---

🧠 背景：冪級數與收斂半徑

一個冪級數（power series）：

$$\sum _{n=0}^{\infty }{a}_n{x}^n$$

其收斂半徑 $R$ 表示該級數在哪些 $x$ 的取值范圍內收斂。其計算公式：

$$\frac{1}{R}=\underset{n\to \infty }{\lim }\sqrt[n]{|a_n|}$$

或者若極限存在，也可使用：

$$\frac{1}{R}=\underset{n\to \infty }{\lim }\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|$$

---

---

🔍 分析奇次項和偶次項收斂半徑

設：

• 對于偶次項：令 $y=x^2$，則：

  $$\sum _{n=0}^{\infty }{a}_{2n}{x}^{2n}=\sum _{n=0}^{\infty }{a}_{2n}{y}^n$$

• 假設其收斂半徑為 $R_y$，則對 $x$ 而言：

  $$x^2<R_y?|x|<\sqrt{R_y}$$

? 所以結論：

• 如果原級數中偶次項組成的子級數對 $y=x^2$ 的收斂半徑是 $R_y=1/p$，那么對 $x$ 而言，收斂半徑是：

  $$R_{\text{偶}}=\sqrt{1/p}$$

• 同理，奇次項若也類似處理，最終也會得出：

  $$R_{\text{奇}}=\sqrt{1/p}$$

---

將偶次項提取出來形成一個以 $x^2$ 為自變量的新級數，其收斂半徑是 $1/p$，回代回來后 $|x|<\sqrt{1/p}$。

---

? 最終結論總結：

子級數類型	變量替換	子級數收斂半徑 $R_y$	對應原變量 $x$ 的收斂半徑 $R_x$
偶次項	$y=x^2$	$1/p$	$\sqrt{1/p}$
奇次項	$y=x^2$	$1/p$	$\sqrt{1/p}$

---