【小知識酷】《Matlab》考點精簡

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第1章 matlab基礎知識

第1節 輸出函數

1. 使用disp函數

disp函數可用于輸出變量的值或者字符串。

% 輸出字符串
disp('Hello, MATLAB!'); %顯示Hello, MATLAB!% 輸出變量
x = 10;
disp(x); %顯示10% 輸出數組元素
A = [10, 20, 30, 40, 50];
disp(A); %顯示10    20    30    40    50

2. 使用fprintf函數

fprintf函數能按照指定的格式輸出數據，這和C語言里的printf函數類似。

% 輸出格式化的字符串和變量
x = 3.14159;
fprintf('The value of x is %.2f\n', x); %保留2位小數，并四舍五入，顯示3.14

3. 使用sprintf函數

sprintf函數和fprintf函數類似，不過它是把格式化后的字符串返回，而非直接輸出。

% 將格式化后的字符串賦值給變量
x = 2.71858;
str = sprintf('The value of x is %.3f', x); 
disp(str); %保留3位小數，并四舍五入，顯示2.719

4. 直接在命令窗口輸入變量名

在命令窗口直接輸入變量名，回車后就能顯示變量的值。

y = [1, 2, 3, 4, 5];
y

第2節 input輸入函數

在MATLAB中，input函數用于從用戶處獲取輸入，它有多種使用方式，下面為你詳細介紹其語法和示例。

基本語法

1. x = input(prompt)

這種語法會在命令窗口顯示prompt提示信息，然后等待用戶輸入內容，最后將用戶輸入的內容作為結果返回給變量x。如果用戶輸入的是有效的MATLAB表達式，MATLAB會計算該表達式的值并返回；如果輸入的是字符串，需要用單引號將其括起來。

x = input('請輸入一個數字: ');
disp(['你輸入的數字是: ', num2str(x)]);

在這個示例里，運行代碼后命令窗口會顯示請輸入一個數字: ，等待用戶輸入。若用戶輸入5，程序會把這個數字賦值給變量x，并在后續顯示出你輸入的數字是: 5。

2. x = input(prompt,'s')

在這種形式中，'s'參數表明將用戶輸入的內容按字符串形式處理，無論用戶輸入什么，都會直接作為字符串返回給變量x，而不會對其進行表達式計算。

name = input('請輸入你的名字: ','s');
disp(['你輸入的名字是: ', name]);

運行此代碼，命令窗口會顯示請輸入你的名字: ，當用戶輸入張三時，程序會把張三作為字符串賦值給變量name，并顯示你輸入的名字是: 張三。

輸入驗證和錯誤處理

在實際使用中，為保證輸入的有效性，可能需要對用戶輸入進行驗證和錯誤處理。以下是一個簡單的示例，確保用戶輸入的是正數：

while truenum = input('請輸入一個正數: ');if num > 0disp(['你輸入的正數是: ', num2str(num)]);break;elsedisp('輸入無效，請輸入一個正數。');end
end

這個代碼會持續提示用戶輸入正數，若用戶輸入的不是正數，會顯示錯誤提示并要求重新輸入，直到輸入有效的正數為止。

綜上所述，input函數是MATLAB中獲取用戶輸入的重要工具，可根據具體需求選擇合適的語法形式。

第3節 算術運算

在MATLAB里，*與.*、/與./是用途不同的運算符，下面為你詳細講解它們的區別以及MATLAB里的其他常見運算符。

*和.*的區別

• *(矩陣乘法運算符)：用于執行矩陣乘法，需遵循矩陣乘法規則，即第一個矩陣的列數要和第二個矩陣的行數相等。
• .*(點乘運算符)：用于數組對應元素相乘，要求參與運算的兩個數組大小相同，會把兩個數組對應位置的元素相乘。

以下是示例代碼：

% 定義矩陣 A 和 B
A = [1, 2; 3, 4];
B = [5, 6; 7, 8];% 矩陣乘法
C = A * B;
disp('矩陣乘法 A * B 的結果：');
disp(C);% 數組點乘
D = A .* B;
disp('數組點乘 A .* B 的結果：');
disp(D);

輸出結果：

矩陣乘法 A * B 的結果：19    2243    50
數組點乘 A .* B 的結果：5    1221    32

/和./的區別

• /(矩陣右除運算符)：用于求解線性方程組 X * B = A 的解X，相當于 X = A / B = A * inv(B)，不過MATLAB會采用更高效的算法避免直接求逆。
• ./(點除運算符)：用于數組對應元素相除，要求參與運算的兩個數組大小相同，會用第一個數組的每個元素除以第二個數組對應位置的元素。

