為什么需要插值算法？

不說大道理，承接上文直線光柵化。已知屏幕兩個點，計算出以這兩點為端點的直線經過的所有像素，準確的說是像素點的坐標；但是，像素是有顏色屬性的，端點的顏色已知，但是中間點顏色是未知的，這時候為了給這些中間點補充顏色屬性，就需要引入插值算法，在這個場景下就叫直線的線性插值！

插值算法是什么？

插值算法是一種通過已知數據點值來估計未知數據點值的方法。基本思想：基于已知數據點構建一個函數，該函數能夠通過這些點，并估計這些點之間的值！

有哪些常見的插值算法呢？

1. 線性插值（Linear Interpolation）

線性插值是一種最簡單的插值方法，它假設兩個相鄰點之間的函數變化是線性的。即，對于兩個已知數據點 $(x_0,y_0),(x_1,y_1)$ ，插值點 $(x,y)$? 可以通過以下公式計算：
$$y=y_0+\frac{(y_1?y_0)(x?x_0)}{(x_1?x_0)}$$
線性插值簡單且計算快速，但它只能在兩個已知點之間產生線性估計，可能不適用于變化較復雜的數據。

2. 多項式插值（Polynomial Interpolation）

多項式插值使用一個多項式函數來通過所有已知數據點。拉格朗日插值（Lagrange Interpolation）和牛頓插值（Newton Interpolation）是兩種常見的多項式插值方法。對于 𝑛+1個數據點，可以找到一個 𝑛 次多項式通過這些點：
$$P(x)=a_0+a_{1}x+a_2{x}^2+...+a_n{x}^n$$
多項式插值可以提供更精確的估計，但當點數較多時，高次多項式可能出現震蕩現象（龍格現象）。

3. 樣條插值（Spline Interpolation）

樣條插值使用低次多項式段（通常是三次樣條）連接所有數據點，同時確保在每個數據點處多項式的連續性和光滑性。三次樣條插值常用于曲線擬合和圖形處理。

4. 最近鄰插值（Nearest-Neighbor Interpolation）

最近鄰插值使用距離目標點最近的已知點的值作為估計值。這種方法簡單且計算快速，但可能會導致不連續和不平滑的結果。

5. 雙線性插值（Bilinear Interpolation）

雙線性插值用于二維數據網格，它在每個方向上進行線性插值。對于四個相鄰點，插值點的值通過對兩個方向的線性插值計算得出。它常用于圖像處理中的像素值插值。

6. 雙三次插值（Bicubic Interpolation）

雙三次插值使用三次多項式進行插值，比雙線性插值能產生更平滑的結果。它通常用于高質量圖像縮放。

7. 克里金插值（Kriging Interpolation）

克里金插值是一種地統計學方法，基于已知點的統計性質進行插值。它考慮了空間自相關性，常用于地理信息系統（GIS）和環境科學。

直線如何線性插值？

問題描述：已知直線起始端點 $p_0=(x_0,y_0)$ ， $p_1=(x_1,y_1)$，$f(p_0)=v_0$ ，$f(p_1)=v_1$，求直線上任意一點 $p=(x,y)$，$f(p)=?$

1、暴力法

算法步驟描述：

• 計算 $p_0$ 到 $p_1$ 的距離，記為 $d$

• 計算 $p$ 到 $p_0$ 和 $p_1$ 的距離，分別記為 $d_0$ 和 $d_1$

• 計算權值$weight=d_0/d$

• 計算 $p$點的屬性值 $f(p)=weight?f(p_1)+(1?weight)?f(p_0)$

如圖所示：

2、優化法

本質思路：計算點和點的距離是比較耗時的，咱們可以用初中數學知識，相似三角形從而簡化問題的計算，提高性能！

算法步驟描述：

• 計算 $d_x=x_1?x_0$ 和 $d_y=y_1?y_0$ ，咱們假設 $d_x!=0$ 其實y方向也是類似同理

• 計算 $d_p=x?x_0$

• 計算權值 $weight=d_p/d_x$

• 計算 $p$點的屬性值 $f(p)=weight?f(p_1)+(1?weight)?f(p_0)$

如圖所示：

效果展示：

咱們用一個從紅色到綠色的直線，上效果圖：

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