講基于優化的 IMU 與視覺信息融合

視覺 SLAM 里的 Bundle Adjustment 問題

最小二乘基礎概念

迭代下降法求解：下降法

最速下降法和牛頓法

阻尼法

非線性最小二乘

Gauss-Newton 和 LM

魯棒核函數的實現

VIO 殘差函數的構建

視覺重投影誤差

IMU 測量值積分

狀態誤差線性遞推公式的推導

基于誤差隨時間變化的遞推方程

視覺 SLAM 里的 Bundle Adjustment 問題

? 狀態量初始值：特征點的三維坐標，

相機的位姿。

? 系統測量值：特征點在不同圖像上的

圖像坐標。

問題：如何估計狀態量的最優值？

解決方式

構建誤差函數，利用最小二乘得到狀態量

的最優估計

最小二乘基礎概念

找到一個 n 維的變量 x ? ∈ R n ，使得損失函數 F ( x ) 取局部最小值：

F ( x ) = 1 2 ∑ i =1 m ( f i ( x )) 2

其中 f i 是殘差函數，比如測量值和預測值之間的差，且有 m ≥ n 。局

部最小值指對任意 ∥ x ? x ? ∥ < δ 有 F ( x ? ) ≤ F ( x )

損失函數泰勒展開

假設損失函數 F ( x ) 是可導并且平滑的，因此，二階泰勒展開：

F ( x + ? x ) = F ( x ) + J ? x + 1 2 ? x ? H ? x + O ( ∥ ? x ∥ 3 ) (2)

其中 J 和 H 分別為損失函數 F 對變量 x 的一階導和二階導矩陣

損失函數泰勒展開性質

忽略泰勒展開的高階項，損失函數變成了二次函數，可以輕易得到如

下性質：

? 如果在點 x s 處有導數為 0 ，則稱這個點為穩定點。

? 在點 x s 處對應的 Hessian 為 H ：

? 如果是正定矩陣，即它的特征值都大于 0 ，則在 x s 處有 F ( x ) 為

局部最小值 ;

? 如果是負定矩陣，即它的特征值都小于 0 ，則在 x s 處有 F ( x ) 為

局部最大值 ;

? 如果是不定矩陣，即它的特征值大于 0 也有小于 0 的，則 x s 處

為鞍點。

迭代下降法求解：下降法

迭代法初衷

找一個下降方向使損失函數隨 x 的迭代逐漸減小，直到 x 收斂到 x ? ：

F ( x k +1 ) < F ( x k )

分兩步：第一，找下降方向單位向量 d ，第二，確定下降步長 α .

假設 α 足夠小，我們可以對損失函數 F ( x ) 進行一階泰勒展開：

F ( x + α d ) ≈ F ( x ) + α Jd

只需尋找下降方向，滿足：

Jd < 0

通過 line search 方法找到下降的步長： α ? = argmin α> 0 { F ( x + α d ) }

最速下降法和牛頓法

最速下降法 : 適用于迭代的開始階段

從下降方向的條件可知： Jd = ∥ J ∥ cos θ ， θ 表示下降方向和梯度方向

的夾角。當 θ = π ，有

d = ? J ? ∥ J ∥

即 梯度的負方向 為最速下降方向。缺點：最優值附近震蕩，收斂慢

牛頓法：適用于最優值附近

在局部最優點 x ? 附近，如果 x + ? x 是最優解，則損失函數對

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