以下是示例代碼：

% 定義矩陣 A 和 B
A = [1, 2; 3, 4];
B = [5, 6; 7, 8];% 矩陣右除
C = A / B;
disp('矩陣右除 A / B 的結果：');
disp(C);% 數組點除
D = A ./ B;
disp('數組點除 A ./ B 的結果：');
disp(D);

輸出結果：

矩陣右除 A / B 的結果：-3.0000   -2.00004.0000    3.0000
數組點除 A ./ B 的結果：0.2000    0.33330.4286    0.5000

MATLAB中的其他常見運算符

算術運算符

• +：用于標量、數組和矩陣的加法運算。
• -：用于標量、數組和矩陣的減法運算。
• ^：矩陣冪運算，用于計算矩陣的冪。
• .^：點冪運算符，用于計算數組每個元素的冪。

關系運算符

• ==：判斷是否相等，返回邏輯數組。
• ~=：判斷是否不相等，返回邏輯數組。
• >：判斷是否大于，返回邏輯數組。
• <：判斷是否小于，返回邏輯數組。
• >=：判斷是否大于等于，返回邏輯數組。
• <=：判斷是否小于等于，返回邏輯數組。

邏輯運算符

• &：邏輯與運算，對兩個邏輯數組或標量逐元素進行邏輯與操作。
• |：邏輯或運算，對兩個邏輯數組或標量逐元素進行邏輯或操作。
• ~：邏輯非運算，對邏輯數組或標量逐元素進行邏輯非操作。
• &&：短路邏輯與，用于標量邏輯與運算，若第一個操作數為false，則不計算第二個操作數。
• ||：短路邏輯或，用于標量邏輯或運算，若第一個操作數為true，則不計算第二個操作數。

其他運算符

• :：冒號運算符，用于創建向量、指定索引范圍等。
• '：矩陣轉置運算符，用于求矩陣的轉置。
• .：結構體成員訪問運算符，用于訪問結構體的成員。

第5節 常用函數

fix、power、abs

第2章 matlab程序設計

第1節 if判斷語句

在MATLAB里，if語句用于依據條件判斷來決定是否執行特定的代碼塊。它有多種形式，下面為你詳細介紹。

1. 基本的if語句

這種形式只有一個條件判斷，當條件為真時，執行對應的代碼塊。

x = 10;
if x > 5disp('x 大于 5');
end

在這個例子里，由于x的值是10，大于5，所以條件為真，會執行disp('x 大于 5');語句。

2. if - else語句

當條件為真時，執行if后面的代碼塊；當條件為假時，執行else后面的代碼塊。

x = 3;
if x > 5disp('x 大于 5');
elsedisp('x 小于或等于 5');
end

這里x的值是3，不大于5，條件為假，因此會執行disp('x 小于或等于 5');語句。

3. if - elseif - else語句

可以使用elseif來添加更多的條件判斷，當if的條件為假時，會依次判斷elseif的條件，若都不滿足，則執行else后面的代碼塊。

x = 0;
if x > 0disp('x 是正數');
elseif x < 0disp('x 是負數');
elsedisp('x 是零');
end

此例中x的值為0，不滿足x > 0和x < 0的條件，所以會執行disp('x 是零');語句。

4. 嵌套if語句

在if語句的代碼塊中還可以再嵌套if語句，以實現更復雜的條件判斷。

x = 10;
y = 5;
if x > 5if y > 3disp('x 大于 5 且 y 大于 3');end
end

在這個嵌套if語句里，首先判斷x > 5，條件為真，接著進入內層if語句，判斷y > 3，條件也為真，所以會執行disp('x 大于 5 且 y 大于 3');語句。

總結來說，if語句在MATLAB里是非常實用的條件控制結構，能依據不同的條件來執行不同的代碼邏輯。

【例題】計算分段函數P46

x=input('請輸入一個數:');
if x<0 y=abs(x);
elseif x<10y=sin(x)./(x+1);
elseif x<20y=pow(x,3);
else y=(3+2*x).*log(x);
end
disp(y);

第3節 不同類型的比較操作

在MATLAB中，==、~=、> 、< 、>= 、<= 分別用于不同類型的比較操作，下面為你詳細介紹它們的語法和使用示例：

1. ==(相等比較)

