1、引言

小屌絲：魚哥，數學知識點下一部分呢。
小魚：別著急，別著急，這就來了。
小屌絲：一點都不自覺，還得我提醒呢。
小魚：…

2、數據科學必會數學知識

2.13 K均值聚類

• 定義：一種分組數據的方法，將數據點劃分為K個簇。
• 核心原理：歐氏距離、質心更新。
• 用法：數據挖掘、圖像分割。
• 算法公式：質心更新 ${\mu }_j=\frac{1}{|C_j|}{\sum }_{x_i\in C_j}{x}_i$
• 代碼示例：

from sklearn.cluster import KMeansX = [[1, 2], [1, 4], [1, 0], [10, 2], [10, 4], [10, 0]]
kmeans = KMeans(n_clusters=2, random_state=0).fit(X)

2.14 決策樹

• 定義：一種遞歸分割數據的樹形模型，用于分類和回歸。
• 核心原理：信息增益、基尼系數、剪枝。
• 用法：分類、回歸、特征選擇。
• 算法公式：信息增益 $IG(D,a)=H(D)?{\sum }_{v\in Values(a)}\frac{|D_v|}{|D|}H(D_v)$
• 代碼示例：

from sklearn.tree import DecisionTreeClassifier
X = [[0, 0], [1, 1]]
y = [0, 1]
tree = DecisionTreeClassifier().fit(X, y)

2.15 隨機森林

• 定義：通過合并多個決策樹模型提高預測準確性的技術。
• 核心原理：集成學習、Bagging、隨機子空間。
• 用法：分類、回歸、特征重要度評估。
• 算法公式：樹的預測加權平均 $\hat{f}=\frac{1}{K}{\sum }_{k=1}^K{f}_k$
• 代碼示例：

from sklearn.ensemble import RandomForestClassifierX = [[0, 0], [1, 1]]
y = [0, 1]
rf = RandomForestClassifier(n_estimators=10).fit(X, y)

2.16 梯度下降

• 定義：一種優化算法，用于最小化成本函數。
• 核心原理：損失函數、梯度計算、學習率。
• 用法：模型參數優化、神經網絡訓練。
• 算法公式：$\theta =\theta ?\eta ?J(\theta )$
• 代碼示例：

import numpy as npdef gradient_descent(x, y, theta, alpha, iterations):m = len(y)for _ in range(iterations):gradient = np.dot(x.T, (np.dot(x, theta) - y)) / mtheta -= alpha * gradientreturn theta

2.17 隨機梯度下降（SGD）

• 定義：一種基于梯度下降的優化算法，但每次迭代只使用一個樣本。
• 核心原理：隨機擾動、收斂性、學習率。
• 用法：大規模數據集的優化。
• 算法公式：${\theta }_i={\theta }_{i?1}?\eta ?J({\theta }_{i?1};x^{(i)},y^{(i)})$
• 代碼示例：

from sklearn.linear_model import SGDClassifierX = [[0, 0], [1, 1]]
y = [0, 1]
sgd = SGDClassifier().fit(X, y)

2.18 卷積

• 定義：一種運算，用于信號、圖像、數據特征提取。
• 核心原理：濾波、滑動窗口、卷積核。
• 用法：卷積神經網絡（CNN）、圖像處理。
• 算法公式： $(f?g)(t)={\int }_{?\infty }^{\infty }f(\tau )g(t?\tau )d\tau$
• 代碼示例：

import numpy as np
from scipy.signal import convolve2dimage = np.array([[1, 2, 3], [4, 5, 6], [7, 8, 9]])
kernel = np.array([[1, 0], [0, -1]])
result = convolve2d(image, kernel, mode='valid')

2.19 拉普拉斯變換

• 定義：用于把微分方程轉化為代數方程的一種積分變換。
• 核心原理：函數變換、線性運算。
• 用法：信號處理、控制系統。
• 算法公式：$F(s)={\int }_0^{\infty }f(t)e^{?st}dt$
• 代碼示例：

from sympy.integrals.transforms import laplace_transform
from sympy import symbols, expt, s = symbols('t s')
f = exp(-t)
F = laplace_transform(f, t, s)

2.20 傅里葉變換

• 定義：將時間域信號轉換到頻域的一種變換技術。

• 核心原理：頻譜分析、濾波。

• 用法：信號處理、圖像處理。

• 算法公式： $F(\omega )={\int }_{?\infty }^{\infty }f(t)e^{?i\omega t}dt$

• 代碼示例：

import numpy as npx = np.linspace(0, 2 * np.pi, 10)
y = np.sin(x)
y_fft = np.fft.fft(y)

