一、Phong模型數學原理

1.1 光照疊加公式

$$L=k_a{I}_a+k_d{I}_d\max (0,\mathbf{n}?\mathbf{l})+k_s{I}_s\max (0,\mathbf{r}?\mathbf{v}{)}^{\alpha }$$

• ?符號說明：
  • $k_a,k_d,k_s$：材質的環境/漫反射/高光系數（標量）
  • $I_a,I_d,I_s$：光源的環境/漫反射/高光強度（三通道向量或標量）
  • $\mathbf{n}$：表面單位法線向量
  • $\mathbf{l}$：單位光照方向向量（從表面指向光源）
  • $\mathbf{v}$：單位視線方向向量（從表面指向觀察點）
  • $\mathbf{r}$：反射方向單位向量
  • $\alpha$：高光銳度系數（值越大高光越集中）

1.2 核心分量數學推導

1.2.1 環境光（Ambient）

$$L_a=k_a?I_a$$

• ?特性：均勻照亮場景，與幾何關系和光源方向無關
• ?缺陷：易導致畫面“過平”，需結合其他分量使用

1.2.2 漫反射（Lambert’s Cosine Law）

$$L_d=k_d?I_d?\max (0,\mathbf{n}?\mathbf{l})$$

• ?幾何解釋：
  • $\mathbf{n}?\mathbf{l}=\cos \theta$，其中 $\theta$ 為入射角
  • $\max (0,?)$ 確保背面無光照貢獻
• ?能量守恒：入射角越大，單位面積接收的光能越少

1.2.3 高光反射（Phong Specular）

$$L_s=k_s?I_s?\max (0,\mathbf{v}?\mathbf{r}{)}^{\alpha }$$

• ?反射向量計算：
  $$\mathbf{r}=2(\mathbf{n}?\mathbf{l})\mathbf{n}?\mathbf{l}$$
• ?Blinn-Phong優化：
  • 半角向量 $\mathbf{h}=\frac{\mathbf{l}+\mathbf{v}}{\Vert \mathbf{l}+\mathbf{v}\Vert }$
  • 高光項改寫為 $(\mathbf{n}?\mathbf{h}{)}^{\alpha }$，計算效率更高

1.3 坐標系變換與關鍵推導

1.3.1 反射向量 $\mathbf{r}$ 的嚴格推導

設入射方向 $\mathbf{l}$ 為指向表面的單位向量，法線 $\mathbf{n}$ 為單位向量：

1. 將 $\mathbf{l}$ 分解為法線分量和切平面分量：
   $$\mathbf{l}=(\mathbf{n}?\mathbf{l})\mathbf{n}+{\mathbf{l}}_{\perp }$$
2. 反射方向 $\mathbf{r}$ 的法線分量反向，切平面分量不變：
   $$\mathbf{r}=?(\mathbf{n}?\mathbf{l})\mathbf{n}+{\mathbf{l}}_{\perp }=\mathbf{l}?2(\mathbf{n}?\mathbf{l})\mathbf{n}$$

1.3.2 法線矩陣 $\mathbf{N}=({\mathbf{M}}^{?1}{)}^T$ 的證明

設模型變換矩陣為 $\mathbf{M}$，切線向量 $\mathbf{t}$ 變換后為 $\mathbf{Mt}$，法線 $\mathbf{n}$ 變換后為 $\mathbf{Nn}$。需滿足：
$$(\mathbf{Nn})?(\mathbf{Mt})=0$$
展開得：
$${\mathbf{n}}^T{\mathbf{N}}^T\mathbf{Mt}=0$$
因原始法線與切線正交（${\mathbf{n}}^T\mathbf{t}=0$），需有：
$${\mathbf{N}}^T\mathbf{M}=\mathbf{I}?\mathbf{N}=({\mathbf{M}}^{?1}{)}^T$$

1.3.3 視線方向 $\mathbf{v}$ 的計算

在視圖坐標系中，設表面點坐標為 $\mathbf{p}$，則：
$$\mathbf{v}=?\frac{\mathbf{p}}{\Vert \mathbf{p}\Vert }$$