== 用于比較兩個值或數組的對應元素是否相等，返回一個邏輯數組(若輸入為數組)或一個邏輯標量(若輸入為標量)，相等的位置為 true(即 1)，不相等的位置為 false(即 0)。

% 標量比較
a = 5;
b = 5;
result1 = a == b;
disp(result1);% 數組比較
A = [1, 2, 3];
B = [1, 4, 3];
result2 = A == B;
disp(result2);

2. ~=(不等于比較)

~= 用于比較兩個值或數組的對應元素是否不相等，同樣返回一個邏輯數組或邏輯標量，不相等的位置為 true，相等的位置為 false。

% 標量比較
a = 5;
b = 6;
result3 = a ~= b;
disp(result3);% 數組比較
A = [1, 2, 3];
B = [1, 4, 3];
result4 = A ~= B;
disp(result4);

3. >=(大于等于比較)

>= 用于比較兩個值或數組的對應元素，判斷左邊的元素是否大于或等于右邊的元素，返回的邏輯數組或邏輯標量中，滿足條件的位置為 true，不滿足條件的位置為 false。

% 標量比較
a = 5;
b = 3;
result5 = a >= b;
disp(result5);% 數組比較
A = [1, 2, 3];
B = [1, 4, 3];
result6 = A >= B;
disp(result6);

這些比較運算符在MATLAB的條件判斷、數組篩選等操作中非常常用。例如，可以使用它們結合 if 語句來實現條件控制，或者結合邏輯索引來篩選數組中的元素。

第4節 switch語句

在MATLAB中，switch語句是一種條件控制結構，用于根據表達式的值來選擇執行不同的代碼塊，它可以替代多個嵌套的if-elseif-else語句，使代碼更加簡潔易讀。以下是switch語句的詳細語法和使用示例。

基本語法

switch expressioncase value1% 當 expression 的值等于 value1 時執行的代碼statements1case value2% 當 expression 的值等于 value2 時執行的代碼statements2...case valueN% 當 expression 的值等于 valueN 時執行的代碼statementsNotherwise% 當 expression 的值不等于任何一個 case 值時執行的代碼statements_otherwise
end

• expression：是一個表達式，其值將與各個case后面的值進行比較。
• case value：value可以是標量、向量或字符串，當expression的值與某個case后面的值相等時，就會執行該case下的代碼塊。
• otherwise：是可選的，當expression的值不等于任何一個case后面的值時，會執行otherwise下的代碼塊。

使用示例

示例1：根據數字選擇執行不同的操作

x = 2;
switch xcase 1disp('x 的值是 1');case 2disp('x 的值是 2');case 3disp('x 的值是 3');otherwisedisp('x 的值不是 1、2 或 3');
end

在這個例子中，x的值為2，所以會執行case 2下的代碼塊，輸出x 的值是 2。

示例2：使用向量作為case值

x = [1, 2];
y = [1, 2];
switch isequal(x, y)case truedisp('x 和 y 相等');case falsedisp('x 和 y 不相等');
end

這里使用isequal函數比較x和y是否相等，返回一個布爾值。根據這個布爾值，選擇執行相應的代碼塊。

示例3：處理多個值匹配的情況

x = 3;
switch xcase {1, 2}disp('x 的值是 1 或 2');case {3, 4}disp('x 的值是 3 或 4');otherwisedisp('x 的值不是 1、2、3 或 4');
end

在這個例子中，x的值為3，所以會執行case {3, 4}下的代碼塊，輸出x 的值是 3 或 4。

注意事項

• switch語句中的比較是嚴格相等的比較，即值和類型都要相同。
• 一旦某個case條件滿足，執行完該case下的代碼塊后，會跳出switch語句，不會繼續檢查后面的case條件。
• otherwise分支可以省略，如果省略且沒有匹配的case條件，則不會執行任何代碼。

for函數的使用

在MATLAB里，for循環是用來重復執行特定代碼塊的控制結構，可按照指定的次數或者遍歷數組元素來執行操作。下面詳細介紹for循環的常見使用方式。

1. 基于數值范圍的for循環

借助冒號運算符來指定循環變量的取值范圍，格式為for 循環變量 = 起始值:步長:終止值，若不指定步長，默認步長為1。

% 步長為1的情況
for i = 1:5fprintf('%d ',i);
end
fprintf("\n") %換行
% 指定步長為2的情況
for j = 1:2:10fprintf("%d ",j);
end%輸出如下：
1 2 3 4 5 
1 3 5 7 9