2.21 信息論

• 定義：研究信息的度量、傳遞和壓縮的理論。
• 核心原理：熵、互信息、編碼定理。
• 用法：數據壓縮、特征選擇。
• 算法公式：熵 $H(X)=?{\sum }_{i}P(x_i)\log P(x_i)$
• 代碼示例：

from sklearn.feature_selection import mutual_info_classifX = [[1, 2], [3, 4], [5, 6]]
y = [0, 1, 0]
mi = mutual_info_classif(X, y)

2.22 時間序列分析

• 定義：分析時間序列數據的統計方法。
• 核心原理：自相關、移動平均、ARIMA模型。
• 用法：經濟預測、庫存控制。
• 算法公式： ARIMA模型 $Y_t=c+{\phi }_1{Y}_{t?1}+{\epsilon }_t+{\theta }_1{\epsilon }_{t?1}$
• 代碼示例：

import pandas as pd
from statsmodels.tsa.arima.model import ARIMAdata = pd.Series([1, 2, 3, 4, 5, 6])
model = ARIMA(data, order=(1, 1, 1))
model_fit = model.fit()

2.23 生成模型與判別模型

• 定義：生成模型嘗試建模輸入數據及其標簽的聯合概率分布，而判別模型則直接建模標簽條件概率。
• 核心原理：生成模型（如高斯混合模型）、判別模型（如邏輯回歸）。
• 用法：分類、聚類。
• 算法公式：
  • 生成模型 $P(X,Y)=P(Y)P(X|Y)$；
  • 判別模型 $P(Y|X)$
• 代碼示例：

from sklearn.mixture import GaussianMixture
'''
生成模型 - 高斯混合模型 
'''
X = [[1, 2], [3, 4], [5, 6]]
gmm = GaussianMixture(n_components=2).fit(X)

2.24 支持向量機（SVM）

• 定義：一種監督學習模型，用于分類和回歸。
• 核心原理：最大間隔分類、核函數。
• 用法：分類、回歸、異常檢測。
• 算法公式： 決策邊界 $w^{T}x+b=0$
• 代碼示例：

from sklearn.svm import SVCX = [[0, 0], [1, 1]]
y = [0, 1]
clf = SVC().fit(X, y)

2.25 均方誤差(MSE)

• 定義：一種衡量預測值與實際值之間差異的度量方法。
• 核心原理：最小化均方誤差，找到最優的模型參數。
• 用法：回歸模型的損失函數。
• 算法公式： $\text{MSE}=\frac{1}{n}{\sum }_{i=1}^n(y_i?{\hat{y}}_i{)}^2$
• 代碼示例：

import numpy as np# 示例數據
y_true = np.array([3.0, -0.5, 2.0, 7.0])
y_pred = np.array([2.5, 0.0, 2.0, 8.0])# 計算MSE
mse = np.mean((y_true - y_pred)**2)
print("MSE:", mse)

2.26 L2 正則化

• 定義：通過在損失函數中增加所有參數的平方和來懲罰大幅度的權重，旨在防止模型過擬合。
• 核心原理：通過懲罰較大的權重系數來減少模型的復雜度。
• 用法：線性回歸、邏輯回歸、神經網絡。
• 算法公式： $J(\theta )=\text{MSE}+\frac{\lambda }{2}{\sum }_{j=1}^m{\theta }_j^2$
• 代碼示例：

from sklearn.linear_model import Ridge
import numpy as np# 示例數據
X = np.array([[1, 1], [1, 2], [2, 2], [2, 3]])
y = np.dot(X, np.array([1, 2])) + 3# 創建Ridge回歸模型
ridge = Ridge(alpha=1.0)
ridge.fit(X, y)# 預測
y_pred = ridge.predict(X)# 計算MSE
mse_ridge = np.mean((y - y_pred)**2)
print("MSE with L2 regularization:", mse_ridge)

3、總結

要想學好數學科學、或者機器學習，數學知識是必會的，也是基礎。
所以，以上的這26個數學知識點，一定要掌握。
為了方便我們學習， 我把兩篇的鏈接都放到下面了，點擊即可跳轉。

• 《【機器學習】必會數學知識：一文掌握數據科學核心數學知識點(上)，收藏~》
• 《【機器學習】必會數學知識：一文掌握數據科學核心數學知識點(下)，收藏~》

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