公式 int new_pos = (pos + delta + 9) % 9; 是一個常見的 循環數組索引計算 方法，用于處理圓圈排列中的位置計算。這個公式可以總結出一個普遍的規律，適用于任何循環數組或圓圈排列的場景。

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普遍規律

假設有一個長度為 ( n ) 的循環數組（或圓圈排列），當前索引為 pos，需要計算移動 delta 步后的新索引 new_pos。公式如下：

				new_pos = (pos + delta + n) \% n

解釋：

1. pos + delta：

   • 表示從當前位置 pos 移動 delta 步。
   • delta 可以是正數（向右移動）或負數（向左移動）。

2. + n：

   • 確保 pos + delta 的結果是非負數，避免負數取模的問題。
   • 例如，如果 pos + delta 是負數，加上 n 后會變成正數。

3. % n：

   • 對結果取模，確保新索引在 [0, n-1] 范圍內，實現循環效果。

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應用場景

這個公式適用于以下場景：

1. 圓圈排列：

   • 例如題目中的 9 只盤子排成一個圓圈。
   • 當移動到第 9 個位置時，下一個位置應該是第 1 個位置（循環）。

2. 循環數組：

   • 例如環形緩沖區、循環隊列等數據結構。
   • 當索引超出數組范圍時，自動回到數組開頭。

3. 周期性移動：

   • 例如模擬時鐘的指針移動、周期性任務調度等。

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示例

示例 1：圓圈排列

假設有一個長度為 5 的圓圈排列，當前索引為 2，需要向左移動 3 步（delta = -3）。

int n = 5; // 圓圈長度
int pos = 2; // 當前位置
int delta = -3; // 向左移動 3 步int new_pos = (pos + delta + n) % n;
// 計算過程：
// pos + delta = 2 + (-3) = -1
// -1 + 5 = 4
// 4 % 5 = 4
// 結果：new_pos = 4

示例 2：循環數組

假設有一個長度為 4 的循環數組，當前索引為 3，需要向右移動 2 步（delta = 2）。

int n = 4; // 數組長度
int pos = 3; // 當前位置
int delta = 2; // 向右移動 2 步int new_pos = (pos + delta + n) % n;
// 計算過程：
// pos + delta = 3 + 2 = 5
// 5 + 4 = 9
// 9 % 4 = 1
// 結果：new_pos = 1

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公式的變體

如果 delta 始終是非負數（例如只向右移動），可以省略 + n 的步驟：

		new_pos = (pos + delta ) \% n

示例：

int n = 5; // 圓圈長度
int pos = 3; // 當前位置
int delta = 4; // 向右移動 4 步int new_pos = (pos + delta) % n;
// 計算過程：
// pos + delta = 3 + 4 = 7
// 7 % 5 = 2
// 結果：new_pos = 2

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總結

公式 int new_pos = (pos + delta + n) % n; 是一個通用的循環索引計算方法，適用于任何圓圈排列或循環數組的場景。它的核心思想是通過取模運算實現循環效果，并通過 + n 確保索引始終為非負數。