非線性規劃學習筆記

一、非線性規劃的應用

非線性規劃（Nonlinear Programming, NLP）在很多領域都有重要應用，主要包括：

• 工程設計優化：結構優化、電路參數優化、交通線路設計
• 經濟與管理：投資組合優化、生產計劃優化、供需均衡模型
• 能源與環境：電力系統優化調度、環境治理
• 機器學習與數據科學：神經網絡訓練、支持向量機等

二、非線性規劃的一般模型

$$\begin{array}{rl}\min & f(x)\\ \text{s.t.}& g_i(x)\le 0,i=1,2,\dots ,m\\ & h_j(x)=0,j=1,2,\dots ,p\\ & x\in {\mathbb{R}}^n\end{array}$$

• $f(x)$：目標函數（可能是非線性的）
• $g_i(x),h_j(x)$：約束條件（可能是非線性的）

三、MATLAB 中的非線性規劃工具

MATLAB 的 Optimization Toolbox 提供了多種函數：

1. fmincon —— 約束非線性規劃

[x, fval] = fmincon(fun, x0, A, b, Aeq, beq, lb, ub, nonlcon)

• fun：目標函數
• x0：初始點
• A, b：線性不等式約束 $Ax\le b$
• Aeq, beq：線性等式約束
• lb, ub：變量上下界
• nonlcon：非線性約束函數（返回 c(x) <= 0, ceq(x) = 0）

2. fminunc —— 無約束非線性優化

[x, fval] = fminunc(fun, x0)

3. 全局優化方法

• ga —— 遺傳算法
• patternsearch —— 模式搜索
• simulannealbnd —— 模擬退火

四、MATLAB 示例

示例 1：約束非線性規劃

$$\min f(x)=(x_1?1{)}^2+(x_2?2{)}^2$$

約束條件：

$$x_1^2+x_2^2\le 5,x_1\ge 0,x_2\ge 0$$

% 目標函數
fun = @(x) (x(1)-1)^2 + (x(2)-2)^2;% 初始點
x0 = [0,0];% 線性約束
A = []; b = [];
Aeq = []; beq = [];% 邊界
lb = [0,0];
ub = [];% 非線性約束
nonlcon = @(x) deal(x(1)^2 + x(2)^2 - 5, []); % 調用 fmincon
[x, fval] = fmincon(fun, x0, A, b, Aeq, beq, lb, ub, nonlcon);disp('最優解:'); disp(x);
disp('最優目標值:'); disp(fval);

示例 2：無約束非線性優化

$$\min f(x)=x^4?3x^3+2$$

fun = @(x) x^4 - 3*x^3 + 2;
x0 = 0;  % 初始點
[x, fval] = fminunc(fun, x0);disp('最優解:'); disp(x);
disp('最優目標值:'); disp(fval);