例

求滿足 $P(x_j)=f(x_j)$ ($j=0,1,2$) 及 $P^{\prime }(x_1)=f^{\prime }(x_1)$ 的插值多項式及其余項表達式。

解：

由給定條件，可確定次數不超過3的插值多項式。此多項式通過點$(x_0,f(x_0)),(x_1,f(x_1))$及$(x_2,f(x_2))$，故形式為
$P(x)=f(x_0)+f[x_0,x_1](x?x_0)+f[x_0,x_1,x_2](x?x_0)(x?x_1)+A(x?x_0)(x?x_1)(x?x_2)$,

其中A為待定常數，可由條件$P^{\prime }(x_1)=f^{\prime }(x_1)$確定

$$A=\frac{f^{\prime }(x_1)?f[x_0,x_1]?(x_1?x_0)f[x_0,x_1,x_2]}{(x_1?x_0)(x_1?x_2)}$$

為求出余項$R(x)=f(x)?P(x)$的表達式,設
$$R(x)=f(x)?P(x)=K(x)(x?x_0{)}^2(x?x_1{)}^2(x?x_2)$$

其中$K(x)$為待定函數。

構造
$$\phi (t)=f(t)?P(t)?K(x)(t?x_0{)}^2(t?x_1{)}^2(t?x_2)$$

顯然$\phi (x_j)=0(j=0,1,2)$，且${\phi }^{\prime }(x_1)=0,\phi (x)=0$，故$\phi (t)$在$(a,b)$內有五個零點(重根算兩個)。

由Rolle 定理，${\phi }^{(4)}(t)$在$(a,b)$內至少有一個零點$\xi$，故
$${\phi }^{(4)}(\xi )=f^{(4)}(\xi )?4!K(x)=0$$

于是$K(x)=f^{(4)}(\xi )/4!$，余項表達式為
$$R(x)=f^{(4)}(\xi )(x?x_0)(x?x_1{)}^2(x?x_2)/4!$$
其中$\xi$位于$x_0,x_1,x_2$和$x$所界定的范圍內.