推導虛功方程的過程
彈性力學的平衡方程
在張量形式中，平衡方程為：
? ? σ + b = 0 \nabla \cdot \sigma + b = 0 ??σ+b=0
用下標表示為：
? σ i j ? x j + b i = 0 \frac{\partial \sigma_{ij}}{\partial x_j} + b_i = 0 ?xj??σij??+bi?=0
其中， σ i j \sigma_{ij} σij? 是應力張量的分量， b i b_i bi? 是體積力的分量。
平衡方程弱形式
我們乘以一個任意的虛位移場 v i v_i vi? 并在整個體積 Ω \Omega Ω 上積分：
∫ Ω ( ? σ i j ? x j + b i ) v i d Ω = 0 \int_\Omega \left( \frac{\partial \sigma_{ij}}{\partial x_j} + b_i \right) v_i \, d\Omega = 0 ∫Ω?(?xj??σij??+bi?)vi?dΩ=0
展開得到：
∫ Ω ? σ i j ? x j v i d Ω + ∫ Ω b i v i d Ω = 0 \int_\Omega \frac{\partial \sigma_{ij}}{\partial x_j} v_i \, d\Omega + \int_\Omega b_i v_i \, d\Omega = 0 ∫Ω??xj??σij??vi?dΩ+∫Ω?bi?vi?dΩ=0
對第一個積分項使用分部積分
對第一個積分項 ∫ Ω ? σ i j ? x j v i d Ω \int_\Omega \frac{\partial \sigma_{ij}}{\partial x_j} v_i \, d\Omega ∫Ω??xj??σij??vi?dΩ 使用分部積分和微分乘法法則，將導數從應力張量 σ i j \sigma_{ij} σij? 轉移到虛位移場 v i v_i vi? 上。
∫ Ω ( v i ? σ i j ? x j + σ i j ? v i ? x j ) d Ω = ∫ Ω ? ( σ i j v i ) ? x j d Ω \int_\Omega \left( v_i \frac{\partial \sigma_{ij}}{\partial x_j} + \sigma_{ij} \frac{\partial v_i}{\partial x_j} \right) d\Omega = \int_\Omega \frac{\partial (\sigma_{ij} v_i)}{\partial x_j} \, d\Omega ∫Ω?(vi??xj??σij??+σij??xj??vi??)dΩ=∫Ω??xj??(σij?vi?)?dΩ
根據高斯散度定理有：
∫ Ω ? ( σ i j v i ) ? x j d Ω = ∫ ? Ω σ i j v i n j d S \int_\Omega \frac{\partial (\sigma_{ij} v_i)}{\partial x_j} \, d\Omega = \int_{\partial\Omega} \sigma_{ij} v_i n_j \, dS ∫Ω??xj??(σij?vi?)?dΩ=∫?Ω?σij?vi?nj?dS
這里， ? Ω \partial\Omega ?Ω 是體積 Ω \Omega Ω 的邊界， n j n_j nj? 是邊界上的單位外法向量。因此，我們可以將第一個積分項寫成：
∫ Ω v i ? σ i j ? x j d Ω = ∫ ? Ω σ i j v i n j d S ? ∫ Ω σ i j ? v i ? x j d Ω \int_\Omega v_i \frac{\partial \sigma_{ij}}{\partial x_j} \, d\Omega = \int_{\partial\Omega} \sigma_{ij} v_i n_j \, dS - \int_\Omega \sigma_{ij} \frac{\partial v_i}{\partial x_j} \, d\Omega ∫Ω?vi??xj??σij??dΩ=∫?Ω?σij?vi?nj?dS?∫Ω?σij??xj??vi??dΩ
代入平衡方程弱形式
將上面分部積分得到的公式帶入到平衡方程弱形式可得：
∫ Ω σ i j ? v i ? x j d Ω = ∫ ? Ω σ i j v i n j d S + ∫ Ω b i v i d Ω \int_\Omega \sigma_{ij} \frac{\partial v_i}{\partial x_j} \, d\Omega = \int_{\partial\Omega} \sigma_{ij} v_i n_j \, dS + \int_\Omega b_i v_i \, d\Omega ∫Ω?σij??xj??vi??dΩ=∫?Ω?σij?vi?nj?dS+∫Ω?bi?vi?dΩ
根據邊界條件：
- 在邊界 ? Ω t \partial\Omega_t ?Ωt? 上有應力邊界條件 σ i j n j = t i \sigma_{ij} n_j = t_i σij?nj?=ti?
- 在邊界 ? Ω u \partial\Omega_u ?Ωu? 上有位移邊界條件 u i = u 0 i u_i = u_{0i} ui?=u0i?
最終虛功原理(虛位移原理)
結合體積力項和邊界條件，得到弱形式：
∫ Ω σ i j ? v i ? x j d Ω = ∫ ? Ω t t i v i d S + ∫ Ω b i v i d Ω \int_\Omega \sigma_{ij} \frac{\partial v_i}{\partial x_j} \, d\Omega = \int_{\partial\Omega_t} t_i v_i \, dS + \int_\Omega b_i v_i \, d\Omega ∫Ω?σij??xj??vi??dΩ=∫?Ωt??ti?vi?dS+∫Ω?bi?vi?dΩ
由應力張量的對稱性
σ i j ? v i ? x j = 1 2 ( σ i j + σ j i ) ? v i ? x j = σ i j 1 2 ( ? v i ? x j + ? v j ? x i ) \sigma_{ij} \frac{\partial v_i}{\partial x_j} = \frac{1}{2}(\sigma_{ij} + \sigma_{ji})\frac{\partial v_i}{\partial x_j} = \sigma_{ij} \frac{1}{2}(\frac{\partial v_i}{\partial x_j} + \frac{\partial v_j}{\partial x_i}) σij??xj??vi??=21?(σij?+σji?)?xj??vi??=σij?21?(?xj??vi??+?xi??vj??)
最終，平衡方程的弱形式為：
∫ Ω σ i j ? i j d Ω ? ∫ Ω b i v i d Ω ? ∫ ? Ω t t i v i d S = 0 \int_\Omega \sigma_{ij} \epsilon_{ij} \, d\Omega - \int_\Omega b_i v_i \, d\Omega - \int_{\partial\Omega_t} t_i v_i \, dS = 0 ∫Ω?σij??ij?dΩ?∫Ω?bi?vi?dΩ?∫?Ωt??ti?vi?dS=0
如果將上面的 v i v_i vi?寫成位移的變分形式可以得到如下的虛功方程
∫ Ω σ : δ ? d Ω = ∫ Ω b ? δ u d Ω + ∫ ? Ω t t ? δ u d S \int_\Omega \sigma : \delta \epsilon \, d\Omega = \int_\Omega b \cdot \delta u \, d\Omega +\int_{\partial\Omega_t} t \cdot \delta u \, dS ∫Ω?σ:δ?dΩ=∫Ω?b?δudΩ+∫?Ωt??t?δudS
總結
虛位移原理是平衡方程和力的邊界條件的等效積分“弱”形式。虛位移原理的力學意義是：如果力系(包括內力和外力)是平衡的，則它們在虛位移和虛應變上所作之功的總和為零。反之，如果力系在虛位移及虛應變上所作之功的和等于零，則它們一定是滿足平衡的，所以虛位移原理表述了力系平衡的必要而充分的條件。
+O(1)）)