在第一個例子中，循環變量i從1開始，每次增加1，直到達到5，循環體中使用disp函數輸出i的值。

第二個例子里，循環變量j從1開始，步長為2，直到達到10。

2. 使用end關鍵字結束循環

在MATLAB里，for循環必須以end關鍵字結尾，以此來標識循環體的結束。若缺少end，會導致語法錯誤。

總結而言，for循環在MATLAB中是一種很有用的控制結構，能夠根據需求實現不同的循環邏輯。

3. 遍歷數組元素的for循環

for循環能直接遍歷數組的每個元素。

A = [10, 20, 30, 40, 50];
for element = Adisp(element);
end

這里的A是一個數組，循環變量element會依次取數組A中的每個元素，并將其輸出。

4. 嵌套for循環

可以在一個for循環內部嵌套另一個for循環，用于處理二維數組或者實現更復雜的邏輯。

for i = 1:3for j = 1:2result = i * j;fprintf('i = %d, j = %d, i * j = %d\n', i, j, result);end
end

在這個嵌套for循環中，外層循環控制i的值從1到3，內層循環控制j的值從1到2，每次循環都會計算i和j的乘積并輸出。

【例題1】對于三位數而言，若一個三位數的百位、十位、個位數字的立方和等于該數本身，那它就是水仙花數。輸出100~999之間的水仙花數

num=[];
for i=100:999g=mod(i,10);s=mod(fix(i/10),10);b=fix(i/100);sum = power(g,3)+power(s,3)+power(b,3);if sum==inum = [num,sum]; %存入結果end
end
disp(num); %輸出153   370   371   407

【例題2】若一個數等于它的各個真因子之和，則稱該數為完數，如6=1+2+3，所以6是完數。求[1,100]之間的全部完數。

for num=1:100 %1~100之間s=0;for i=1:num if num%i==0s = s + i; %將因子數相加if num==sfprintf('%d ',s);endendend
end

break和continue

在MATLAB中，break和continue都是用于控制循環流程的關鍵字，它們在循環結構(如for循環和while循環)中發揮著不同的作用，下面為你詳細介紹二者的區別。

1. break語句

break語句的主要作用是立即終止當前所在的循環，無論循環條件是否滿足，程序都會跳出該循環，繼續執行循環之后的代碼。

示例代碼

for i = 1:10if i == 5break;enddisp(i);
end
disp('循環已終止');

代碼解釋

在這個for循環中，當變量i的值等于5時，break語句會被執行，循環會立即終止，不再執行后續的循環迭代。所以，代碼只會輸出1到4的數字，然后輸出循環已終止。

2. continue語句

continue語句用于跳過當前循環迭代中continue語句之后的代碼，直接進入下一次循環迭代。也就是說，它會忽略本次循環剩余的代碼，但是循環會繼續執行，直到循環條件不再滿足。

示例代碼

for i = 1:10if i == 5continue;enddisp(i);
end
disp('循環已結束');

代碼解釋

在這個for循環中，當變量i的值等于5時，continue語句會被執行，disp(i);語句會被跳過，直接進入下一次循環迭代。所以，代碼會輸出除5之外的1到10的數字，最后輸出循環已結束。

總結

• break：終止整個循環，跳出循環體，不再執行后續的循環迭代。
• continue：跳過當前循環迭代中continue語句之后的代碼，直接進入下一次循環迭代，循環會繼續執行。

在實際編程中，你可以根據具體的需求選擇使用break或continue來控制循環的執行流程。

章節練習

第8章 符號計算

factor因式分解

在MATLAB中，factor 函數主要用于對整數進行分解質因數操作，下面為你詳細介紹其語法及使用示例。

基本語法

F = factor(X)

• 輸入參數：
  • X：可以是一個標量整數、整數向量或者整數矩陣。當 X 是向量或矩陣時，factor 函數會對其中的每個元素分別進行質因數分解。
• 輸出參數：
  • F：如果 X 是標量整數，F 是一個包含 X 的質因數的向量，這些質因數按升序排列。如果 X 是向量或矩陣，F 是一個元胞數組，其中每個元胞對應 X 中相應位置元素的質因數分解結果。

