延森不等式（Jensen’s Inequality）是凸函數理論中的一個重要結果，廣泛應用于概率論、統計學和優化理論等領域。這個不等式的基本形式是：

對于一個凸函數$f$和一個隨機變量$X$，如果$\mathbb{E}[X]$存在，那么有：
$f(\mathbb{E}[X])\le \mathbb{E}[f(X)]$

證明這個不等式的一般步驟如下：

1. 凸函數的定義：
   函數$f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$是凸函數，當且僅當對于任意的$x_1,x_2\in \mathbb{R}$和$\lambda \in [0,1]$，有：
   $f(\lambda x_1+(1?\lambda )x_2)\le \lambda f(x_1)+(1?\lambda )f(x_2)$

2. 證明步驟：

   • 步驟1：利用凸函數的定義，我們首先對于簡單情形$\lambda =\frac{1}{2}$給出不等式。

   • 步驟2：將凸函數定義擴展到一般情況，對于任意的有限個數$x_i$和權重${\lambda }_i$（權重非負且和為1），有：
     $f\left({\sum }_{i=1}^n{\lambda }_i{x}_i\right)\le {\sum }_{i=1}^n{\lambda }_{i}f(x_i)$

   • 步驟3：利用這一步驟得到的結果，證明對任意隨機變量$X$和其概率分布的期望的情形。

詳細證明：

步驟1：首先考慮兩個點的情況，設$x_1$和$x_2$是實數，$\lambda \in [0,1]$。根據凸函數的定義，有：
$f(\lambda x_1+(1?\lambda )x_2)\le \lambda f(x_1)+(1?\lambda )f(x_2)$

步驟2：將這個不等式擴展到有限個點的情況。設$x_1,x_2,\dots ,x_n$是實數，${\lambda }_1,{\lambda }_2,\dots ,{\lambda }_n$是非負權重，且${\sum }_{i=1}^n{\lambda }_i=1$。利用凸函數的定義，可以通過數學歸納法證明：
$f\left({\sum }_{i=1}^n{\lambda }_i{x}_i\right)\le {\sum }_{i=1}^n{\lambda }_{i}f(x_i)$

步驟3：考慮隨機變量$X$和凸函數$f$，對于離散情形，我們可以寫成：
$X=x_i\text{with?probability}{p}_i$
這里${\sum }_i{p}_i=1$。

因此：
$\mathbb{E}[X]={\sum }_i{p}_i{x}_i$
$\mathbb{E}[f(X)]={\sum }_i{p}_{i}f(x_i)$

根據步驟2的結果，有：
$f\left({\sum }_i{p}_i{x}_i\right)\le {\sum }_i{p}_{i}f(x_i)$

即：
$f(\mathbb{E}[X])\le \mathbb{E}[f(X)]$

對于連續情形，可以通過類似的方法，考慮連續隨機變量的概率密度函數，使用積分形式得到同樣的結果。具體地，可以考慮隨機變量的積分表示：

設$X$是一個連續隨機變量，其概率密度函數為$p(x)$，則：
$\mathbb{E}[X]=\int xp(x)dx$
$\mathbb{E}[f(X)]=\int f(x)p(x)dx$

根據凸函數定義的積分形式，也可以證明：
$f\left(\int xp(x)dx\right)\le \int f(x)p(x)dx$

因此，對于連續隨機變量同樣有：
$f(\mathbb{E}[X])\le \mathbb{E}[f(X)]$

綜上所述，延森不等式對于離散和連續情形都成立。