解析法與幾何法在阻尼比設計中的詳細對比

一、解析法：基于數學方程的定量求解

核心思想：通過特征方程與根軌跡條件建立代數關系，直接求解滿足阻尼比要求的系統參數。

1. 適用場景

• 二階系統或可簡化為二階系統的高階系統（主導極點主導）。
• 需精確求解阻尼比與系統參數（如增益K）的定量關系。

2. 具體步驟（以二階系統為例）

例：已知開環傳遞函數 $G(s)H(s)=\frac{K}{s(s+a)}$，求阻尼比 ${\zeta }_d$ 對應的K值。

1. 建立閉環特征方程
   閉環傳遞函數為 $\frac{G(s)}{1+G(s)H(s)}=\frac{K}{s^2+as+K}$，特征方程為：
   $$s^2+as+K=0$$
2. 關聯阻尼比與特征方程系數
   二階系統標準形式為 $s^2+2\zeta {\omega }_{n}s+{\omega }_n^2=0$，對比得：
   $$2\zeta {\omega }_n=a,{\omega }_n^2=K$$
   解得阻尼比 $\zeta =\frac{a}{2\sqrt{K}}$，反推目標阻尼比 ${\zeta }_d$ 對應的增益：
   $$K={\left(\frac{a}{2{\zeta }_d}\right)}^2$$
3. 驗證根軌跡上的解
   根軌跡需滿足相角條件：對于閉環極點 $s=?\sigma \pm j\omega$，有
   $$\angle (s)+\angle (s+a)=180^{°}+360^{°}?k$$
   代入 $\sigma ={\zeta }_d{\omega }_n$，$\omega ={\omega }_n\sqrt{1?{\zeta }_d^2}$，驗證相角和是否滿足條件（二階系統天然滿足，因根軌跡為圓）。

3. 高階系統拓展

• 步驟1：確定主導極點對（設為 $s=?\sigma \pm j\omega$），忽略非主導極點（實部絕對值 > 10倍主導極點實部）。
• 步驟2：將高階系統近似為二階系統，按上述方法求解 ${\zeta }_d$ 與K的關系。
• 步驟3：用幅值條件 $|G(s)H(s)|=1$ 驗證主導極點是否在根軌跡上：
  $$K=\frac{|s(s+a_1)(s+a_2)?|}{|(s+b_1)(s+b_2)?|}(\text{分子為開環極點乘積，分母為開環零點乘積})$$

4. 優缺點

• 優點：計算精確，適合簡單系統的定量分析。
• 缺點：高階系統求解復雜，需忽略非主導極點，可能存在誤差。

二、幾何法：基于根軌跡圖形的直觀設計

核心思想：通過繪制等阻尼比線與根軌跡的交點，直觀確定滿足阻尼比要求的極點位置。

1. 適用場景

• 任何階系統，尤其適合需直觀理解零極點對阻尼比影響的場景。
• 設計中需調整零極點位置以優化阻尼比的工程場景。

2. 具體步驟

例：設計三階系統 $G(s)H(s)=\frac{K}{s(s+1)(s+3)}$，要求 ${\zeta }_d=0.6$

1. 繪制開環零極點分布圖
   • 開環極點：0、-1、-3，無零點。
   • 用根軌跡法則繪制K從0→∞的軌跡（起點為極點，終點為無窮遠，漸近線角度 $?=\frac{(2k+1)\pi }{n?m}=60^{°},180^{°},300^{°}$）。
2. 計算等阻尼比線角度
   $$\theta =\arccos {\zeta }_d=\arccos 0.6\approx 53.13^{°}$$
   在復平面繪制過原點、與負實軸成53.13°的射線（等阻尼比線）。
3. 尋找根軌跡與等阻尼比線的交點
   • 利用相角條件驗證交點：設交點為 $s=?\sigma +j\omega$，則
     $$\angle (s)+\angle (s+1)+\angle (s+3)=180^{°}+360^{°}?k$$
     代入 $\sigma ={\zeta }_d{\omega }_n=0.6{\omega }_n$，$\omega ={\omega }_n\sqrt{1?0.6^2}=0.8{\omega }_n$，解得 ${\omega }_n\approx 1.3$，即 $s=?0.78\pm j1.04$。
4. 計算交點處的增益K
   由幅值條件：
   $$K=|s(s+1)(s+3)|=\sqrt{0.78^2+1.04^2}?\sqrt{0.22^2+1.04^2}?\sqrt{2.22^2+1.04^2}\approx 1.3?1.06?2.45\approx 3.38$$
5. 驗證非主導極點影響
   三階系統另一極點為 $s\approx ?3.44$（實部絕對值 $3.44>10\times 0.78=7.8$？不，3.44 < 7.8，需考慮其影響），此時系統響應需通過時域仿真驗證，因非主導極點可能使實際阻尼比略低于設計值。

3. 零極點調整技巧（幾何直觀）

• 若阻尼比不足（$\zeta$小）：
  • 增加左半平面零點（如 $s=?b,b>0$），吸引根軌跡左移，減小等阻尼比線夾角 $\theta$，提升 $\zeta$。
  • 例：在上述三階系統中增加零點 $s=?2$，根軌跡向左彎曲，相同K下交點的 $\theta$ 減小，$\zeta$ 增大。
• 若阻尼比過大（響應過慢）：
  • 增加右半平面極點（但會破壞穩定性，實際通過減少左半平面極點或右移零點實現）。

4. 優缺點

• 優點：直觀形象，便于工程調試，可直接觀察零極點調整對阻尼比的影響。
• 缺點：交點求解需迭代計算，高階系統作圖復雜，依賴經驗判斷非主導極點影響。

三、解析法與幾何法對比表格

對比維度	解析法	幾何法
核心工具	特征方程、代數運算	根軌跡圖、等阻尼比線
適用系統	二階系統或可簡化的高階系統	任意階系統，尤其高階復雜系統
設計精度	精確求解，無圖形誤差	依賴作圖精度，可能存在視覺誤差
工程靈活性	需已知系統模型，參數調整困難	可直觀調整零極點位置，靈活性高
計算復雜度	二階系統簡單，高階系統復雜	作圖與交點計算需經驗，復雜度中等
典型應用	理論分析、參數優化公式推導	系統校正設計、零極點配置可視化

四、工程實踐建議

1. 初步設計：先用幾何法在根軌跡圖上定位目標極點，確定零極點調整方向。
2. 精確計算：用解析法求解具體增益K或零極點位置，避免作圖誤差。
3. 仿真驗證：高階系統必須通過時域仿真（如MATLAB的step()函數）驗證實際阻尼比，因非主導極點和零點可能改變響應特性。
4. 迭代優化：若仿真結果不滿足要求，調整零極點位置后重復上述步驟，直至阻尼比與動態性能達標。

通過解析法與幾何法的結合，可將阻尼比的設計從抽象的數學推導轉化為直觀的圖形操作，同時保證工程實現的精確性與可操作性。