引言

大家好！今天我們將一起探索相機成像背后的一些關鍵技術概念：齊次坐標、徑向失真和圖像傳感器傾斜。這些概念對于理解相機如何捕捉和處理圖像至關重要。我們將通過簡單易懂的語言和嚴謹的公式來詳細解釋這些概念。

齊次坐標（Homogeneous Coordinates）

什么是齊次坐標？

齊次坐標是射影幾何中使用的一種坐標系統，它允許我們用有限的坐標表示無窮遠的點，并且簡化了許多幾何變換的公式。在齊次坐標中，我們通過在n維笛卡爾向量后面添加一個1來獲得齊次向量。

齊次坐標的優勢

1. 表示無窮遠點：在齊次坐標中，無窮遠點可以用有限的坐標表示。例如，在2D空間中，點 ((x, y, 0)) 表示一個無窮遠點，其方向由 ((x, y)) 確定。
2. 簡化公式：齊次坐標可以簡化許多幾何變換的公式。例如，仿射變換（包括平移、旋轉、縮放等）可以用一個線性齊次變換矩陣來表示。

齊次坐標的變換

齊次坐標允許我們用矩陣乘法來表示各種幾何變換。例如，一個3D點 (P_w = (X_w, Y_w, Z_w, 1)) 可以通過一個4×4的齊次變換矩陣 (T) 變換到另一個坐標系：

$$P_c=T{P}_w$$

其中：

• (P_c) 是變換后的點。
• (T) 是齊次變換矩陣，包含了旋轉、平移、縮放等變換信息。

徑向失真

什么是徑向失真？

實際鏡頭通常會有失真，主要是徑向失真和切向失真。徑向失真是指圖像邊緣的點偏離直線路徑的現象。

徑向失真模型

1. 基本公式：
   $$\left[\begin{array}{c}u\\ v\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}{f}_x{x}^{\prime \prime }+c_x\\ f_y{y}^{\prime \prime }+c_y\end{array}\right]$$

   • (u, v) 是圖像上的坐標。
   • (f_x, f_y) 是相機的焦距。
   • (c_x, c_y) 是主點坐標。
   • (x’‘, y’') 是經過徑向失真校正后的坐標。

2. 徑向失真校正：
   $$\left[\begin{array}{c}{x}^{\prime \prime }\\ y^{\prime \prime }\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}\frac{x^{\prime }}{1+k_1{r}^2+k_2{r}^4+k_3{r}^6}\\ \frac{y^{\prime }}{1+k_1{r}^2+k_2{r}^4+k_3{r}^6}\end{array}\right]$$

   • (r^2 = x’^2 + y’^2)
   • (k_1, k_2, k_3) 是徑向失真系數。

圖像傳感器傾斜

什么是圖像傳感器傾斜？

在某些情況下，圖像傳感器可能會傾斜，導致透視失真。這種失真可以通過旋轉變換來校正。

傾斜模型

1. 基本公式：
   $$\left[\begin{array}{c}u\\ v\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}{f}_x{x}^{\prime \prime \prime }+c_x\\ f_y{y}^{\prime \prime \prime }+c_y\end{array}\right]$$

   • (x’‘’, y’‘’) 是經過傾斜校正后的坐標。

2. 傾斜校正：
   $$\left[\begin{array}{c}{x}^{\prime \prime \prime }\\ y^{\prime \prime \prime }\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}{R}_{33}({\tau }_z,{\tau }_y)& 0& ?R_{13}({\tau }_z,{\tau }_y)\\ 0& R_{33}({\tau }_z,{\tau }_y)& ?R_{23}({\tau }_z,{\tau }_y)\\ 1& 0& 0\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{x}^{\prime \prime }\\ y^{\prime \prime }\\ 1\end{array}\right]$$

   其中，旋轉矩陣 (R(\tau_x, \tau_y)) 定義為：
   $$R({\tau }_x,{\tau }_y)=\left[\begin{array}{ccc}\cos ({\tau }_y)& 0& ?\sin ({\tau }_y)\\ 0& 1& 0\\ \sin ({\tau }_y)& 0& \cos ({\tau }_y)\end{array}\right]\left[\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& \cos ({\tau }_z)& \sin ({\tau }_z)\\ 0& ?\sin ({\tau }_z)& \cos ({\tau }_z)\end{array}\right]$$

   簡化后的旋轉矩陣：
   $$R({\tau }_x,{\tau }_y)=\left[\begin{array}{ccc}\cos ({\tau }_y)\cos ({\tau }_z)& ?\sin ({\tau }_y)\cos ({\tau }_z)& \sin ({\tau }_z)\\ \cos ({\tau }_y)\sin ({\tau }_z)& \sin ({\tau }_y)\sin ({\tau }_z)& ?\cos ({\tau }_z)\\ ?\sin ({\tau }_y)& \cos ({\tau }_y)& 0\end{array}\right]$$

3. 應用旋轉變換：
   $$\left[\begin{array}{c}{x}^{\prime \prime \prime }\\ y^{\prime \prime \prime }\\ 1\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}\cos ({\tau }_y)\cos ({\tau }_z)& \cos ({\tau }_y)\sin ({\tau }_z)& ?\sin ({\tau }_y)\\ ?\sin ({\tau }_y)\cos ({\tau }_z)& \sin ({\tau }_y)\sin ({\tau }_z)& \cos ({\tau }_y)\\ \sin ({\tau }_z)& ?\cos ({\tau }_z)& 0\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{x}^{\prime \prime }\\ y^{\prime \prime }\\ 1\end{array}\right]$$

4. 最終投影公式：
   $$\left[\begin{array}{c}u\\ v\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}{f}_x{x}^{\prime \prime \prime }+c_x\\ f_y{y}^{\prime \prime \prime }+c_y\end{array}\right]$$

通過上述步驟，我們可以得到校正后的圖像坐標 ((u, v))，從而消除由于圖像傳感器傾斜引起的透視失真。

總結

• 齊次坐標：通過在笛卡爾坐標后面添加一個1來獲得齊次向量，簡化了許多幾何變換的公式。
• 徑向失真校正：通過徑向失真系數 (k_1, k_2, k_3) 校正圖像邊緣的失真。
• 圖像傳感器傾斜校正：通過旋轉變換矩陣 (R(\tau_x, \tau_y)) 校正由于傳感器傾斜引起的透視失真。

希望這篇文章能幫助你更好地理解相機中的齊次坐標、徑向失真和傳感器傾斜校正！