使用示例

對標量整數進行質因數分解

X = 24;
F = factor(X);
disp(F);

在這個例子中，factor 函數會將整數 24 分解為質因數，結果存儲在向量 F 中。運行代碼后，你會看到輸出為 2 2 2 3，這表明 24 = 2 × 2 × 2 × 3。

對整數向量進行質因數分解

X = [12, 15];
F = factor(X);
disp(F);

當輸入是一個向量時，factor 函數會對向量中的每個元素分別進行質因數分解，并將結果存儲在元胞數組 F 中。對于這個例子，F{1} 是 12 的質因數分解結果 2 2 3，F{2} 是 15 的質因數分解結果 3 5。

對整數矩陣進行質因數分解

X = [16, 18; 20, 22];
F = factor(X);
disp(F);

這里輸入是一個矩陣，factor 函數會對矩陣中的每個元素進行質因數分解，結果存儲在元胞數組 F 中。F 中的每個元胞對應矩陣 X 中相應位置元素的質因數分解結果。

需要注意的是，factor 函數的輸入必須是整數。如果輸入為非整數，MATLAB 會給出錯誤提示。

% 1、定義xyz
syms x y z
% 2、factor(公式)
f1 = factor(x^9 - 1);
disp('1) 分解結果為：');
disp(f1);

limit求極限

在MATLAB里，limit函數主要用于計算符號表達式的極限。下面為你詳細介紹它的語法和使用示例。

基本語法

1. limit(f, x, a)

此語法用于計算符號表達式f在變量x趨近于a時的極限。

syms x;
f = (x^2 - 1)/(x - 1);
a = 1;
L = limit(f, x, a);
disp(L);

在這個例子中，我們先定義了符號變量x，接著定義了符號表達式f，最后計算當x趨近于1時f的極限。運行代碼后，會輸出極限值2。

2. limit(f, a)

若符號表達式f中只有一個符號變量，那么可以省略變量名，直接使用此語法計算該符號表達式在該變量趨近于a時的極限。

syms t;
f = sin(t)/t;
a = 0;
L = limit(f, a);
disp(L);

這里定義了符號變量t和符號表達式f，然后計算當t趨近于0時f的極限，輸出結果為1。

3. limit(f, x, a, 'right')

此語法用于計算符號表達式f在變量x從右側趨近于a時的極限(右極限)。

syms x;
f = 1/x;
a = 0;
L = limit(f, x, a, 'right');
disp(L);

運行該代碼后，會得到f在x從右側趨近于0時的極限，結果為Inf(正無窮)。

4. limit(f, x, a, 'left')

此語法用于計算符號表達式f在變量x從左側趨近于a時的極限(左極限)。

syms x;
f = 1/x;
a = 0;
L = limit(f, x, a, 'left');
disp(L);

運行代碼后，會得到f在x從左側趨近于0時的極限，結果為-Inf(負無窮)。

注意事項

• 要使用limit函數，需要先使用syms函數定義符號變量。
• 當極限不存在時，limit函數可能返回NaN(非數字)或者給出一個未定義的結果。

syms x
% (1)lim (x→4) (x^2 -6x +8)/(x^2 -5x +4)
limit1 = limit((x^2 - 6*x + 8)/(x^2 -5*x + 4), x, 4);
disp('(1)極限為：');
disp(limit1);
% (2)lim (x→0?) |x|/x
limit2 = limit(abs(x)/x, x, 0, 'left');
disp('(2)極限為：');
disp(limit2);

diff求導

在MATLAB中，diff函數主要用于計算數值差分，而對于符號表達式求導，需要使用diff函數結合符號工具箱。下面分別介紹數值差分和符號求導的語法及使用示例。

1. 數值差分

diff函數用于計算向量或矩陣的差分。

語法

Y = diff(X)
Y = diff(X,n)
Y = diff(X,n,dim)

• 參數說明：
  • X：輸入的向量或矩陣。
  • n：可選參數，指定差分的階數，默認為1。
  • dim：可選參數，指定沿哪個維度進行差分，對于向量，該參數可忽略；對于矩陣，dim = 1 表示沿列方向差分，dim = 2 表示沿行方向差分。
• 示例：

% 向量差分
x = [1, 3, 6, 10];
dy = diff(x);
disp(dy);% 二階差分
d2y = diff(x, 2);
disp(d2y);% 矩陣差分
A = [1, 2, 3; 4, 5, 6];
dy_col = diff(A, 1, 1); % 沿列方向一階差分
dy_row = diff(A, 1, 2); % 沿行方向一階差分
disp(dy_col);
disp(dy_row);

