.colorbar(label='Temperature (°C)')
plt.quiver(x, y, U[:, :, int(len(z)/2)], np.zeros_like(y), scale=20, scale_units='xy', color='white')
plt.title('Temperature and Airflow in the Greenhouse')
plt.xlabel('Length (m)')
plt.ylabel('Width (m)')
plt.show()

問題三：

在給定的兩個情景中，我們要考慮溫室內的空氣流動和溫度分布的理論影響。為了理解這些影響，我們依照 Navier-Stokes 方程和能量守恒方程進行分析。

情景1：將暖空氣出口的速度從2 m/s增加到3 m/s

加強空氣對流，高速的暖空氣流動可能增加溫室內的空氣對流，從而影響整體溫度分布。

更有效的溫室加熱，提高暖空氣速度可能會提高空氣與溫室結構之間的熱交換效率，可能導致溫室內的溫度升高。

空氣流動的不均勻性，更高的速度可能引入空氣流動的不均勻性，導致一些區域溫度升高，而另一些區域溫度較低。

情景2：通過將溫室風扇從1.3m降至1m的位置進行調整：

改變空氣流動路徑，調整風扇位置可能會改變溫室內的空氣流動路徑，影響空氣對流和溫度分布。

作物冠層的影響，風扇位置的變化可能會直接影響作物冠層的溫度和空氣流動，對作物生長產生重要影響。

溫室底部溫度變化，調整風扇位置可能影響溫室底部的溫度分布，進而影響底部作物的生長環境。

具體的微調代碼為：

第一種情景 - 增加暖空氣出口速度

warm_air_speed = 3  # 將暖空氣出口速度從2 m/s#增加到3 m/s# 更新速度場
for i in range(1, len(x) - 1):for j in range(1, len(y) - 1):for k in range(1, len(z) - 1):# Navier-Stokes方程的簡化數值解法dUx_dt = -((U[i+1, j, k, 0] - U[i-1, j, k, 0]) / (2*dx)) * U[i, j, k, 0] - ((U[i, j+1, k, 1] - U[i, j-1, k, 1]) / (2*dx)) * U[i, j, k, 1] - ((U[i, j, k+1, 2] - U[i, j, k-1, 2]) / (2*dx)) * U[i, j, k, 2]dUy_dt = -((U[i, j+1, k, 0] - U[i, j-1, k, 0]) / (2*dx)) * U[i, j, k, 0] - ((U[i+1, j, k, 1] - U[i-1, j, k, 1]) / (2*dx)) * U[i, j, k, 1] - ((U[i, j, k+1, 2] - U[i, j, k-1, 2]) / (2*dx)) * U[i, j, k, 2]dUz_dt = -((U[i, j, k+1, 0] - U[i, j, k-1, 0]) / (2*dx)) * U[i, j, k, 0] - ((U[i, j+1, k, 1] - U[i, j-1, k, 1]) / (2*dx)) * U[i, j, k, 1] - ((U[i+1, j, k, 2] - U[i-1, j, k, 2]) / (2*dx)) * U[i, j, k, 2]U[i, j, k] += np.array([dUx_dt, dUy_dt, dUz_dt]) * dt * warm_air_speed / 2  # 調整速度# 更新溫度場 - 熱傳導方程
alpha = 0.1  # 熱擴散系數for i in range(1, len(x) - 1):for j in range(1, len(y) - 1):for k in range(1, len(z) - 1):# 熱傳導方程的簡化數值解法dT_dt = alpha * ( (T[i+1, j, k] - 2*T[i, j, k] + T[i-1, j, k]) / (dx**2) +(T[i, j+1, k] - 2*T[i, j, k] + T[i, j-1, k]) / (dy**2) +(T[i, j, k+1] - 2*T[i, j, k] + T[i, j, k-1]) / (dz**2) )T[i, j, k] += dT_dt * dt# 第二種情景 - 調整溫室風扇位置
fan_height = 1  # 將溫室風扇位置從1.3m降至1m# 更新速度場
for i in range(1, len(x) - 1):for j in range(1, len(y) - 1):for k in range(1, len(z) - 1):# Navier-Stokes方程的簡化數值解法dUx_dt = -((U[i+1, j, k, 0] - U[i-1, j, k, 0]) / (2*dx)) * U[i, j, k, 0] - ((U[i, j+1, k, 1] - U[i, j-1, k, 1]) / (2*dx)) * U[i, j, k, 1] - ((U[i, j, k+1, 2] - U[i, j, k-1, 2]) / (2*dx)) * U[i, j, k, 2]dUy_dt = -((U[i, j+1, k, 0] - U[i, j-1, k, 0]) / (2*dx)) * U[i, j, k, 0] - ((U[i+1, j, k, 1] - U[i-1, j, k, 1]) / (2*dx)) * U[i, j, k, 1] - ((U[i, j, k+1, 2] - U[i, j, k-1, 2]) / (2*dx)) * U[i, j, k, 2]dUz_dt = -((U[i, j, k+1, 0] - U[i, j, k-1, 0]) / (2*dx)) * U[i, j, k, 0] -