一、何謂完美數

• 完美數是一種特殊的自然數，它等于其所有正除數（不包括其本身）之和。完美數非常稀有，并且只存在于偶數中。第一個完美數是$6$，其除數$1$、$2$、$3$的和等于它本身。完美數與梅森素數緊密相關，如果$2^p?1$是梅森素數，那么$2^{p?1}(2^p?1)$就是完美數。古希臘數學家歐幾里得首次描述了完美數，但直到現代，已知的完美數仍然不多。尋找完美數是數論中一個古老而深奧的問題，至今仍在數學研究中占有一席之地。隨著數值的增大，發現新的完美數變得越來越困難，需要高效的算法和強大的計算資源。
• $6=1+2+3$是最小的完美數，不僅如此，$6=1\times 2\times 3$，《圣經》開篇《創世紀》里提到，上帝用6天的時間創造了世界（第$7$天是休息日），而相信地心說的古希臘人認為，月亮圍繞地球旋轉所需的時間是$28$天（即便在哥白尼的眼里，太陽系也恰好有$6$顆行星）。古羅馬思想家圣奧古斯都在《上帝之城》中寫道：“$6$這個數本身就是完美的，并非因為上帝造物用了$6$天；事實上，恰恰因為$6$是完美的，所以上帝在$6$天之內把一切事物都造好了。”
• 迄今為止（$2024$年$7$月$9$日），人們只發現51個偶完美數，沒有人找到一個奇完美數，也沒有人能夠否定它的存在。不難證明，偶完美數均以數字$6$或$8$結尾。古希臘人曾猜測它們交替以$6$和$8$結尾，后來被證實是錯誤的。統計已有的完美數，以$8$結尾的和以$6$結尾的完美數分別是$19$個和$32$個，這個比值趨近于黃金分割比！有意思的是，黃金分割恰好也是畢達哥拉斯學派提出來的，只是他們當初沒想過其與完美數之間可能存在某種聯系。
• 所謂黃金分割比是指把一條線段分割成兩部分，使其中一部分與全長之比等于另一部分與這部分之比，其比值是$\frac{\sqrt{5}?1}{2}\approx 0.618$…按此比例設計的造型特別美麗，被稱為黃金分割。這個數值不僅體現在諸如繪畫、雕塑、音樂、建筑等藝術領域，也在管理、工程設計等方面有重要的應用，在日常生活中的應用也比比皆是。

二、尋找完美數

（一）編程思路

1. 理解完美數與梅森素數的關系：完美數是形式為$2^{p?1}(2^p?1)$的數，其中$2^p?1$必須是梅森素數。

2. 實現Lucas-Lehmer素性測試：這是檢測梅森素數的一種有效方法。對于每個$p$，計算序列直到$p?2$項，如果最終結果為$0$，則$2^p?1$是素數。

3. 尋找梅森素數：從$p=2$開始，對每個$p$調用lucasLehmerPrime函數，檢查$2^p?1$是否為素數。

4. 計算并輸出完美數：一旦找到梅森素數，根據完美數的公式計算相應的完美數，并輸出結果。

5. 設置搜索限制：程序將持續尋找并輸出完美數，直到找到大于預設限制的數為止。

6. 優化與考慮：對于大數計算，使用BigInteger類處理可能的溢出問題。同時，考慮到計算量可能非常大，實際應用中可能需要進一步優化算法或使用并行計算。

7. 代碼實現：將上述思路轉化為Java代碼，使用BigInteger類進行大數運算，實現完美數的搜索程序。

（二）編寫程序

• 在net.huawei.number包里創建PerfectNumberFinder類
  

package net.huawei.number;import java.math.BigInteger;/*** 功能：完美數尋找器* 作者：華衛* 日期：2024年07月09日*/
public class PerfectNumberFinder {public static void main(String[] args) {// 設置尋找完美數的上限findPerfectNumbers(new BigInteger("1000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000"));}/*** 執行Lucas-Lehmer素性測試來檢查2^p - 1是否為梅森素數。** @param p 用于計算2^p - 1的指數* @return 如果2^p - 1是素數，則返回true，否則返回false*/public static boolean lucasLehmerPrime(int p) {if (p == 2) {return true; // 2^2 - 1是最小的梅森素數}BigInteger s = BigInteger.valueOf(4); // 初始值BigInteger M = BigInteger.ONE.shiftLeft(p).subtract(BigInteger.ONE); // 計算2^p - 1for (int i = 0; i < p - 2; i++) {// 應用Lucas-Lehmer迭代過程s = s.multiply(s).subtract(BigInteger.valueOf(2)).mod(M);}return s.equals(BigInteger.ZERO); // 如果s為0，則2^p - 1是素數}/*** 尋找并打印所有小于給定限制的完美數** @param limit 完美數搜索的上限值*/public static void findPerfectNumbers(BigInteger limit) {int p = 2; // 從最小的梅森素數候選指數開始int count = 0;while (true) {if (lucasLehmerPrime(p)) {// 如果找到梅森素數，計算相應的完美數BigInteger mersennePrime = BigInteger.ONE.shiftLeft(p).subtract(BigInteger.ONE);BigInteger perfectNumber = BigInteger.ONE.shiftLeft(p - 1).multiply(mersennePrime);// 統計找到的完美數數量count++;// 打印梅森素數和對應的完美數System.out.println("梅森素數: " + mersennePrime);System.out.println("完 美 數: " + perfectNumber);// 如果完美數大于給定限制，則停止搜索if (perfectNumber.compareTo(limit) > 0) {break;}}p++; // 移動到下一個候選指數}System.out.println("找到" + count + "個完美數~");}
}

（三）運行程序

• 查看結果，在指定范圍內找到12個完美數
  

三、實戰小結

• 通過編寫和運行完美數尋找器程序，我們深入理解了完美數與梅森素數的內在聯系，體驗了大數計算的挑戰，并認識到了算法優化的重要性。此過程不僅鍛煉了編程技能，還激發了我們對數論奧秘的探索興趣。盡管尋找大完美數極具難度，但使用BigInteger類和Lucas-Lehmer測試，我們能夠有效地識別梅森素數，進而發現新的完美數。