一、源碼

這段代碼實現了一個高精度的正弦函數計算核心（kernel sin function），用于計算在區間約[-π/4, π/4]內的正弦值。

// origin: FreeBSD /usr/src/lib/msun/src/k_sin.c
//
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// software is freely granted, provided that this notice
// is preserved.
// ====================================================const S1: f64 = -1.66666666666666324348e-01; /* 0xBFC55555, 0x55555549 */
const S2: f64 = 8.33333333332248946124e-03; /* 0x3F811111, 0x1110F8A6 */
const S3: f64 = -1.98412698298579493134e-04; /* 0xBF2A01A0, 0x19C161D5 */
const S4: f64 = 2.75573137070700676789e-06; /* 0x3EC71DE3, 0x57B1FE7D */
const S5: f64 = -2.50507602534068634195e-08; /* 0xBE5AE5E6, 0x8A2B9CEB */
const S6: f64 = 1.58969099521155010221e-10; /* 0x3DE5D93A, 0x5ACFD57C */// kernel sin function on ~[-pi/4, pi/4] (except on -0), pi/4 ~ 0.7854
// Input x is assumed to be bounded by ~pi/4 in magnitude.
// Input y is the tail of x.
// Input iy indicates whether y is 0. (if iy=0, y assume to be 0).
//
// Algorithm
//      1. Since sin(-x) = -sin(x), we need only to consider positive x.
//      2. Callers must return sin(-0) = -0 without calling here since our
//         odd polynomial is not evaluated in a way that preserves -0.
//         Callers may do the optimization sin(x) ~ x for tiny x.
//      3. sin(x) is approximated by a polynomial of degree 13 on
//         [0,pi/4]
//                               3            13
//              sin(x) ~ x + S1*x + ... + S6*x
//         where
//
//      |sin(x)         2     4     6     8     10     12  |     -58
//      |----- - (1+S1*x +S2*x +S3*x +S4*x +S5*x  +S6*x   )| <= 2
//      |  x                                               |
//
//      4. sin(x+y) = sin(x) + sin'(x')*y
//                  ~ sin(x) + (1-x*x/2)*y
//         For better accuracy, let
//                   3      2      2      2      2
//              r = x *(S2+x *(S3+x *(S4+x *(S5+x *S6))))
//         then                   3    2
//              sin(x) = x + (S1*x + (x *(r-y/2)+y))
#[cfg_attr(all(test, assert_no_panic), no_panic::no_panic)]
pub(crate) fn k_sin(x: f64, y: f64, iy: i32) -> f64 {let z = x * x;let w = z * z;let r = S2 + z * (S3 + z * S4) + z * w * (S5 + z * S6);let v = z * x;if iy == 0 { x + v * (S1 + z * r) } else { x - ((z * (0.5 * y - v * r) - y) - v * S1) }
}

二、源碼分析

常量定義

代碼開頭定義了一系列常量S1到S6，這些是泰勒級數展開的系數，用于多項式近似計算正弦函數。每個常量后面都有十六進制表示，這是IEEE 754浮點數的二進制表示。
函數參數

• x: 輸入值，假定其絕對值小于約π/4

• y: x的尾部（即x的高精度表示中，除去主要部分后的剩余部分）

• iy: 標志位，指示y是否為0

算法說明

1. 對稱性處理：利用sin(-x) = -sin(x)的性質，只需處理正數x的情況。

2. 特殊值處理：調用者需要自己處理sin(-0) = -0的情況，以及非常小的x（sin(x) ≈ x）。

3. 多項式近似：在[0, π/4]區間內，使用13次多項式近似sin(x)，形式為：

sin(x) ≈ x + S1*x3 + ... + S6*x13

近似精度非常高，誤差不超過2???。

4. 尾部修正：當y非零時，使用sin(x+y) ≈ sin(x) + (1 - x2/2)*y進行修正，但為了更高精度，使用了更復雜的修正公式。

代碼實現

1. 計算z = x2和w = z2（即x?）。

2. 計算多項式r，這是高階項的組合

r = S2 + z*(S3 + z*S4) + z*w*(S5 + z*S6)

3. 計算v = z*x（即x3）。

4. 根據iy的值選擇不同的計算路徑：

   • 如果iy == 0（y為零），則計算：

x + v*(S1 + z*r)

這對應于多項式近似的主要部分。

• 如果iy != 0（y非零），則計算更復雜的表達式，包括對y的修正：

x - ((z*(0.5*y - v*r) - y) - v*S1)

精度保證

這個實現使用了高度優化的多項式近似，保證了在目標區間內極高的計算精度（誤差不超過2???），同時保持了良好的性能。

注意事項

• 調用者需要確保輸入x在[-π/4, π/4]范圍內。

• 特殊值（如-0.0）需要由調用者處理。

• 對于非常小的x，調用者可以直接使用x近似sin(x)。

這段代碼是數學庫中的底層函數，通常不會被直接調用，而是由更上層的正弦函數封裝后提供給用戶。