2. 符號求導

使用diff函數結合符號工具箱可以對符號表達式進行求導。

語法

Y = diff(f)
Y = diff(f, var)
Y = diff(f, var, n)

• 參數說明：
  • f：輸入的符號表達式。
  • var：可選參數，指定對哪個符號變量求導，若省略，則對默認的符號變量求導。
  • n：可選參數，指定求導的階數，默認為1。
• 示例：

% 定義符號變量
syms x;% 定義符號表達式
f = x^3 + 2*x^2 + 3*x + 4;% 對默認變量 x 求一階導數
df = diff(f);
disp(df);% 對指定變量 x 求二階導數
d2f = diff(f, x, 2);
disp(d2f);

總結

• diff函數用于數值差分，計算向量或矩陣元素之間的差值。
• 結合符號工具箱，diff函數可以對符號表達式進行求導。在使用符號求導時，需要先使用syms函數定義符號變量。

syms x
% 定義函數 y
y = sin(x) - x^2 / 2;
% 求一階導數 y'
y_prime = diff(y, x);
disp('一階導數 y'' 為：');
disp(y_prime);
% 求二階導數 y''
y_double_prime = diff(y, x, 2);
disp('二階導數 y'''' 為：');
disp(y_double_prime);
% 求三階導數 y'''
y_double_prime = diff(y, x, 3);
disp('三階導數 y'''''' 為：');
disp(y_double_prime);

求非線性方程組的符號解

在MATLAB里，有多種方法可以求解非線性方程組，下面為你介紹兩種常用的函數及其語法和使用示例。

1. fsolve函數

fsolve函數是MATLAB中用于求解非線性方程組的常用函數，它采用數值方法尋找方程組的根。

基本語法

x = fsolve(fun,x0)
x = fsolve(fun,x0,options)

• 參數說明：
  • fun：表示一個函數句柄，該函數用于定義非線性方程組。此函數接收一個向量輸入，返回一個包含方程組中每個方程計算結果的向量。
  • x0：是初始猜測值向量，也就是求解方程組時的起始點。合適的初始猜測值對求解結果和收斂速度有重要影響。
  • options：是可選參數，為優化選項結構體，可用于設置求解過程中的各種參數，例如最大迭代次數、誤差容限等。

使用示例

假設要求解如下非線性方程組：
[
\begin{cases}
x_1^2 + x_2^2 - 1 = 0 \
x_1 - x_2^2 = 0
\end{cases}
]

% 定義非線性方程組的函數
function F = myfun(x)F(1) = x(1)^2 + x(2)^2 - 1;F(2) = x(1) - x(2)^2;
end% 初始猜測值
x0 = [0.5; 0.5];% 調用 fsolve 函數求解方程組
x = fsolve(@myfun, x0);% 顯示求解結果
disp('方程組的解為：');
disp(x);

2. vpasolve函數

vpasolve函數是符號工具箱中的函數，可用于求解符號形式的非線性方程組，它能給出符號解或數值近似解。

基本語法

sol = vpasolve(eqns,vars)
sol = vpasolve(eqns,vars,init_guess)

• 參數說明：
  • eqns：是一個符號表達式或符號表達式向量，用于定義非線性方程組。
  • vars：是一個符號變量或符號變量向量，代表方程組中的未知變量。
  • init_guess：是可選參數，為初始猜測值，可幫助求解器更快地收斂到解。

使用示例

同樣求解上述非線性方程組：

% 定義符號變量
syms x1 x2;% 定義非線性方程組
eqns = [x1^2 + x2^2 - 1 == 0, x1 - x2^2 == 0];% 定義未知變量
vars = [x1, x2];% 調用 vpasolve 函數求解方程組
sol = vpasolve(eqns, vars);% 顯示求解結果
disp('方程組的解為：');
disp(sol.x1);
disp(sol.x2);

