本文將詳細解釋 Voronoi 圖，它在空間分析和插值中非常常用。

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1. 概念

Voronoi 圖是一種空間劃分方法，它把平面（或空間）劃分成若干個區域，使得每個區域內的任意一點都比該區域外的任何一點更靠近該區域的“生成點”（seed point）。

換句話說，每個點都有一個獨占的“影響區域”。

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2. 原理

• 已知平面上有一組點 $P_1,P_2,...,P_n$（稱為生成點或站點）。
• 對于每個點 $P_i$，Voronoi 區域 $V_i$ 定義為：

Vi={x∈R2∣d(x,Pi)≤d(x,Pj),?j≠i} V_i = \{ x \in \mathbb{R}^2 \mid d(x, P_i) \le d(x, P_j), \forall j \neq i \} Vi?={x∈R2∣d(x,Pi?)≤d(x,Pj?),?j=i}

• $d(x,P_i)$ = 點 $x$ 到生成點 $P_i$ 的距離
• 也就是說，Voronoi 區域 $V_i$ 內的任何一點都離 $P_i$ 最近

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3. 特點

1. 不重疊且覆蓋整個平面
2. 每個多邊形的邊界是兩個生成點的垂直平分線
3. 在空間插值（如自然鄰域插值）中，每個點的權重可以通過它在鄰域中占據的 Voronoi 面積比例來確定

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4. 舉例

• 已知 5 個氣象站測量溫度：A、B、C、D、E
• 畫 Voronoi 圖后，每個站點都有自己的多邊形區域
• 區域內任意點距離該站點最近
• 如果要插值某個未知點的溫度，它位于站點 B 的 Voronoi 區域，那么它受到 B 的影響最大