上周組委會發布了第十七屆全國大學生數學競賽通知，初賽暫定于2025年11月8日(星期六)上午9:00-11:30舉行，同時今年新增了個亮點，針對與數學類的同學，即：

為提升全國大學生數學競賽的含金量和公平性，并進一步促進各賽區各高校的參賽積極性，第17屆起將對在第五輪學科評估中數學學科評估結果為A+的高校試行數學類決賽名額單列，單列名額原則上為 100 個。其中：北京大學基礎名額為 22 個，清華大學、復旦大學、山東大學、浙江大學、中國科學技術大學、南開大學基礎名額各為 13 個。上述各校以 200 名為報名基準，各校報名人數每減少 20 名，核減 1 個名額；報名人數每增加 40 名，獎勵 1 個名額；各校總獎勵名額不超過 5 個。

組委會對于決賽總人數原則上為1000人，其中數學專業類500人 （其中100人單列給在第五輪學科評估中數學學科評估結果為A+的高校） ，非數學專業類500人各賽區參加決賽的名額由全國大學生數學競賽工作組討論確定。

下面為同學們準備了一套數學類的模擬試題，由夌玨123同學命制的，本張試題僅供學習參考，出題人也保證了每道題都可以寫出答案，尤其今年初賽相對比較激烈，組委會特意針對數學類拿出100個名額第五輪數學A+學科的大學，報名人數每增加 40 名，還要再獎勵 1 個名額，所以大家繼續加油，過段時間公布本試題解答。

第十七屆全國大學生數學競賽（數學類）初賽模擬試題

一、填空題．（本大題共 20 分，每小題 5 分）

（1）對于 $n$ 維Euclid空間中行列式為 1 的正交變換所構成的特殊正交群 $SO(n)$，討論空間維度 $n$ 的取值$\underline{}$，使得群 $SO\left(n\right)$具有封閉的正規子群.（稱$G?SO\left(n\right)$是正規的，如果對單位球面上任意$x,y$，存在$\phi \in G$使得$\phi \left(x\right)=y$）

（2）計算積分
∫ 1 + ∞ d x ? x ? { x } 2 ? 1 { x } ? ( ? x ? + 1 + ? 1 { x } ? ) = ￣ . \int_{1}^{+\infty }\frac{\mathrm{d}x}{\left \lfloor x\right \rfloor{\left \{ x\right \}}^{2}\left \lfloor \frac{1}{\left \{ x\right \}}\right \rfloor\left ( \left \lceil x\right \rceil+1+\left \lfloor \frac{1}{\left \{ x\right \}}\right \rfloor\right )}=\underline{\qquad}. ∫1+∞??x?{x}2?{x}1??(?x?+1+?{x}1??)dx?=?.

（3）令
$$f\left(a,b,?,\theta \right)=\sin 2\theta \sin 2?J_0\left(a\cos \theta \sin ?\right)J_0\left(b\sin \theta \cos ?\right),$$
其中$J_0$是0階的Bessel函數，求
$${\int }_{\theta =0}^{\frac{\pi }{2}}{\int }_{?=0}^{\frac{\pi }{2}}f\left(a,b,?,\theta \right)\mathrm{d}?\mathrm{d}\theta =\underline{}.$$

（4）求微分方程 $x^2{y}^{\prime \prime }=\left(\frac{1}{16}?x^2\right)y?x{y}^{\prime }$ 的通解為$\underline{}.$

二、(10分) 證明：若 { a k } \left \{ {a}_{k}\right \} {ak?}是實數列并且滿足
$$\sum _{k=1}^{\infty }\frac{\left|a_k\right|}{k}=\infty ,\sum _{n=1}^{\infty }\sqrt{\left(\sum _{k=2^{n?1}}^{2^n?1}k{\left(a_k?a_{k+1}\right)}^2\right)}<\infty ,$$
則
$${\int }_0^{\pi }\left|\sum _{k=1}^{\infty }{a}_k\sin kx\right|\mathrm{d}x=\infty .$$

三、 (10 分) 是否存在這樣的函數：周期為$2\pi $的連續函數$f\left ( x\right )$，它的Fourier級數在$x=0$處是發散的，但${f}^{2}\left ( x\right )$的Fourier級數在$\left [ 0,2\pi \right ]$一致收斂. 若存在則舉例，若不存在試證明.

四、（15 分） 記${\lambda }_i\left(A\right)$為$A\in M_n$的特征值，證明
$$\begin{array}{r}\sum _{i=1}^n{\left|{\lambda }_i\left(A\right)\right|}^2?\sqrt{{\left(\mathrm{tr}\left(A{A}^{?}\right)?\frac{1}{n}{\left|\mathrm{tr}\left(A\right)\right|}^2\right)}^2?\frac{1}{2}\mathrm{tr}\left({\left(A{A}^{?}?A^{?}A\right)}^2\right)}+\frac{1}{n}{\left|\mathrm{tr}\left(A\right)\right|}^2\end{array}$$
并給出等號成立的條件.

五、(15分) 若對$0<a<b,a,b\in \mathbb{R}$，且滿足${\int }_{?\infty }^{+\infty }f\left(x\right)\mathrm{d}x=1$的非負函數$f\left(x\right)$，求證：
$${\int }_{?\infty }^{+\infty }\left({\int }_{t?b}^{t+b}f\left(x\right)f\left(t\right)\mathrm{d}x\right)\mathrm{d}t?\left(2?\frac{b}{a}??1\right){\int }_{?\infty }^{+\infty }\left({\int }_{t?a}^{t+a}f\left(x\right)f\left(t\right)\mathrm{d}x\right)\mathrm{d}t$$

六、(15分) 矩陣 $A,B\in M_n\left(\mathbb{C}\right)$，證明：$A,B$可同時上三角化的充要條件是在有限集

B ( n 2 ? 1 ) = { C 1 ? C k ( A B ? B A ) ∣ C i ∈ { A , B } } , \mathcal{B}\left( n^2-1 \right) =\left\{ C_1\cdots C_k\left( AB-BA \right) |C_i\in \left\{ A,B \right\} \right\} , B(n2?1)={C1??Ck?(AB?BA)∣Ci?∈{A,B}},

中的矩陣跡均為0，其中$i=1,\dots k,0?k?n^2?1$

七、(15分) 假設$F\left(x\right)$和$g\left(x\right)$連續且保證解的存在唯一性，當$x\ne 0$時
$$xg\left(x\right)>0,F\left(x\right)={\int }_0^{x}f\left(t\right)\mathrm{d}t,G\left(x\right)={\int }_0^{x}g\left(t\right)\mathrm{d}t,G\left(\pm \infty \right)=\pm \infty ,$$
且$0<x<a_1$ 時 $F\left(x\right)<0$，$a_2<x<0$ 時 $F\left(x\right)>0$，存在常數 M > max ? { a 1 , ∣ a 2 ∣ } M>\max \left \{ {a}_{1},\left | {a}_{2}\right |\right \} M>max{a1?,∣a2?∣} 和 $k^{\prime }<k$ 使得當 $x>M$ 時 $F\left(x\right)>k$，當 $x<?M$ 時 $F\left(x\right)<k^{\prime }$，求證方程
$$\frac{{\mathrm{d}}^{2}x}{\mathrm{d}{t}^2}+f\left(x\right)\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}+g\left(x\right)=0$$
至少有一條閉軌.

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