總結

• fsolve函數是數值求解器，需要將方程組定義為函數句柄，并且要提供初始猜測值。
• vpasolve函數是符號求解器，使用符號表達式定義方程組，可給出符號解或數值近似解，也可提供初始猜測值來加速求解過程。

syms x y z
% 方程組 (1)
eq1_1 = log(x/y) == 9;
eq1_2 = exp(x + y) == 3;
solution1 = solve([eq1_1, eq1_2], [x, y]);
x1 = solution1.x;
y1 = solution1.y;
disp('方程組 (1) 的解為：');
disp(['x = ', char(x1)]);
disp(['y = ', char(y1)]);
% 方程組 (2)
eq2_1 = (4*x^2)/(4*x^2 + 1) == y;
eq2_2 = (4*y^2)/(4*y^2 + 1) == z;
eq2_3 = (4*z^2)/(4*z^2 + 1) == x;
solution2 = solve([eq2_1, eq2_2, eq2_3], [x, y, z]);
x2 = solution2.x;
y2 = solution2.y;
z2 = solution2.z;
disp('方程組 (2) 的解為：');
for i = 1:length(x2)disp(['解 ', num2str(i), ':']);disp(['x = ', char(x2(i))]);disp(['y = ', char(y2(i))]);disp(['z = ', char(z2(i))]);
end

利用符號表達式求z

syms x y
% 定義符號常數 x 和 y
x = sym('6');
y = sym('5');
% 定義表達式 z
z = (x + 1) / (sqrt(3 + x) - sqrt(y));
% 計算 z 的值
result = vpa(z);
disp(result);syms a b
a=6;
b=5;
z = (a + 1) / (sqrt(3 + a) - sqrt(b));
disp(z);

化簡表達式

在MATLAB里，能借助符號工具箱對表達式進行化簡，下面為你介紹幾個常用的化簡函數及其語法與示例。

1. simplify函數

simplify函數是一個通用的化簡函數，它能嘗試運用多種規則對符號表達式進行化簡。

語法

R = simplify(S)

• 參數說明：
  • S：輸入的符號表達式。
  • R：化簡后的符號表達式。

示例

% 定義符號變量
syms x;% 定義符號表達式
S = (x^2 - 1)/(x - 1);% 化簡表達式
R = simplify(S);% 顯示化簡結果
disp(R);

此例中，simplify函數把表達式 (x^2 - 1)/(x - 1) 化簡為 x + 1。

2. expand函數

expand函數主要用于展開表達式，像多項式展開、三角函數展開等。

語法

R = expand(S)

• 參數說明：
  • S：輸入的符號表達式。
  • R：展開后的符號表達式。

示例

% 定義符號變量
syms x;% 定義符號表達式
S = (x + 1)^2;% 展開表達式
R = expand(S);% 顯示展開結果
disp(R);

在這個例子中，expand函數把表達式 (x + 1)^2 展開為 x^2 + 2*x + 1。

3. factor函數

factor函數用于對多項式進行因式分解。

語法

R = factor(S)

• 參數說明：
  • S：輸入的符號表達式，通常是多項式。
  • R：因式分解后的符號表達式。

示例

% 定義符號變量
syms x;% 定義符號表達式
S = x^2 - 1;% 因式分解表達式
R = factor(S);% 顯示因式分解結果
disp(R);

這里，factor函數把表達式 x^2 - 1 因式分解為 (x - 1)*(x + 1)。

4. collect函數

collect函數可將表達式按照指定變量的冪次進行合并同類項。

語法

R = collect(S,v)

• 參數說明：
  • S：輸入的符號表達式。
  • v：指定的變量。
  • R：合并同類項后的符號表達式。

示例

% 定義符號變量
syms x;% 定義符號表達式
S = x^2 + 3*x + 2*x^2;% 按 x 的冪次合并同類項
R = collect(S,x);% 顯示合并結果
disp(R);

此例中，collect函數把表達式 x^2 + 3*x + 2*x^2 合并為 3*x^2 + 3*x。

在使用這些函數之前，要先運用syms函數定義符號變量。并且，不同的化簡函數適用于不同的場景，你可以依據表達式的特點選擇合適的函數。

syms beta1 beta2 x
% (1)化簡 sin(beta1)*cos(beta2) - cos(beta1)*sin(beta2)
expr1 = sin(beta1)*cos(beta2) - cos(beta1)*sin(beta2);
simplified_expr1 = simplify(expr1);
disp('(1)化簡結果為：');
disp(simplified_expr1);
% (2)化簡 (4x^2 + 8x + 3)/(2x + 1)
expr2 = (4*x^2 + 8*x + 3)/(2*x + 1);
simplified_expr2 = simplify(expr2);
disp('(2)化簡結果為：');
disp(simplified_expr2);