二、完整Python代碼

import random
import mathdef rastrigin(x, y):"""二維Rastrigin函數（目標函數，需最小化）參數：x: 自變量xy: 自變量y返回：函數值f(x,y)"""return 20 + x**2 + y**2 - 10 * math.cos(2 * math.pi * x) - 10 * math.cos(2 * math.pi * y)def simulated_annealing(T0=100, alpha=0.9, L=100, T_end=1e-5):"""模擬退火算法實現（解決二維Rastrigin函數最小化問題）參數：T0: 初始溫度（默認100，越大探索越充分）alpha: 溫度衰減系數（默認0.9，0.8-0.95之間，越小降溫越快）L: 每個溫度下的迭代次數（默認100，越大搜索越充分）T_end: 停止溫度（默認1e-5，越小收斂越徹底）返回：best_solution: 全局最優解（x,y）best_value: 全局最優目標函數值"""# 1. 初始化當前解（隨機生成x,y ∈ [-5.12, 5.12]）x = random.uniform(-5.12, 5.12)y = random.uniform(-5.12, 5.12)current_sol = (x, y)  # 當前解（tuple）current_val = rastrigin(x, y)  # 當前解的目標函數值# 2. 初始化最好解（初始時最好解為當前解）best_sol = current_solbest_val = current_val# 3. 溫度循環（從高溫到低溫）T = T0  # 當前溫度while T > T_end:# 4. 每個溫度下的迭代（搜索當前溫度下的解空間）for _ in range(L):# a. 生成新解（在當前解附近隨機擾動，用正態分布，標準差與溫度相關）# 溫度越高，擾動越大（探索范圍廣）；溫度越低，擾動越小（聚焦局部）new_x = current_sol[0] + random.gauss(0, T**0.5)  # 正態分布擾動xnew_y = current_sol[1] + random.gauss(0, T**0.5)  # 正態分布擾動y# b. 截斷新解（確保x,y在定義域[-5.12, 5.12]內）new_x = max(min(new_x, 5.12), -5.12)new_y = max(min(new_y, 5.12), -5.12)new_sol = (new_x, new_y)  # 新解new_val = rastrigin(new_x, new_y)  # 新解的目標函數值# c. 計算目標函數差（新解 - 當前解）delta_f = new_val - current_val# d. Metropolis準則：判斷是否接受新解if delta_f <= 0:# 情況1：新解更好（目標函數值更小），直接接受current_sol = new_solcurrent_val = new_val# 更新最好解（如果新解比當前最好解更好）if new_val < best_val:best_sol = new_solbest_val = new_valelse:# 情況2：新解更差，以概率exp(-delta_f/T)接受prob = math.exp(-delta_f / T)  # 接受概率（溫度越高，概率越大）if random.random() < prob:  # 生成0-1隨機數，小于prob則接受current_sol = new_solcurrent_val = new_val# 5. 溫度衰減（指數衰減：T = alpha * T）T *= alpha# 6. 返回最好解和最好目標函數值return best_sol, best_valif __name__ == "__main__":# ---------------------- 參數設置（小白可調整） ----------------------T0 = 100      # 初始溫度（推薦值：50-200）alpha = 0.9   # 衰減系數（推薦值：0.8-0.95）L = 100       # 每個溫度下的迭代次數（推薦值：50-200）T_end = 1e-5  # 停止溫度（推薦值：1e-4-1e-6）# -------------------------------------------------------------------# 運行模擬退火算法best_sol, best_val = simulated_annealing(T0, alpha, L, T_end)# 輸出結果print("="*50)print("模擬退火算法求解二維Rastrigin函數最小值結果：")print(f"全局最優解（x, y）：({best_sol[0]:.4f}, {best_sol[1]:.4f})")print(f"全局最優目標函數值：{best_val:.4f}")print(f"理論全局最小值：0（對應解(0,0)）")print("="*50)

三、代碼使用說明

1.環境準備

安裝Python（推薦3.7及以上版本，下載地址：https://www.python.org/downloads/）。

無需額外安裝第三方庫（代碼使用Python標準庫random和math）。

2.運行代碼

將代碼保存為sa_rastrigin.py（或任意文件名）。

打開命令行（Windows：Win+R輸入cmd；Mac：Launchpad搜索終端），進入代碼所在目錄，運行：

Python?sa_rastrigin.py

3.參數調整說明（小白重點）

代碼中的T0（初始溫度）、alpha（衰減系數）、L（每個溫度下的迭代次數）是核心可調參數，影響算法性能：

初始溫度T0：

越大：算法初期探索范圍越廣（敢接受差解），越不容易陷入局部最優，但計算時間越長。

推薦值：50-200（比如T0=100）。

衰減系數alpha：

越小：溫度下降越快（比如alpha=0.8，10次迭代后溫度從100降到100*0.8^10≈10.7），計算時間短，但可能提前收斂到局部最優。

越大：溫度下降越慢（比如alpha=0.95，10次迭代后溫度≈59.8），探索更充分，但計算時間長。

推薦值：0.8-0.95（比如alpha=0.9）。

每個溫度下的迭代次數L：

越大：每個溫度下搜索越充分（比如L=200，每個溫度下嘗試200次新解），越可能找到更好的解，但計算時間越長。

推薦值：50-200（比如L=100）。

4.結果解釋

運行代碼后，會輸出類似以下結果（因隨機種子不同，結果略有差異）：

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模擬退火算法求解二維Rastrigin函數最小值結果：
全局最優解（x, y）：(0.0012, -0.0008)
全局最優目標函數值：0.0002
理論全局最小值：0（對應解(0,0)）
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全局最優解：接近(0,0)（理論全局最優解）。

全局最優目標函數值：接近0（理論全局最小值）。

四、拓展建議（小白進階）

可視化結果：可以用matplotlib庫繪制Rastrigin函數圖像和算法搜索路徑，更直觀看到算法如何從“亂撞”到“收斂”。

解決其他問題：將rastrigin函數替換為其他優化問題的目標函數（比如TSP的總距離、背包問題的總價值），即可用該代碼解決其他優化問題（需調整新解生成方式，比如TSP用交換城市位置）。

通過本案例，小白可以掌握模擬退火算法的核心邏輯（Metropolis準則、溫度衰減）和代碼實現，并能調整參數解決實際優化問題。