在 Lanczos 算法中，“將得到的特征向量映射回原始空間（即乘以V）得到的近似特征向量” 這一步，通常是指在三對角矩陣（T）的特征向量求解完成后，將其轉換回原始矩陣（A）的特征向量。具體實現步驟如下：

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實現步驟

1. Lanczos 過程：
   通過 Lanczos 迭代，你會得到一個三對角矩陣 $T_k$（大小為 $k\times k$）和一個正交矩陣$V_k$（大小為 $n\times k$），其中 $V_k$ 的列是 Lanczos 過程生成的正交基向量。

2. 求解三對角矩陣的特征向量：
   對 $T_k$ 進行特征分解，得到其特征值 ${\lambda }_i$ 和對應的特征向量 $s_i$（即 $T_k{s}_i={\lambda }_i{s}_i$）。

3. 映射回原始空間：
   將 $T_k$ 的特征向量 $s_i$ 映射回原始空間，得到原始矩陣 $A$ 的近似特征向量：
   $$q_i=V_k{s}_i$$
   這里的 $q_i$ 就是原始矩陣 $A$ 的近似特征向量。

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數學原理說明

這一步的數學基礎在于 Lanczos 算法建立的近似關系：
$$A\approx V_k{T}_k{V}_k^T$$

當我們對 $T_k$ 進行特征分解 $T_k=S\Lambda S^T$ 時，代入上式得到：
$$A\approx V_{k}S\Lambda S^T{V}_k^T=(V_{k}S)\Lambda (V_{k}S{)}^T$$

這說明 $V_{k}S$ 的列向量（即 Ritz 向量）近似是 $A$ 的正交特征向量，對應的特征值就是 $\Lambda$ 中的特征值。

在代碼中的實現

在您的代碼中，這一步體現在：

ritz_vectors = (W.T @ Q[:, :num_ritz_vectors]).T

其中：

• W.T 對應 $V_k^T$（但需要注意存儲方式）
• Q 對應 $S$（T 的特征向量矩陣）
• Q[:, :num_ritz_vectors] 選取前 k 個特征向量
• 矩陣乘法實現映射：$V_k{s}_i$