反函數技術文檔

反函數的定義

反函數（inverse function）是指一種將函數的輸出反過來作為輸入，從而恢復原來輸入的函數。具體來說，如果有一個函數 $f$，它把一個值 $x$ 映射到一個值 $y$，即 $f(x)=y$，那么反函數 $f^{?1}$ 就是把 $y$ 映射回 $x$，即 $f^{?1}(y)=x$。

反函數的性質

1. 唯一性：對于每一個 $y$，$f^{?1}(y)$ 都是唯一的。
2. 對稱性：如果 $f(a)=b$，那么 $f^{?1}(b)=a$。
3. 復合函數：對于函數 $f$ 及其反函數 $f^{?1}$，滿足 $f(f^{?1}(y))=y$ 和 $f^{?1}(f(x))=x$。

反函數的求法

1. 交換變量法：設 $y=f(x)$，然后解出 $x$ 的表達式 $x=g(y)$，那么 $g(y)$ 就是 $f$ 的反函數 $f^{?1}(y)$。
2. 水平線測試：檢查函數是否是單射（即每一個 $y$ 都對應唯一的 $x$），如果是單射，那么函數存在反函數。

例子

1. 線性函數：$f(x)=2x+3$
   • 求反函數：設 $y=2x+3$，解 $x$ 得 $x=\frac{y?3}{2}$，所以 $f^{?1}(y)=\frac{y?3}{2}$。
2. 指數函數：$f(x)=e^x$
   • 求反函數：設 $y=e^x$，解 $x$ 得 $x=\ln (y)$，所以 $f^{?1}(y)=\ln (y)$。

注意事項

• 并不是所有函數都有反函數。一個函數要有反函數，必須是單射函數，即每個輸出值都對應唯一的輸入值。
• 在某些情況下，函數需要限制定義域以保證其反函數的存在。

反函數的圖像

• 原函數和其反函數的圖像關于直線 $y=x$ 對稱。

$y=x^2$ 的反函數分析

函數 $y=x^2$ 在整個實數域上沒有反函數。這是因為對于一個給定的 $y$ 值，存在兩個不同的 $x$ 值使得 $y=x^2$，即 $x=\sqrt{y}$ 和 $x=?\sqrt{y}$，這違反了反函數的唯一性要求。

具體分析

1. 單射性檢驗：一個函數要有反函數，必須是單射的。單射函數的特征是對于不同的輸入有不同的輸出。對于 $y=x^2$，當 $x$ 和 $?x$ 有相同的 $y$ 值（如 $y=1$ 時，$x=1$ 和 $x=?1$），所以它不是單射的。

2. 水平線測試：水平線測試檢查函數是否是單射的。通過畫水平線，如果水平線與函數圖像交于多于一個點，函數就不是單射的。對于 $y=x^2$，任何水平線 $y=c$（$c$ 為非負數）都會與圖像在兩個點相交（除非 $c=0$），所以 $y=x^2$ 不是單射的。

限制定義域以使其有反函數

雖然 $y=x^2$ 在整個實數域上沒有反函數，但如果我們限制其定義域為非負數或非正數部分，則可以得到反函數：

1. 定義域為非負數部分 $[0,+\infty )$：

   • 在此定義域內，$y=x^2$ 是單調遞增函數，因此有反函數。
   • 反函數為 $f^{?1}(y)=\sqrt{y}$。

2. 定義域為非正數部分 $(?\infty ,0]$：

   • 在此定義域內，$y=x^2$ 是單調遞減函數，因此有反函數。
   • 反函數為 $f^{?1}(y)=?\sqrt{y}$。

總結

在整個實數域上，函數 $y=x^2$ 沒有反函數，但在限定的定義域上，它可以有反函數。具體如下：

• 當定義域為 $[0,+\infty )$ 時，反函數為 $f^{?1}(y)=\sqrt{y}$。
• 當定義域為 $(?\infty ,0]$ 時，反函數為 $f^{?1}(y)=?\sqrt{y}$。